傅里叶变换.doc

基本介绍n 教材：数字信号处理原理及实现 王艳芬等编 清华大学出版社n 讲授内容：绪论、第17章n 学时：48学时，其中讲课40学时，实验8学时。n 实验第8章，为上机实验，使用软件Matlab，学时分配：3+3+2。绪论一、信号信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。分类：模拟信号、量化信号、抽样信号和数字信号。时间幅度时域连续信号连续连续模拟信号连续离散量化信号时域离散信号离散连续采样信号离散离散数字信号二、数字信号处理及其特点数字信号处理是用数值计算的方法，完成对信号的处理。因此处理的实质是“运算”，运算的基本单元是延时器、乘法器和加法器。通过处理，往往可以达到两个目的：（1）对信号在时域及变换域内的特性进行分析，以便对信号有更清楚的认识。（2）对信号实施处理，以改善其性能，比如滤波。本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，内容主要包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。特点：灵活性好、精度高、可靠性强、便于大规模集成等。三、数字信号处理系统的基本组成（1）前置滤波器将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。（2）A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次xa(t)的幅度，采样后的信号称为离散信号。四、预备知识（一）傅里叶变换傅里叶（Fourier，17681830），法国人。1807年，完成了关于热传导理论方面的研究，并提出“任何”周期信号都可以利用正弦级数来表示。1829年，狄里赫利给出了若干精确条件，为傅里叶级数和积分建立了理论基础。由于正弦信号在科学和许多工程领域中起着重要作用，因而傅里叶级数和变换在许多领域得到广泛应用。1周期信号的频谱傅里叶级数（1）三角函数形式的傅里叶级数周期信号可以用三角函数的线性组合来表示。设为一连续时间周期函数，其周期为，角频率，将展开为傅里叶级数，有 式（1）式中：余弦分量系数正弦分量系数直流分量上式的积分区间常取或。如果将上式中的同频率项加以合并，可以写成另一种形式：或 式（2）式（1）表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和许多正弦、余弦分量，其中第一项为常数项，它是周期信号中所包含的直流分量，式中正弦、余弦分量频率必定是基频的整数倍。一般把频率为的分量称为基波，频率为、等分量分别称为二次、三次谐波等。此外，从式（1）至式（2）可以看出，各分量的幅度、及相位都是的函数。如果把对的关系绘成曲线，便可以清楚而直观的看出各频率分量的相对大小，这种图称为信号的幅度频谱或简称幅度谱。图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线称为包络线，它反映各分量的幅度变换情况。类似的，还可以画出各分量的相位对的线图，这种图称为相位频谱或简称相位谱。幅度谱和相位谱统称为频谱。周期信号的幅度谱只会出现在离散频率点上，这种谱称为离散谱，它是周期信号频谱的主要特点。（2）指数形式的傅里叶级数复指数函数集是另一种常见的完备正交函数集，周期信号可以表示为复指数函数的线性组合。其中，同样可以画出指数形式表示的信号频谱。因为一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。利用，可以画出复数幅度谱与的关系及复数相位谱与的关系。常用周期信号的频谱周期矩形脉冲信号（），其傅里叶级数应该指出，在复数频谱中，负频率的出现完全是数学运算的结果，没有任何物理意义。只有把负频率项与相应的正频率项完全合并起来，才是实际的频谱函数。（3）两种形式间的联系2非周期信号的频谱傅里叶变换（1）引出非周期信号可以看成是周期T趋于无限大的周期信号。当周期信号的T增大时，谱线间隔变小，若周期T趋于无限大，则谱线的间隔趋于无限小，这样离散频谱就变成连续频谱了。同时，谱线的长度趋于0，这就是说按前面所表示的频谱将化为乌有，失去应有的意义。但从物理概念上考虑，非周期信号的频谱仍应存在。基于上述原因，非周期信号不能采用傅里叶级数展开的方法，而必须引入一个新的变换，这就是非周期连续时间信号的傅里叶变换。设一周期信号，其傅里叶级数傅里叶系数两边乘以T，得到对于非周期信号，重复周期，重复频率，离散频率变成连续频率。在这种极限情况下，但量可望不趋于0，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，通常记为或，即反映单位频带内的频谱值，故称为频谱密度函数，简称频谱函数。综上，我们利用周期信号的傅里叶级数通过求极限的方法得到非周期信号频谱函数表示式，即傅里叶变换式。正变换积分因子：反变换积分因子：一般情况下为复函数，可以写成式中，和分别为的模和相位。代表各频率分量的相对幅值，而表示各频率分量之间的相位关系。与的关系称为非周期信号的幅度频谱，与的关系称为相位频谱。非周期信号的幅度谱是频率的连续函数，其形状与相应的周期信号频谱的包络线相同。（2）傅里叶变换性质性质时域频域线性时移频移卷积对偶例如： ，对称性实函数的傅里叶变换，其实部偶对称，虚部奇对称；其振幅偶对称，相位奇对称。 线性傅里叶变换是一种线性运算，它满足叠加定理。所以相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。 对偶性若，则例如，已知，则。 对称性若是实函数，则傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别是偶函数和奇函数；若是实偶函数，则必为的实偶函数。 尺度变换特性若，则上式说明，信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展；反之信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩，所以在通信系统中，通信速度和占用频带宽度是一对矛盾。 时移特性若,则时移特性表明，信号在时域的时移只会使频谱的相位特性产生附加的线性相移，而不会影响信号的幅度频谱。 频移特性若,则频移特性表明，信号乘以等效于的频谱延频率轴右移。上述频谱沿频率轴右移或左移称为频谱搬移技术。频谱搬移技术在通信系统中得到广泛的应用，例如同步解调、调幅、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的，频谱搬移的实现原理是将信号乘以所谓载频信号或，利用频移特性可求出其频谱为：同理可得 时域卷积定理若，则时域卷积定理表明，在时域中两信号的卷积等效为在频域中的频谱相乘。 频域卷积定理若，则频域卷积定理也称为调制特性，在通信领域有重要的应用。3周期信号的傅里叶变换周期信号可以用傅里叶级数来表示，非周期信号可以用傅里叶变换来表示。这虽然解决了周期信号与非周期信号如何在频域分解的问题，但不同的表示方法总会给我们造成某些不便。如果能够将它们统一起来，无疑会给我们带来许多便利。考虑到，而信号可表示成复指数信号的线性组合，即则上式表明，周期信号可以用傅里叶变换来表示，它由频域中一组等间隔的冲激函数线性组合而成，每个冲激的强度等于相应的傅里叶级数系数Fn的2倍。（二）冲激函数(t)（1）定义(t)0，当t0时（2）性质抽样性搬移性（三）卷积卷积积分计算步骤：翻转、移位、相乘、积分。（四）复信号的表示方法作业：（1）证明傅里叶变