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SOLO理论视角下谈数学习题分层评价 以“基本不等式”习题分析为例 钟信 来宾高级中学 一、问题提出与评价方法 传统的习题评价方式常常是以参考答案为标准，对的记“”，错的记“”，半对半错记个“上加一点”，一个班的作业批改下来，只能隐隐约约记得对几成错几成，半对半错占几成。这样“一刀切”的评价方式，不仅无法真实评价教学效果，也无法把握学生的实际思维水平，更不能为后面的教学提供切合的反馈信息。SOLO分类评价法是由比格斯（J.B.Biggs）教授首倡，是一种以等级描述为基本特征的质性评价方法1。SOLO分类评价法根据学生回答问题时的表现来判断他所处的思维发展阶段,进而给予合理的评分。它从能力、思维操作、一致性与收敛和应答结构4个方面对学生的回答分成5种水平，分别是前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和抽象拓展水平2，五种思维层次由低到高，反映了学生学习从量变到质变的过程。利用SOLO理论对学生所做习题进行分层评价，不仅可以帮助教师进行教学诊断，也可以向学生提供有用的反馈。表一 SOLO理论的各个水平及表现水平表现前结构水平（P）学生不能以任何有用的方式来弄清问题中的信息，或者不能作答单一结构水平（U）学生能利用问题中一条很明显的信息多元结构水平（M）学生能直接利用问题中两条或者更多的相互独立的信息，但对问题的整体结构并不理解关联结构水平（R）学生能以一种综合的方式从问题中获得两条或者更多相互独立的信息，并能将它们联系起来使用抽象拓展水平（E）能从问题所蕴涵的信息中提取抽象的一般规律二、习题设置与分类评价 任教学生来自某市重点中学普通班，该班学生基础较好，思维很活跃，学习热情较高，但做题经常出现“会而不对，对而不全”的现象，以致数学成绩很难在普通班跻身前列。为正确评价学生的思维水平，诊断数学学习存在的问题，利用SOLO分类评价法对学生的基本不等式习题作答进行分层评价。普通高中数学课程标准（实验稿）中对“基本不等式的基本要求是探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题3。教学实践发现难点在于用基本不等式求最大值和最小值，为了解课堂教学效果和学生的学习掌握情况，从课标要求出发，结合以上学情分析，编制课后习题如下： 参照SOLO分类评价法，根据学生回答三道测试题的情况，对学生掌握基本不等式的思维水平划分和评价。测试题（1）主要为了了解学生运用基本不等式解决求简单最值的情况。前结构水平（P）：学生无作答或者回答与本题毫不相关。单一结构水平（U）：学生会利用问题中一条很明显的信息，比如由x1得x-10或者直接套用基本不等式等，从这些答案可以看出，学生对基本不等式的条件或形式有了初步的认识，但是如何正确使用混沌不清，我们将这类回答的学生思维归为单一结构水平。多元结构水平（M）：处在这一水平的学生会判断基本不等式的运用条件，并在简单变形后运用基本不等式求最小值，但对于等号成立的情况不讨论或者讨论错误比如令得到取等号条件。从这些答案可以看出学生虽然意识到要运用基本不等式解决问题，但是对基本不等式的整体结构仍然把握不清楚，我们将其思维水平归为多元结构水平。关联结构水平（R）：关联水平的回答表明学生运用基本不等式解决问题思路相对清晰，整体结构把握到位。处于这一水平的学生深刻理解“一正二定三相等”的含义，并用其解决问题，尽管有些学生会粗心计算失误，我们仍然可以判断其思维水平达到了关联结构水平。如一位学生的回答：抽象拓展水平（E）：这一水平的回答纯粹是抽象思维的结果，学生不但能正确解答此题，还能由此及彼将结论推广或拓展。比如学生能推广到，或者联想到其他有关a，b的不等式，如：或等。测试题（2），主要考察学生利用基本不等式解决实际问题的能力。前结构水平（P）：学生无作答或者回答与本题毫不相关。单一结构水平（U）：学生会利用题目的已知条件列式表示出运费或者两种费用之和，但是对于求最值束手无策，我们认为其思维水平处于单一结构水平。多元结构水平（M）：多元结构水平的回答不但能够正确列式还能找到求最值的方法，但是在运用均值不等式求最值时，忽略基本不等式运用条件的判断或者忽略取等号条件的讨论，如，一位学生的回答：关联结构水平（R）：关联水平回答表明学生解决问题过程中含有一些抽象成分，能将实际问题转化为数学问题，并利用数学原理方法解决实际问题。有51位学生的回答是如下情形：抽象拓展水平（E）：处于这一水平的学生能将生活问题中的求最值问题转化成数学问题，并能总结常用的几种求最值方法。测试题蕴含分类讨论思想，对于x0,并求最值，或学生虽然意识到要分类讨论，但是对x0的情况不会转化。多元结构水平（M）：多元水平要求学生能进行分类讨论求最值以得到值域，并且会对x0做变形处理，但是在具体求最值时，出现最大值最小值混淆或者没有讨论取等号条件等问题，由此可以看出，学生虽然能够运用基本不等式，但是仍然不能灵活运用融会贯通，因此我们可以判断该类学生的思维水平处于多元水平。关联结构水平（R）：学生能以一种综合的方式结合分类讨论思想，分别求最值得到值域，作答过程完整，全面，如下面这位同学的回答：抽象拓展水平（E）：这一水平学生能通过习题练习概括使用基本不等式求最值的要点和注意事项，并能将此结论进行推广。3、 数据分析与结论建议 （一）数据统计及分析 对于上述三道习题，按照SOLO理论对学生的回答进行分类后，统计数据得到如下情况：表二 “基本不等式”习题分层评价统计表测试问题前结构水平人数/比例单一水平人数/比例多点水平人数/比例关联水平人数/比例抽象拓展水平人数/比例简单运用 2/3% 5/7% 9/12% 41/54% 18/24%结合实际问题运用 6/8% 8/11% 17/23% 32/42% 12/16%分类讨论求值域 4/5% 15/20% 28/38% 19/25% 9/12%备注：测试班级上交习题总人数为75人。由表二横向对比可以看出，76%的学生已经能将基本不等式进行单单运用，且近四分之一的学生能将结论进行抽象拓展，不等式的基本较为扎实；在结合实际问题运用时，有58%的学生能正确解答并考虑全面，但出现了四分之一的学生处在多点结构水平，问题主要在学生运用基本不等式时，对取等号的条件了解不清楚或者直接忽略取等号条件；在习题（3）中，有20%的学生忽略对x范围的判断直接运用基本不等式，处在多点结构水平的学生大约有40%，他们有的虽然考虑了x的范围并作出了分类讨论的分析，但是对负号的处理束手无策，有的在判断最大最小值失误连连，这反应了在x0的情况下，用基本不等式求最值是学生学习的难点，需要教师多给学生思考时间，弄清弄透基本不等式的实质，这样才能做到运用的融汇贯通，才能进行拓展迁移，举一反三。另外，我们发现学生在面对习题（3）认知难度较大时，虽然有25%的学生能达到关联结构，解决问题，但是这25%的学生中，竟有一半的学生忽略了最后的反思拓展环节，这提示我们，学生习题练习以后的反思拓展习惯仍需培养和加强。 由表二纵向对比看出，随着认知难度的增加，能达到关联结构和抽象拓展结构水平的学生逐渐减少，停留在单一结构水平和多点结构水平的学生越来越多，符合学生的认知发展水平。习题（1）处在关联结构水平的学生人数是习题（3）处在关联结构水平的一半，这意味着学生对分类讨论的思想理解不够深刻，转化的关键和要点有待加强。 在SOLO理论指导下，通过对教材和课程标准要求的分析结合学生的实际作答情况，结合表二的纵向对比情况，我们可以得到学生对“基本不等式”的认知发展过程。如下表所示：表三 学生对“基本不等式”的认识发展过程水平对“基本不等式”的认识发展过程前结构水平（P）学生不理解“基本不等式”；不能提取信息求最值；不能运用基本不等式解决实际问题。单一结构水平（U）学生能利用基本不等式解决简单直接的求最值问题，如，但是存在会忽略取等号条件的讨论等问题多元结构水平（M）学生能直接利用问题的两条或者更多信息，套用基本不等式解决实际问题，可能对整体结构了解并不完整关联结构水平（R）学生能以一种综合的方式看待求最值问题，分类清晰，思路明确，基本不等式运用灵活贯通抽象拓展结构（E）能从问题所蕴含信息中提取抽象的一般规律，如基本不等式推广到3个数或者能总结求实际问题最值的方法等（二）教学建议1.把握知识本质，渗透思想方法 测试结果显示，部分学生存在不判断a、b范围直接用不等式或忽略取等号条件的讨论，都反映了部分学生对基本不等式本质理解不够，因此实际教学中应注重学生对知识本质的把握和理解，淡化套用基本不等式的一味强调。对于渗透在学习过程中的数学思想方法，如习题（1）的构造法，习题（3）的分类讨论思想等应给予学生适当的点拨，帮助学生领悟蕴含其中的思想方法，让思想方法引领解题，并在练习巩固中注重学生自我总结和反思的好习惯的养成。2. 注重思路梳理，提升思维完整 通过习题分层评价发现，部分学生虽然最后的计算结果正确，但是解答过程的不完整性却反映出其思维仍然存在混乱和疏漏之处，因此在习题教学时，我们可以帮助按照波利亚的解题四步骤先审清题意，梳理思路，拟定要解题计划以后，再动手实施计划，提升思维的完整性与全面性。3. 探索过程自主，思考时间宽裕在习题评价结束后，通过跟部分学生聊天了解到，课堂上，学生若一味在教师的讲授法中学习，很难深入理解知识的本质，他们需要教师提供一定的问题情境，让自己深入其中去探索去发现，他们需要足够的安静的思考时间和空间，去建构自己的知识体系，他们需要去犯错，然后改正和提炼。这样的探索过程，不仅是知识在学生心里自然生成的过程，也是学生思维自然流淌的过程，有助于学生对知识本质的把握，提升对知识的融汇贯通的运用能力。参考文献：1 Biggs, J. B., & Collis, K. F. Evaluating the Quality of Learning