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1 综合练习 608 解答 一 填空题 1 设 fx y的全微分为22xdxydy 且 1 12f 则 f x y 解 22 1 1 1 1222 x y fx yfxdxydyxy 2 函数 z f x yxy 在 1 1 2处的最大方向导数为 解 1 1 2 grad1 2 05f 3 设 fx y连续 且 222 1 D f x yxyxyf x y d 其中 22 1D xy 则 D f x y d 解 设 D If x y d 则 222 2 1 33 D IxyxyI dI 4 设 fx y在 0 1的邻域内有连续偏导 且 1123f x yxyo 其中 22 xy 则曲面 zfx y 在 0 1处的切平面方程为 解 0 11f 0 12 x f 0 13 y f 故 2 3 1n 切平面方程为 23110 xyz 即2320 xyz 5 设 1Lxy 则 1 L xyxyds 解 14 2 LL xyxydsds 6 设幂级数 0 1 n n n ax 在1x 处收敛 则该级数在2x 处 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 以上结论都不对 2 二 计算题 1 设 fx连续 且 x y xyzfxyt dt 求 zz xy 解 2 x y zz xyzf u dufxfy xy 2 设 zfx xy 且f具有二阶连续偏导 求 2z x y 解 12 z fyf x 2 21222 z fxfxyf x y 3 求 22 2lnf x yxyyy 的极值 解 1 00 xy fx yfx yxy e 又 2 2 4A e 0B Ce 于是 2 0ACB 0A 故 11 0 f ee 为极小值 4 讨论 2 1 11 ln 1 p n nn 的收敛性 解 若0p 则级数发散 0p 时 12 2 2 111 ln 1 p p n nn n 故 1 4 p 时级数收敛 1 4 p 时级数发散 三 求 31 D Ixd 其中 22 2D xyy 且yx 解 2sin 0 4 3 3 cos1 4 Idd 四 求柱面 2 1zx 被平面1xy 1y 以及0z 所截在第一卦限部分的 面积 3 解 11 22 01 1 141 45 51 12 xy Dx Ax dxdydxx dy 五 求 22 3 L Ixyydxxdy 其中L为 2 2yxx 上 2 0A到 0 0B 的有向弧 解 1 22 0 1 330 DL BABA Ixyddx 2cos 2 2 00 7 1 3 4 dd 六 求 222 Ix dydzy dzdxx zdxdy 其中 222 1xyz 外侧 解 2222 14 22 315 Ixyxdvxyzdv 七 将函数 0fxxx 展开为余弦级数 解 2 1 1 11 cos0 2 n n f xnxx n 八 求垂直于平面2340 xyz 并且与该平面的交线包含于xOy面的 平面方程 解
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