高中数学 1.1.3 导数的几何意义1课件 新人教A版选修22.ppt

1 1 3导数的几何意义 理解导数的几何意义 会求曲线的切线方程 本节重点 导数的几何意义及曲线的切线方程 本节难点 求曲线在某点处的切线方程 1 深刻理解 函数在一点处的导数 导函数 导数 的区别与联系 1 函数在一点处的导数f x0 是一个常数 不是变量 2 函数的导数 是针对某一区间内任意点x而言的 函数f x 在区间 a b 内每一点都可导 是指对于区间 a b 内的每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 根据函数的定义 在开区间 a b 内就构成了一个新的函数 就是函数f x 的导函数f x 3 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x0处的函数值 即f x0 f x x x0 所以求函数在某一点处的导数 一般是先求出函数的导函数 再计算这点的导函数值 2 函数f x 在点x0处有导数 则在该点处函数f x 的曲线必有切线 且导数值是该切线的斜率 但函数f x 的曲线在点x0处有切线 而函数f x 在该点处不一定可导 如f x 在x 0处有切线 但它不可导 1 导数的几何意义 割线斜率与切线斜率 2 函数的导数当x x0时 f x0 是一个确定的数 则当x变化时 f x 是x的一个函数 称f x 是f x 的导函数 简称导数 f x 也记作y 即f x y 例1 求函数y f x 2x2 4x在x 3处的导数 分析 求函数在某点处的导数 一种方法是直接求函数在该点的导数 另一种方法是先求函数在x x0处的导数表达式 再代入变量求导数值 上一节已经学过第一种方法 现在我们用第二种方法求解 已知函数y f x ax2 c 且f 1 2 求a 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 分析 求函数f x 图象上点p处的切线方程的步骤 先求出函数在点 x0 y0 处的导数f x0 即过点p的切线的斜率 再用点斜式写出切线方程 点评 一般地 设曲线c是函数y f x 的图象 点p x0 y0 是曲线c上的定点 点q x0 x y0 y 是c上与p邻近的点 有y0 f x0 y0 y f x0 x y f x0 x f x0 例3 在曲线y x2上过哪一点的切线 1 平行于直线y 4x 5 2 垂直于直线2x 6y 5 0 3 倾斜角为135 分析 解此类题的步骤为 先设切点坐标 x0 y0 求导函数f x 求切线的斜率f x0 由斜率间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 由于点 x0 y0 在曲线y f x 上 将x0代入求y0 得切点坐标 点评 此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标 直线l y x a a 0 和曲线c y x3 x2 1相切 1 求a的值 2 求切点的坐标 例4 已知曲线c y 3x4 2x3 9x2 4 1 求曲线c上横坐标为1的点的切线方程 2 第 1 小题中切线与曲线c是否还有其它公共点 分析 1 关键是求出切线斜率k f 1 及切点坐标 2 将 1 中的切线方程与曲线c联立 根据方程组的解的情况判断 12x3 6x2 18x 切线的斜率为k 12 6 18 12 切线方程为y 4 12 x 1 即y 12x 8 点评 此例说明 曲线与直线相切并不只有一个公共点 当曲线是二次曲线时 我们知道直线与曲线相切 有且只有一个公共点 这种观点对一般曲线不一定正确 求曲线y x3在点 3 27 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 一 选择题1 曲线y 2x2 1在点 0 1 处的切线的斜率是 a 4b 0c 4d 不存在 答案 b 2 曲线y x3在点p处的切线斜率为3 则点p的坐标为 a 2 8 b 1 1 1 1 答案 b 答案 b 二 填空题4 抛物线y2 x与x轴 y轴都只有一个公共点 在x轴和y轴这两条直线中 只有 是它的切线 而 不是它的切线 答案 y轴x轴 解析 如图所示 可知y轴是它的切线 而x轴不是它的切线 答案 k 解析 由导数的几何意义知 曲线y f x 在x0处的切线斜率即为函数y f x 在x x0时的导数 三 解答题6 求曲线y x2在x 1处的切线方程 解析 由y x2得 y x x