双曲线的简单几何质 (2).doc

学科：数学教学内容：双曲线的简单几何性质【基础知识导引】1双曲线有哪些几何性质？与椭圆相对照，二者在性质上有哪些共同点和不同点？2双曲线的第二定义是什么？有何应用？3直线与双曲线只有一个公共点是该直线与双曲线相切的什么条件？【重点难点解析】1双曲线的几何性质设双曲线方程是（1）范围：|x|a，yR，即双曲线位于两直线x=a外侧，向上、下及左、右无限伸展。（2）对称性：双曲线关于x轴、y轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。（3）顶点：，它是双曲线与x轴的两个交点，由于双曲线与y轴没有交点，所以只有两上顶点，线段叫做双曲线的实轴，而把连接两点，的线段叫做双曲线的虚轴。（4）离心率：，这是由于ca，e1。（5）渐近线：直线叫做双曲线的渐近线，双曲线与其渐近线在无穷远处无限接近，但不“交会”，即无公共点，这是双曲线较之椭圆所特有的性质，考察渐近线的斜率，易见e越大，k越大，从而双曲线的开口越大；e越小，k越小，从而双曲线的开口也越小，画双曲线时一般应首先画出两条渐近线。2双曲线的第二定义平面上到定点F和到定直线1（F不在1上）距离的比等于常数（大于1）的点的轨迹是双曲线，这个定点就是双曲线的一个焦点，1是与F对应的准线，而大于1的常数即双曲线的离心率。关于第二定义须注意以下几点：（1）与椭圆一样，双曲线也有两条准线，对于方程，与左焦点对应的准线是，与右焦点对应的准线是。（2）定义中的比值，其分子是双曲线上任一点到焦点的距离，而分母是该点到相应准线的距离，必须强调“相应”二字。（3）无论是左支上的点还是右支上的点，只要是“相应”的焦点和准线，其距离之比都等于离心率，在这一点上没有“左、右”之分。（4）题中涉及双曲线上一点与焦点的距离，应利用第二定义转化为它到相应准线的距离来处理。3关于渐近线（1）已知双曲线方程，要求渐近线方程，只需将方程右边的“1”换成“0”即可，即由得出渐近线方程是即，类似的，对于方程，则由得渐近线方程是。（2）在双曲线中，a、b、c三者满足，这一关系反应在下图中的两个直角三角形中，（3）就焦点在坐标轴上，中心在原点的双曲线而言，已知渐近线的方程，也就已知了a与b的比值，进而可以确定双曲线的离心率，但并非惟一确定双曲线，可以证明方程所表示的曲线均是以两直线为渐近线的双曲线，这个方程我们把它叫做共渐近线的双曲线系方程，在解题中注意应用。（4）判断直线与双曲线的位置关系，可以用方程讨论法，也可根据直线与渐近线的相对位置作出直观判断。【难题巧解点拨】例1 求以直线为渐近线，准线方程是的双曲线方程。分析 本题考查双曲线的标准方程及渐近线方程、准线方程，可根据条件列关于a、b的方程组求解。解 由准线方程垂直于y轴可知，双曲线的焦点在y轴上，可设其方程为，由可设a=3k，b=4k，则，代入得k=1，a=3，b=4，双曲线的方程是。点评 （1）本题仍然采用了待定系数法，题中示范的解方程组的方法值得一学。（2）解此题时易犯两个错误：未从准线位置将焦点定位，误设方程为求解；从渐近线方程得出，从而导致错误。注意：双曲线的焦点总在实轴上，准线总是垂直于实轴。例2 若双曲线上一点P到右焦点的距离为8，则点P到它的左准线的距离是_。分析 本题主要考查双曲线的第二定义，可先求出点P到右准线的距离。解 ，。如图，由得，点P可能在左、右两支上。若P在右支上，则；若P在左支上，则。即点P到左准线的距离是8或。点评 （1）解此题时，应根据焦半径的长与的大小关系确定点P的位置，谨防失解，一般地，若，则P在右支上；若，则点P既可能在左支上，也可能在右支上。（2）本题也可先利用第二定义求出，再由第二定义求出。例3 已知双曲线的两条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程。分析 本题考查双曲线的方程、渐近线、点线距离公式等，可先设出双曲线的方程，求出焦点坐标，再由点线距离确定待定量。解 双曲线的渐近线方程是，可设双曲线方程为当0时，方程即，。焦点到的距离是，解得=3，双曲线方程为。当0时，由，得=3，当0时，得=9，可迅速求解。例4 直线1经过点P（1，1）且与双曲线只有一个公共点，求直线1的方程。分析 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，可用方程讨论法。解 设直线1的斜率为k当k不存在时，直线1：x=1与双曲线相切于右顶点，适合题意；当k存在时，直线l：y1=k（x1）即y=kx+1k代入，整理得 若即k=2，为一次方程，必有惟一解，1与H只一个公共点，此时1的方程是y1=2（x1）即2xy1=0及2x+y3=0。若即k2，则由得。此时1的方程是即5x2y3=0。综合得，适合题意的直线1共有四条，其方程是x=1，2xy1=0，2x+y3=0，5x2y3=0。点评 （1）斜率不存在的情况不要遗漏；（2）在得到方程后，注意对二次项系数的讨论；（3）当直线与双曲线只有一个公共点时，这条直线可以是切线，也可以是与其渐近线平行的直线，因此，“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件，同学们若有兴趣，可以根据图形探究当点P在不同位置时，所作与双曲线只有一个公共点的直线的条数。【拓展延伸探究】例1 经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线1交双曲线于A、B两点，是右焦点。求（1）弦长|AB|；（2）的周长。分析 本题主要考查弦长公式、焦半径公式及其应用，首先利用弦长公式求出|AB|，从而求出的周长。解 （1）a=1，c=2，则，代入得设，则，。，从而弦长。（2）注意到，A、B位于双曲线的两支上，不妨设，则由第二定义得，的周长是。点评 （1）涉及焦半径问题，应联想第二定义将其转化为该点到相应准线的距离来处理；（2）由于两个交点分别在左、右两支上，因此，两点处焦半径的计算方法不同，应作具体分析；（3）我们来研究以下几个问题：问题1：若直线1的倾斜角为，则直线1与双曲线的一支相交还是与两支均相交？分析 可先求得双曲线的两条渐近线的倾角为和，根据图形观察可知：当时，1与双曲线两支均相交；当或时，1与双曲线左支只有一个公共点；当时，1仅与双曲线的左支相交于两点。问题2：若直线1与双曲线左支相交于A、B两点，如何求出的周长？关于这一问题我们已在8.3测试第5题中作出了解答。问题3：考虑一个逆问题：过该双曲线的左焦点作直线1交双曲线于A、B两点，则满足弦长|AB|=3的直线有几条？分析 为了解决这一问题，必须弄清双曲线的以下两点性质：（1）双曲线左、右两支上的两点间的距离以实轴长为最短；（2）双曲线同一支上的焦点弦长以通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长为最短。这里，第一个性质是显然的，关于第二个性质可利用第二定义将焦半径转化为到相应准线的距离来研究。在本例中，因为实轴长2a=2，通径长为。根据以上两个性质可知，满足弦长|AB|=3的直线1只有两条，其中一条的倾斜角为，另一条的倾斜角是。由此可以探究一个更一般的问题。问题4：过双曲线的焦点作直线1交双曲线于A、B两点，则满足弦长|AB|=m的直线有几条？由上面的分析不难得出下表：m的范围m2am=2a直线的条数01234这里，因为设定了0ab0时，其结果又是怎样？例2 已知双曲线的左、右焦点为，左准线为1，试问：能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到1的距离d与的等比中项？并说明理由。分析 本题主要考查双曲线的定义、焦半径公式及其性质，假设满足条件的点P存在，则由条件出发或求出P点，或导出矛盾，最后作出判断。解法一 设双曲线左支上存在一点，使得成立。由第二定义，由焦半径公式得：，即，解得，a=5，b=12， c=13，代入计算得。点P在双曲线的左支上，。但，满足条件的点P不存在。解法二 同解法一得， 又由双曲线的定义，有， 消去得。P在双曲线的左支上，但，满足条件的点P不存在。解法三 由解法二中的、两式联立解得，。，但，满足条件的点P不存在。点评 （1）以上先由第二定义将条件简化为，然后从三个不同的角度对点P的存在性进行了探究，解法一是利用焦半径公式求出点P的横坐标，然后根据双曲线的范围作出判断；解法二的判断依据是：双曲线上一点到同侧焦点的距离的最小值等于该焦点到相应顶点的距离；解法三则利用了几何中“三角形两边之和大于第三边”这一性质。（2）通过以上研究，引发我们思考这样一个一般性问题：变题：已知双曲线的左、右焦点为，左准线为1，若在此双曲线的左支上存在一点P，使得是P到1的距离d与的等比中项，求双曲线离心率e的取值范围。于是也可以从以下三个方向分别作出解答：由得，即。但e1，由，求出e的范围；由解之。例3 设双曲线的渐近线是，点A（0，6）到双曲线上的点的最短距离是4，求双曲线的方程。分析 本题主要考查双曲线的标准方程和性质、二次函数的最值，设出共渐近线的双曲线系方程，建立距离d关于参数的函数关系，然后通过最值确定的值。解 设所求的双曲线方程为，则点A（0，6）到双曲线上任一点P（x，y）的距离。（1）若0，双曲线的焦点在x轴上，y可取一切实数。当时，。由已知，=7，双曲线方程为。（2）若0，双曲线的焦点在y轴上，方程化为：。若即，则当时，由，得=7（舍去）；若，即，由二次函数的性质知当时，解得或（不合题意）。双曲线的方程是。点评 （1）以两直线为渐近线的双曲线的焦点既可在x轴上，也可在y轴上，焦点位置的不同，y的取值范围也不同，从而函数d（y）的定义域也不同，因而须分情况讨论；（2）二次函数在给定区间上求最值，必须根据二次函数图像的顶点横坐标与所给区间的不同位置关系来讨论，解题时注意结合二次函数的图像来分析。【命题趋势分析】学习和掌握双曲线的性质，要注意运用类比法，这既包括二者在性质上的类比，也包括具体处理问题时所采用的方法、技巧上的类比，把握它们之间的相同点和不同点。1椭圆与双曲线的定义、方程及简单几何性质对照表：椭圆双曲线定义方程a、b、c三者关系焦点（c，0）（0，c）（c，0）（0，c）简单几何性质范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a|x|a，yRxR，|y|a对称性关于x、y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点A（a，0），B（0，b）A（0，a），B（b，0）A（a，0）A（0，a）离心率渐近线无第二定义（其中d为曲线上任一点到与焦点F对应的准线的距离）2处理两类问题所用方法的类比（1）焦半径问题：都要利用第二定义转化为点到相应准线的距离来处理，在椭圆中焦半径公式有两个，而在双曲线中情况比较复杂，不要死记结论，而应现用现推；（2）焦点三角形问题：如图20所示，在椭圆中，；在双曲线中，；（3）直线与双曲线的位置关系问题：都可采用方程讨论法，但在判断直线与双曲线的位置关系时，也可根据该直线与某渐近线的相对位置作出直观判断。3两类曲线在方程上的统一：其统一形式是。【同步达纲练习】1设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D2若双曲线的两条渐近线的夹角为2，则其离心率为（ ）Asec Bcsc Csin Dcos3与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线方程是（ ）A B C D4若双曲线的渐近线是，则其离心率e=_。5已知点A（3，2），F（2，0），在双曲线上有一点P，使得最小，则点P的坐标是_。6过点P（3，4）且与双曲线只有一个公共点的直线共有_条。7过双曲线的右焦点F作直线1交右支于A、B两点，若|AF|=2|BF|，求A、B两点的横坐标。8已知双曲线的右焦点为，斜率为正的渐近线1与右准线相交于点A，连结延长交左准线于C，交另一渐近线于点B，（1）求证：；（2）若点C平分线段