高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案含解析.docx

23.1抛物线及其标准方程抛物线的定义提出问题如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是AB是直角三角形的一条直角边问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|DC|.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线导入新知抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线化解疑难对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线抛物线的标准方程提出问题平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(2,0)；l1：x1，l2：x2.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y24x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y28x.导入新知抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y化解疑难1标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项2标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零3四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.求抛物线的焦点及准线例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y214x；(2)5x22y0；(3)y2ax(a0)解(1)因为p7，所以焦点坐标是，准线方程是x.(2)抛物线方程化为标准形式为x2y，因为p，所以焦点坐标是，准线方程是y.(3)由a0知p，所以焦点坐标是，准线方程是x.类题通法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程需注意p0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴活学活用求抛物线yax2(a0)的焦点坐标和准线方程解：把抛物线方程yax2化成标准方程x2y.当a0时，焦点坐标是，准线方程是y；当a0时，焦点坐标是，准线方程是y.综上知，所求抛物线的焦点坐标为，准线方程为y.求抛物线的标准方程例2求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上解(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6,6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.类题通法求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；直接根据定义求p，最后写标准方程；利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数活学活用根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且1，则p2.故抛物线的标准方程为x24y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线为x，则焦点到准线的距离是p3，因此所求的抛物线的标准方程是y26x.利用抛物线定义求轨迹方程例3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程解法一：设点P的坐标为(x，y)，则有|x|1.两边平方并化简，得y22x2|x|.y2点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y0上的点符合条件；当x0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x1为准线的抛物线，方程为y24x.故所求动点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)类题通法求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程活学活用已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程解：法一：设点P的坐标为(x，y)，由条件知|AP|r1(r为圆P的半径)，即|x1|1，化简，整理得y28x.点P的轨迹方程为y28x.法二：如图所示，作PK垂直于直线x1，垂足为K，作PQ垂直于直线x2，垂足为Q，则|KQ|1，|PQ|r1.又|AP|r1，|AP|PQ|，故点P到圆心A(2,0)的距离和定直线x2的距离相等，点P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线x2为准线2，p4.点P的轨迹方程为y28x.典例已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标解如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号(|PA|PF|)min|AB|3.此时yP2，代入抛物线得xP2，P点坐标为(2,2)多维探究(1)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关)，往往转化为点P到准线的距离，其步骤是：过P作PN垂直于准线l，垂足N；连接PF；|PF|(焦点在x轴正半轴上时)(2)上例中，求|PA|PF|的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA|PF|PA|PN|AB|.体现了数形结合的思想1若点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离由图可知，P点，(0,2)点，和抛物线的焦点三点共线时距离之和最小，所以最小距离d .2若点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到直线3x4y0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图|PA|PQ|PA|PF|AF|min.AF的最小值为F到直线3x4y0的距离d1.3若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离解：设抛物线焦点为F，连接AF，BF，如图抛物线y22x的准线为l：x，过A，B，M分别作AA，BB，MM垂直于l，垂足分别为A，B，M.由抛物线定义，知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理，得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3.则x1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin1，即M点到y轴的最短距离为1.类题通法解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易随堂即时演练1焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是()Ay220xBx220yCy2x Dx2y解析：选B由5得p10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x22py，所以x220y.2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：选B由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.3若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m_.解析：抛物线焦点为(3,0)，3且m0，则m6.答案：64焦点为F的抛物线y22px(p0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|p，则|FN|_.解析：由条件知|MF|MN|p，MFMN，在MNF中，FMN90，得|FN|p.答案：p5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标解：由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x，设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，因此p2.故抛物线的方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线方程，得y6.故点M的坐标为(9,6)或(9，6)课时达标检测一、选择题1顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y解析：选C设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，把(4,4)代入得168p1或168p2，即p12或p22.故抛物线的标准方程为y24x或x24y.2已知点P(8，a)在抛物线y24px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2B4C8 D16解析：选B准线方程为xp，8p10，p2.焦点到准线的距离为2p4.3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1C2 D4解析：选C抛物线y22px的准线x与圆(x3)2y216相切，1，即p2.4设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选A由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线5已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)解析：选A点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|PQ|PS|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，点P坐标为.二、填空题6抛物线xy2的焦点坐标是_解析：方程改写成y24mx，得2p4m，p2m，即焦点(m,0)答案：(m,0)7已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析：解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：8对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：三、解答题9已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y.作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.10如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段