山西省临猗中学校高中数学 三角与二项式系数的性质课件 新人教A版选修23.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质临猗中学樊光明 一 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 1 杨辉三角 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数 如下表所示 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 表中每行两端都是1 与这两个1等距离的系数相等 而且在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 同一行中系数先增后减 上面的表叫做二项式系数表 杨辉三角 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 3 增减性与最大值 增减性的实质是比较的大小 2 递推性 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 二项式系数的性质 3 增减性与最大值 增减性的实质是比较的大小 所以相对于的增减情况由决定 可知 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 3 增减性与最大值 4 各二项式系数的和 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 2 3 当时 4 当时 还可运用函数的观点 结合 杨辉三角 和函数图象 研究二项式系数的性质 a b n展开式的二项式系数是可看成是以r为自变量的函数f r 其定义域是 0 1 2 n 对于确定的n 可以画出它的图像 例如 当n 6时 其图象是右图中的7个孤立点 课堂练习 1 已知 那么 2 的展开式中 二项式系数的最大值是 3 若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大 则n 例1证明在的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即证 证明 在展开式中令a 1 b 1得 小结 赋值法在二项式定理中 常对a b赋予一些特定的值1 1等来整体得到所求 赋值法的应用 解决二项式系数问题 赋值法 已知求 1 2 3 4 例4 求 x 2 10 x2 1 展开式中含x10项的系数为 变式 求 1 x x2 1 x 10展开式中含x项的系数 求两个 多个 二项式乘积的展开式的特定项方法 1 先化简 化成一个二项式的展开式 2 分析两个 多个 二项式的通项的字母的指数 利用找伙伴的方式解决 例3 求展开式中的常数项 例4 的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项 变式引申 1 的展开式中 系数绝对值最大的项是 a 第4项b 第4 5项c 第5项d 第3 4项2 若展开式中的第6项的系数最大 则不含x的项等于 a 210b 120c 461d 4163 1 x 13的展开式中系数最小的项是 1 二项式系数的三个性质 2 数学思想 函数思想 a单调性 b图象 c最值 小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二