（试题 试卷 真题）专题32 图形变化类探索规律【学生版】

专题32 图形变化类探索规律【母题来源】2013年安徽省第18题（8分）【母题原题】我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图（1）所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点。将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2）、图（3），。（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图（1）1 7来源:Zxxk.Com图（2）212图（3）317图（4）4猜想：在图（n）中，特征点的个数为 （用n表示）（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1= ；图（2013）的对称中心的横坐标为 。【试题答案】（1）填表见解析，；（2）；。【试题解析】（1）填表如下：图形的名称基本图的个数特征点的个数图（1）1 7来源:Zxxk.Com图（2）212图（3）317图（4）422 设图形数为n，特征点的个数为y，二者之间的关系为。 将（1，7），（2，12）代入，得，解得。 。检验：（3，17）符合。奥图形数与特征点的个数之间的关系为。 当n=4时，。 （2）O1的横坐标是边长为2的等边三角形的高，根据含30度角直角三角形的性质可得x1=， 易得图（2013）共有2013个正六边形，总的横坐标是， 图（2013）的对称中心的横坐标为。1. 【2013年福建福州14分】我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a= ；当顶点坐标为（m，m），m0时，a 与m之间的关系式是 ；（2）继续探究，如果b0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，B3，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长。2. 【2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田10分】一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形。如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形。（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由。（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值。（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（bc），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）。3. 【2013年江苏常州6分】用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则（史称“皮克公式”）。小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形181多边形273一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S= （用含a、b的代数式表示）。4. 【2013年浙江绍兴8分】如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2，第n次平移将矩形An1Bn1Cn1Dn1沿An1Bn1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n2）。（1）求AB1和AB2的长；（2）若ABn的长为56，求n。5. 【2013年江西南昌12分】已知抛物线抛物线（n为正整数，且0a1a2an）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推。（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）； 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ；（3）探究下列结论： 若用An-1An表示第n条抛物线