高考数学二轮复习 专题七 第2讲 概率、随机变量及其分布配套课件 理.ppt

专题七概率与统计 第2讲概率 随机变量及其分布 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 3 主干知识梳理 1 随机事件的概率 1 随机事件的概率范围 0 p a 1 必然事件的概率为1 不可能事件的概率为0 2 古典概型的概率 3 几何概型的概率 2 条件概率在a发生的条件下b发生的概率 3 相互独立事件同时发生的概率p ab p a p b 4 独立重复试验如果事件a在一次试验中发生的概率是p 那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 5 超几何分布在含有m件次品的n件产品中 任取n件 其中恰有x件次品 则p x k k 0 1 2 m 其中m min m n 且n n m n n m n n 此时称随机变量x服从超几何分布 超几何分布的模型是不放回抽样 超几何分布中的参数是m n n 6 离散型随机变量的分布列 1 设离散型随机变量x可能取的值为x1 x2 xi xn x取每一个值xi的概率为p x xi pi 则称下表 为离散型随机变量x的分布列 2 离散型随机变量x的分布列具有两个性质 pi 0 p1 p2 pi pn 1 i 1 2 3 n 3 e x x1p1 x2p2 xipi xnpn为x的均值或数学期望 简称期望 d x x1 e x 2 p1 x2 e x 2 p2 xi e x 2 pi xn e x 2 pn叫做随机变量x的方差 4 性质 e ax b ae x b d ax b a2d x x b n p 则e x np d x np 1 p x服从两点分布 则e x p d x p 1 p 7 正态分布若x n 2 则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 p x 0 6826 p 2 x 2 0 9544 p 3 x 3 0 9974 热点一古典概型与几何概型 热点二相互独立事件和独立重复试验 热点三随机变量的分布列 热点分类突破 例1 1 在1 2 3 4共4个数字中 任取两个数字 允许重复 其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是 热点一古典概型与几何概型 思维启迪符合古典概型特点 求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数 解析任取两个数字 可重复 共有4 4 16 种 排列方法 一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12 21 24 42共4种 2 2013 四川 节日前夕 小李在家门前的树上挂了两串彩灯 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮 那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 思维启迪由几何概型的特点 利用数形结合求解 解析如图所示 设在通电后的4秒钟内 甲串彩灯 乙串彩灯第一次亮的时刻为x y x y相互独立 所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为 答案c 变式训练1 1 2014 广东 从0 1 2 3 4 5 6 7 8 9中任取七个不同的数 则这七个数的中位数是6的概率为 解析从0 1 2 3 4 5 6 7 8 9中任取七个不同的数 基本事件总数共有 120 个 记事件 七个数的中位数为6 为事件a 则事件a包含的基本事件的个数为 20 例2甲 乙 丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试 考试分笔试和面试两部分 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生 可在高考中加分录取 两次考试过程相互独立 根据甲 乙 丙三个同学的平时成绩分析 甲 乙 丙三个同学能通过笔试的概率分别是0 6 0 5 0 4 能通过面试的概率分别是0 6 0 6 0 75 热点二相互独立事件和独立重复试验 1 求甲 乙 丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率 思维启迪本题主要考查相互独立事件的概率求法 1 的关键是利用转化与化归思想 把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算 解分别记 甲 乙 丙三个同学笔试合格 为事件a1 a2 a3 e表示事件 恰有一人通过笔试 0 6 0 5 0 6 0 4 0 5 0 6 0 4 0 5 0 4 0 38 即恰有一人通过笔试的概率是0 38 2 求经过两次考试后 至少有一人被该高校预录取的概率 思维启迪 2 的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解 解分别记 甲 乙 丙三个同学经过两次考试后合格 为事件a b c 则p a 0 6 0 6 0 36 p b 0 5 0 6 0 3 p c 0 4 0 75 0 3 事件f表示 甲 乙 丙三人中至少有一人被该高校预录取 则表示甲 乙 丙三人均没有被该高校预录取 1 0 64 0 7 0 7 0 6864 即经过两次考试后 至少有一人被预录取的概率是0 6864 变式训练2 甲乙丙三人商量周末去玩 甲提议去市中心逛街 乙提议去城郊觅秋 丙表示随意 最终 商定以抛硬币的方式决定结果 规则是 由丙抛掷硬币若干次 若正面朝上则甲得一分乙得零分 若反面朝上则乙得一分甲得零分 先得4分者获胜 三人均执行胜者的提议 记所需抛币次数为 解 6说明有1人在前5次中3次胜2次负 且第6次胜 1 求 6的概率 2 求 的分布列和期望 解 4说明有1人4次比赛均胜 5说明有1人第5次一定胜 前4次中3胜1负 7说明有1人第7次一定胜 前6次中3胜3负 的分布列为 例3 2013 辽宁 现有10道题 其中6道甲类题 4道乙类题 张同学从中任取3道题解答 1 求张同学至少取到1道乙类题的概率 热点三随机变量的分布列 思维启迪利用对立事件求概率 解设事件a 张同学所取的3道题至少有1道乙类题 则有 张同学所取的3道题都是甲类题 2 已知所取的3道题中有2道甲类题 1道乙类题 设张同学答对每道甲类题的概率都是 答对每道乙类题的概率都是 且各题答对与否相互独立 用x表示张同学答对题的个数 求x的分布列和数学期望 思维启迪计算每个x的值所对应的概率 解x所有的可能取值为0 1 2 3 所以x的分布列为 变式训练3 1 2013 湖北 如图 将一个各面都涂了油漆的正方体 切割为125个同样大小的小正方体 经过搅拌后 从中随机取一个小正方体 记它的油漆面数为x 则x的数学期望e x 等于 解析125个小正方体中8个三面涂漆 36个两面涂漆 54个一面涂漆 27个没有涂漆 从中随机取一个正方体 涂漆面数x的数学期望 答案b 2 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率均为p 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记x为该毕业生得到面试的公司个数 若p x 0 则随机变量x的数学期望e x 随机变量x的分布列为 概率模型的应用 需熟练掌握以下常考的五种模型 1 基本事件的发生具有等可能性 一般可以抽象转化为古典概型问题 解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件a中包含的基本事件个数m 2 与图形的长度 面积或体积有关的概率应用问题 一般可以应用几何概型求解 即随机事件a的概率可用 事件a包含的基本事件所占图形的 本讲规律总结 度量 长度 面积或体积 与 试验的基本事件所占图形的度量 长度 面积或体积 之比表示 3 两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题 可转化为互斥事件来解决 解决这类问题的关键是分清事件是否互斥 4 事件是否发生相互不影响的实际应用问题 可转化为独立事件的概率问题 其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题 应用独立事件 同时发生的概率和二项分布公式求解 5 有关平均值和稳定性的实际应用问题 一般可抽象为随机变量的期望与方差问题 先求出事件在各种情况下发生的概率 再应用公式求随机变量的期望和方差 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 2014 陕西 从正方形四个顶点及其中心这5个点中 任取2个点 则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 c 真题感悟 2 1 2 2014 浙江 已知甲盒中仅有1个球且为红球 乙盒中有m个红球和n个蓝球 m 3 n 3 从乙盒中随机抽取i i 1 2 个球放入甲盒中 1 放入i个球后 甲盒中含有红球的个数记为 i i 1 2 真题感悟 2 1 2 放入i个球后 从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi i 1 2 则 a p1 p2 e 1 e 2 c p1 p2 e 1 e 2 d p1 p2 e 1 e 2 真题感悟 2 1 解析随机变量 1 2的分布列如下 真题感悟 2 1 所以e 1 e 2 真题感悟 2 1 答案a 押题精练 1 2 3 1 有编号分别为1 2 3 4 5的5个红球和5个黑球 从中随机取出4个 则取出球的编号互不相同的概率为 解析有编号分别为1 2 3 4 5的5个红球和5个黑球 从中随机取出4个 有 210种不同的结果 由于是随机取出的 押题精练 1 2 3 所以每个结果出现的可能性是相等的 设事件a为 取出球的编号互不相同 答案d 押题精练 1 2 3 2 箱中装有标号为1 2 3 4 5 6且大小相同的6个球 从箱中一次摸出两个球 记下号码并放回 如果两球号码之积是4的倍数 则获奖 现有4人参与摸奖 每人一次 则恰好有3人获奖的概率是 押题精练 1 2 3 解析由题意得任取两球有种情况 取出两球号码之积是4的倍数的情况为 1 4 2 4 3 4 2 6 4 6 4 5 共6种情况 答案b 押题精练 1 2 3 3 甲乙两支球队进行总决赛 比赛采用七场四胜制 即若有一队先胜四场 则此队为总冠军 比赛结束 因两队实力相当 每场比赛两队获胜的可能性均为 据以往资料统计 第一场比赛可获得门票收入40万元 以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元 押题精练 1 2 3 1 求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率 解依题意 每场比赛获得的门票收入组成首