1997-数三真题、标准答案及解析.pdf

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 1 1997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 设 ln f x yfx e 其中f可微 则dy 答答 1 lnln f x efxfx fxdx x 详解详解 lnlnln f xf xf x dydfx edfxefx de 1 lnln f xf x fx dxefx efx dx x 1 lnln f xf x fx dxefx efx dx x 2 若 1 2 2 0 1 1 1 f xxf x dx x 则 1 0 f x dx 答答 4 详解详解 设 1 0 f x dxA 则 111 2 2 000 1 1 dx Af x dxAx dx x 2 11 arctanarcsin1 00244 A xxxxA 故 4 A 3 差分方程 1 2t tt yyt 的通解为 t y 答答 2 2tCt 详解详解 齐次差分方程 1 0 tt yy 的通解为 C C为任意常数 设 2tatb 是差分方程 1 2t tt yyt 的一个特解 则1 2 ab 因此 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 2 2 2 t t yCt 为所求通解 4 若二次型 222 1231231223 22f x x xxxxx xtx x 是正定的 则t的取值范围 是 答答 22t 解得22t 5 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布 2 0 3N 而 19 XXL和 19 YYL分别式来自总体X和Y的简单随机样本 则统计量 19 22 19 XX U YY L L 服从 分布 参数为 答答 9t 详解详解 令 1 2 9 33 ii ii XY XYi L 则 0 1 0 1 1 2 9 ii XNYNi L 2 19 0 3 XXXN L 2 19 9YYY L 因此 1919 2222 1919 3 9 X XXXXX U YY YYYY LL LL 由于 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 3 2 0 1 9 3 X NY 故 9Ut 二 选择题二 选择题 1 设 56 1 cos 2 0 sin 56 x xx f xt dt g x 则当0 x 时 f x是 g x的 A低阶无穷小 B高阶无穷小 C等阶无穷小 D同阶但不等价的无穷小 答答 应选 B 详解详解 利用洛必达法则 有 22 4534 000 sinsin 1 cossin 1 cos limlimlim xxx f xx g xxxxx 4 2 3434 00 1 cos 4 limlim0 xx x xxxx 2 若 fxf xx 且 0 fx 0 0 0 0C fxfxD fxfx 答答 应选 C 详解详解 由 fxf x 得 fxfxfxfx 可见当 0 x 时 0 x 且 0 0fxfxfxfx 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 4 所以应选 C 2 设向量 123 线性无关 则下列向量组中 线性无关的是 122331 A 1223123 2B 122331 2 23 3C 123123123 2322 355D 答答 应选 C 详解详解 122331 1223123 0 20 A B 可见 AB 中向量组线性相关 CD 不能直接观察出 对于 C 令 112223331 22330kkk 即 131122233 22330kkkkkk 由于 123 线性无关 故 13 12 23 0 220 330 kk kk kk 因上述齐次线性方程组的系数行列式 101 220120 033 故方程组由惟一零解 即 123 0kkk 故 C中向量组线性无关 应选 C 4 设 A B为同阶可逆矩阵 则 AAB BA 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 5 B存在可逆矩阵P 使 1 P AP B C存在可逆矩阵C 使 T C AC B D存在可逆矩阵P和Q 使PAQ B 答答 应选 D 详解详解 由题设 A B可逆 若取 1 P B Q A则 1 PAQ BAAB即A与B 等价 可见 D成立 矩阵乘法不满足交换律 故 A不成立 任意两个同阶可逆矩阵 不一定是相似的或合 同的 因此 BC 均不成立 5 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布 1 11 2 P XP Y 1 11 2 P XP Y 则下列各式中成立的是 1 1 2 A P XYB P XY 11 0 1 44 C P XYD P XY 答答 应选 A 详解详解 1 11 1P XYP XYP XY 11111 22222 而 11 0 1 24 P XYP XY 三三 在经济学中 称函数 1 1 xx x Q xAKL 为固定替代弹性生产函数 而称 函数 1 x QAK L 为 Cobb Douglas 生产函数 简称 C D 生产函数 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 6 试证明 当0 x 时 固定替代弹性生产函数变为 C D 同阶生产函数 即有 0 lim x Q xQ 详解详解 1 lnlnln1 xx Q xAKL x 而且 00 ln1 ln1ln limlnlim 1 xx xx xx xx KL KKLL xKL 1 ln1lnlnKLAK L 所以 11 0 limlnlnlnln x Q xAK LAK L 于是 1 0 lim x Q xAK LQ 四四 设 uf x y z 有连续偏导数 yy x 和 zz x 分别是由方程0 xy ey 和 0 x exz 所确定 求 du dx 详解详解 duffdyfdz dxxy dxz dx 由0 xy ey 得0 xy dydy eyx dxdx 2 11 xy xy dyyey dxxexy 由0 x exz 得0 zdz dz ezx dxdx z dzzz dxexxzz 代入 式得 2 1 dufyfzf dxxxyyxzxz 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 7 五五 一商家销售某种商品的价格满足关系70 2px 万元 吨 x为销售量 单位 吨 商品的成本函数是31Cx 万元 1 若每销售一吨商品 政府要征税 t 万元 求该商家获最大利润时的销售量 2 t 为何值时 政府税收总额最大 详解详解 1 设T为总税额 则Ttx 商品销售总收入为 2 70 270 2 Rpxx xxx 利润函数为 22 70 2310 241 RCTxxxtxxt x 令0 d dx 即0 440 xt 由于 2 2 0 40 d x dx 因此 5 4 2 xt 即为最大利润时的销售量 3 将 5 4 2 xt 代入Ttx 得 2 5 45 10 22 t Tttt 由1050 dT t dt 得惟一驻点2t 由于 2 2 50 d T dt 在 0 上连续且单调不减 其中0n 详解详解 1 显然当0 x 时 F x连续 又 0 000 limlimlim00 x n n xxx t f t dt F xx f xF x 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 8 故 F x在 0 上连续 对于 0 x 有 1 1 0 22 x nn nn xf xt f t dt xf xfx Fx xx 1 nnn nn xf xffx xf xf xx 其中0 x 于是 0Fx 故 F x在 0 上连续且单调不减 详解详解 2 连续性的证明同上 由于 1 000 22 xxx nnnn xf xt f t dtx f x dxt f t dt Fx xx 0 2 0 x nn x f xt f tdt x 可见 F x在 0 上连续且单调不减 七七 从点 1 1 0P做x轴垂线 交抛物线 2 yx 于点 1 1 1Q 再从 1 Q做抛物线的切线与x 轴交于 2 P 然后又从 2 P做x的垂线 交抛物线于点 2 Q 依次重复上述过程得到一系列的点 1122 nn P Q P QP QLL 1 求 n OP 2 求级数 1 122nn Q PQ PQ P LL的和 其中 1n n 为自然数 而 12 M M表示点 1 M与 2 M之间的距离 详解详解 1 由 2 yx 得2yx 对于任意 01 aa 抛物线 2 yx 在点 2 a a处 的切线方程为 2 2yaa xa 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 9 且该切线与x轴的交点为 0 2 a 故由 1 1 OP 可见 21 11 22 OPOP 32 2 11 11 22 22 OPOP LL 1 1 2 n n OP 2 由于 22 2 1 2 n nnn Q POP 可见 22 2 11 114 23 1 1 2 n nn nn Q P 八八 设函数 f t在 0 上连续 且满足方程 2 222 422 4 1 2 t xyt f tefxydxdy 求 f t 详解详解 显然 01 f 由于 222 222 22 000 4 111 2 222 tt xyt fxydxdydfr rdrrfr dr 可见 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 10 22 4 0 1 2 2 t t f terfr dr 两边求导得 2 4 88 t fttetf t 解上述关于 f t的一阶线性非齐次微分方程 得 22288 4424 884 tdttdt ttt f tteedtC etdtC etC e 代入 01 f 得1 C 因此 2 24 41 t f tte 九九 设A为n阶非奇异矩阵 为n维列向量 b 为常数 记分块矩阵 TT b EOA P Q AA 其中 A是矩阵A的伴随矩阵 E为n阶单位阵 a 计算并化简PQ b 证明 矩阵Q可逆的充分必要条件是 1 TT b A 详解详解 1 因为 A A AAA E故 TTTTT bb EOAA PQ AAA A AA A A 1 0 T b A AA 2 由 1 可得 1 T b 2 PQAA 而 PQPQ且0 PA 故 1T b QAA 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 11 由此可知0 Q的充分必要条件为 1 T b A 即矩阵Q可逆的充分必要条件是 1 TT b A 十十 设三阶实对称矩阵A的特征值是1 2 3 矩阵A的属于特征值1 2的特征向量分别是 12 1 1 1 1 2 1 TT 1 求A的属于特征值 3 的特征向量 2 求矩阵A 详解详解 1 设A的属于特征值 3 的特征向量为 3123 T x x x 因为对于实对称矩阵 属于不同特征值的特征向量相互正交 所以 13 0 T 和 23 0 T 即 123 x xx是齐次线性方程组 123 123 0 20 xxx xxx 的非零解 解上面方程组 得其基础解系为 1 0 1 T 因此A的属于特征值 3 的特征向量为 3 1 0 1 T k k 为任意非零常数 c 令矩阵 111 121 11 1 P 则有 1 100 020 003 P AP 即 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话 62701055 12 1 100 020 003 APP 由于 1 111 333 111 636 11 0 22 P 可见 1 1001325 1 0202102 6 0035213 APP 十一十一 假设随机变量X的绝对值不大于 1 11 1 1 84 P XP X 在事件 11X 出现的条件下 X在 1 1 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长 度成正比 试求X的分布函数 F xP Xx 详解详解 由条件可知 当1x 时 1 0 1 8 F xF 115 111 848 PX 易见 在X的值属于 1 1 的条件 事件 111Xxx 的条件概率为 1 1 11 2 x PXxX 于是对于11 x 有 11 11PXxPXxX 111 11PXPXxX 5155 8