史丰收速算.doc

三、史丰收速算法的教学 进行史丰收速算法教学，需要研究明确下面五个问题。 1、教学内容。用于加、减、乘、除四则运算方面，包括下面内容： （1）指算加法，包括两个一位数相加；多个一位数连加；两个两位数（包括一个是一位数）相加；多个两位数连加；两个多位数相加；多个多位数连加。（由于减法通过复合数转化为用加法计算，所以没有指算减法计算。） （2）口算乘法，就是乘数是一位数乘法的一笔清或一口清，包括乘数是2、3、4、5、6、7、8、9的一位数乘一位数、一位数乘两位数、一位数乘多位数的乘法。 （3）笔算乘法，包括乘数是两位数的乘法，乘数是多位数的乘法。 （4）心算乘法，跟笔算乘法的内容相同。 （5）笔算除法，包括除数是一位数的除法，除数是两位数的除法，除数是多位数的除法。 （6）心算除法，内容跟笔算除法的内容相同。2、教学形式。史丰收速算法可以安排在基础课里学习，也可以安排在活动课、练习课里学习，可以在兴趣小组里学，也可以在家里学习。3、教学时间。史丰收速算法未进入课堂常规教学以前，一般安排在活动课里学习，或者用课余规定的时间来学习。深圳市的福南小学、华富小学、罗湖小学、翠北小学、莲花小学等是每周安排学习一次，新沙小学是每周学习两次，每次40分钟，时间排定在学校的课程表里，竞赛前再适当增加培训时间。研究所组织的强化班培训，安排在周六或周日里进行，每生每次学半天，学生按排定的时间去学习。4、教学结构。 教学史丰收速算法，无论是在活动课（第二课堂）里教学，还是在基础课（第一课堂）里教学，都要做好传授知识、开发智力、培养能力、激发非智力因素等方面的工作。所以，教学史丰收速算法应该运用启发式，积极引导学生主动探求知识，研究课堂教学优化，提高教学效率。因此，采用合适的课堂教学结构，以保证史丰收速算法教学的顺利进行是很有必要的。5、教学用书。史丰收速算法国际研究与培训中心已编有供师生使用的史丰收速算法普及本和相应的练习册，还有速算教学VCD碟。教材是教学的中介。教学的依据，有了合适的教材，就有利于教与学。目 录序 史丰收速算法简介第一章概述11.1问题的提出11.2一位数乘多位数4第二章一位数乘多位数62.1传统方法为什么那么笨62.2高位乘法的快速算法大意72.3提出几个概念92.4一位乘法运算程序和法则92.52的乘法规律102.63的乘法规律132.74的乘法规律182.85的乘法规律232.96的乘法规律262.107的乘法规律312.118的乘法规律372.129的乘法规律412.13个位规律综合分析442.14小结46第三章指算加法483.1手指与数码483.2一位加法503.3进位法则553.4一位数累加573.5小结59第四章多位数加、减法604.1多位的加法604.2纯心算加法614.3传统加减法的迂回曲折624.4复合数624.5负数与复数的转换644.6多位数减法及加减法混算65第五章多位乘法665.1竖式算法665.2乘法纯心算的大局探讨675.3乘法纯心算的分位探讨695.4乘法纯心算的方法与例题695.5小结74第六章多位数除法756.1竖式除法756.2除法纯心算77第七章速算与珠算结合857.1多位数加法857.2多位数减法及加减混合运算917.3多位数乘法与珠算结合937.4积的定位937.5空盘前乘法967.6空盘省乘法1017.7多位数除法与珠算结合107第一章 概 述1.1问题的提出大家都知道，算术四则运算是一切数学的基础。而在速算中，乘法是快速运算的基础，可是，两个多位数的乘法，古今中外一直都是从个位算起，再到十位，百位。乘数有几位，就得列几排，然后从个位加起，最后得出乘积数，中间过程繁多，进位也容易出错。长期以来，多少人曾考虑能否找出新的规律，以提高运算效率。我带着这个问题，经过多年的钻研和摸索，终于发明了一种速算法。我认为老方法之所以“慢”，关键是两个问题没有解决，一是“进位”，二是“相加”。我的快速算法，就是针对“进位”和“相加”的问题取得了新突破，从而提高运算迅速。为了便于了解“快速算法”的具体内容，首先谈谈快速算法有关的几个问题：（一）乘法与加法的关系我们知道，十进制普通加法的运算法则是数位对齐，逐位相加，满十进位。乘法的运算法则是逐位相乘，同位数相加，满十进位。从表面上看，两者都是只有满十进位是相同的。其实，在乘法里的逐位相乘，就表示加法里的数位对齐相加，而乘法的同位数相加，就表示加法里的逐位相加。两个法则里讲的形式虽然不同，但运算实质是一致的，都满足“同位数相加，满十进位”的规律，这是加法与乘法的共性。但是，乘法与加法相比有着不同特点，即其个性。从普通加法来看，每个数位上的相加数变化无常，是异数相加，而乘法表示的是同数相加，每个数位上的数都是相同的，或者说是“同数”连加，这是乘法的特性，也是乘法不同于一般加法的地方。它说明了加、乘之间的关系。更反应出乘法规律性强之所在，是乘法简便于加法的根据。“快速算法“就是抓住乘法这一特点，研究并建立新的简捷算法。（二）建立速算乘法改变运算程序的初想普通加法与乘法的运算，有交换律、结合律和分配律。它们的作用与加或乘数的运算技术无关，也就是说，可以从低位算起，也可以从高位算起，还可以从中间任一位算起。例如：74622 =70002400260222(高位算起) =22602400270002（低位算起） =40026022270002（中间某一位算起）从这个特点，我们注意到一点很协调的事，即数的读、写、看都是由左到右（由高位到低位）进行，但一般加、减、乘、除运算却是由低位到高位进行（除法表面上是从高位算起，其实它的每一步运算都是从低位算起，商不准还要改商），这样，读、写、看与算四者不统一。而日常应用中却又是先算大数后算小数。考虑到这种脱节，我们的脑海中便产生了乘法能否也从高位算起的想法，如果能把四者统一起来，在实际应用中就方便多了。乘法运算的实质，都是“同位数相加，满十进位”，而本位的个位数与它后位的进位数在同位上，要进行相加，就提出这样的问题：本位的个位数有无规律？后位的进位数有无规律？能否在运算中把后位的进位数提前找到，提前加入本位？能“提前进位”才能做到从高位算起，边算边清位，边算边定得数，计算速度必然就大大加快了。但是，实现“提前进位”，取决于相乘数的个位规律（简称个律）和进位规律（简称进律）的掌握，这是从高位算要解决的主要问题。在普通加法中，加法的进位数用进位点“、”表示，运算时把它写在横线下，同位数对齐。深入研究这种形式上的不同，能否从中找出具有共同规律性的东西呢？从低算起的加法，用进位点暂记进位数比较方便；乘法中的进位数用数字比较方便，形式虽然不同，用意则是一样的。现在我们从一点出发，将加、乘法形式统一用数字来表示。这样做，并不影响运算的正确性，相反，更符合实际，更有利于寻找其中的规律性。我们把连加运算的这种书写方式，称为“分裂进、个”。因为，原来的运算是把进位数与前位的个位数混在了一起，完全当做一件事，并按前位的个位数来对待的，这样便造成一种错觉，也掩盖了加法运算的实质。因此，现在把惯用的书写方式改变过来是很有必要的。我们把后位的进位数简称“后进”，本位上诸数相加后其和的个位数简称“本个”。例如：普通加法分裂进、个加法 8 3 4 4 8 3 4 4 2 9 6 2 9 6 5 4 3 5 4 37 8 9 7 8 9 2 0 0 4 2 0 0 4 1 1 9 7 6 1 1 2 2（后进） 0 7 5 6 （本个） 1 1 9 7 6 （和的每位数=后进本个）从右边“分裂进、个”算式中，我们竖看和11976的每位数是这样构成的：首位数只有“后进”上来的数1，末位数仅为“本个”，即6，中间各位数1、9、7都是“本个加后进”，即（01）、（72）、（52）。我们可以把相加数中最高位的本个看成是0，最低进位的后进也视为0。所以和的每位数都可以统一为“本个加后进”。加法的特例：同数连加 乘 法 8 3 4 2 8 3 4 28 3 4 2 4 8 3 4 2 3 1 1 0 （后进） 8 3 4 2 2 2 6 8（本个）3 1 1 0 （后进） 3 3 3 6 8（积） 2 2 6 8（本个）3 3 3 6 8（积）乘法同加法一样，竖看，积的每位数也是：首位数为“后进”，末位数为“本个”。其余各位数都是“本个加后进”。从上面乘式中同样可以看出：相乘数“本个”的最高位前位没有数，可视为0；“后进”的最低位的后位也没有数，也视为0。因此，也可以说，积的每位数都可以统一成为“本个加后进“。从此看来，乘法问题，实质上还是相乘中“本个加后进”的重复运算，只要预先把本个与后进分开，积的每位数便能由高位到低位，按“本个加后进”逐位推移的方法运算得到。而除法则是乘法的逆运算，在乘除的过程中还要用到加减法，这个又促成了加减法的速算法，所以说，乘法是快速计算法的突破点。为配合快速乘法的需要，加法也应从高位算起。为此，又制定了一种辅助算法指算，仅用左手五个手指的屈伸翻转，能连加任意个一位数，其间只须脑记进位数。又用一种复合数代替负数，可以把减法变加法，这样就把加减速混合计算统一在一个法则之下。这就是史丰收速算法的大概描述。1.2一位数乘多位数我们按照由易到难的原则，先介绍“一位数乘多位数”的速算法。即乘数是一位数，而被乘数是多位数的乘法规律。任何一个n 位数乘以一位数，其结果将是一个n 位数或者n1位数。例如：23453=7035，这里是四位数（n =4）。2345乘以一位数3，得数是四位数7035。又如：99999=89991，这也是四位数（n =4）乘以一位数，结果是五位数（n1 =5）。为了讲解方便起见，我们约定把n位数乘法一位数的得数仍为n位数的情形也说成是n1 位，而将其每一位数视为0。比如前一例中得数7035是四位数，我们可以把它说成是五位数07035。作这样的约定后，我们就可以统一地说：一个n 位数乘以一位数，其得数是一个n1位数。作了上述约定后，我们根据一般乘法规律，还可以得出一个原则：多位数乘以一位数时，得数中的第m位数，是由被乘数第m位数以及跟随这位数的若干位数和乘数而确定的。例如：17572 =3514，按上述约定其积为应是五位，所以积可以视为03514，积的第三位数是5，它等于被乘数的第三位数7与乘数2相乘所的个位数4，与7后的57乘以2所得的进位数1相加而成的。又如53752 =10750，因积的位数已经够五位，所以积的首位数不应补0。积的第三位数7，是由被乘数的第三位数3乘以2所得的6，与3后的数75乘以2所得的进位数1相加而得。由此可见，要确定乘积中的第m位数，关键是要确定进位数，也就是说，要找出进位规律来。我们可以把被乘数除数的第m位当做个位数，该位以后的数看作小数（小数点后的数），设这个小数为k，并设乘数为b，被乘数的第m位为am，积的第m位数为cm，则cm=amb的个位数kb进到个位的数。显然，当1kb2进，就进1。用b除不等式得k 这就是说，当小数部分k大于、等于而小于时，就进1。所以我们把叫做乘数为b的进位率。当2() k3()时，就进2；3() k4()时，就进3；依次类推。不同的乘数b，进位率也是不同的，现在排列于下：乘数（b）进位率（） = 0.5 = = 0.25 = 0.2 = = = 0.125 = 如果我们把小数部分k的小数点去掉，同样把上述进位率的小数点也去掉，于是，我们可以得出乘数分别为2到9的进位规律：乘数?进位规律2?2满5进1?3?3?超进13超进2?4?4?满25进14满5进2?4 满75进3?5?5?满2进15满4进25满6进35满8进4?6?6?超进16超进26满5进36超进46超进5?7? 7超进1? 7超进27超进3 7超进47超7进5 7超进6?8?8?满125进1? 8满25进28满375进3 8满5进4? 8满625进5 8满75进68满875进7?9?9超进19超进29超进3 9超进49超进5 9超进69超进7 9超进8所谓“满”，是指的意思，“满5进一”指0.5时，以2乘之进1。“超”，是指的意思，“超进1”指0.333时，以3乘之进1。由以上进位规律性可以明显看出，当乘数为n 时，最大的进位数是n1 ，并且有n1 句进位口决。第二章一位数乘以多位数用一位数乘多位数的乘法是乘法的基础，也是快速算法的基本功；因此把它作为学习乘法的开端。本章着重讨论这种乘法从高位算起的方法和理论。2.1传统方法为什么那么笨关于这个问题可以借助于实例具体说明。如15834被6乘时，若想知道其乘积的千位上是什么数，除去需要知道本位上56 =30个位数0（即本个为0）以外，还需要知道后面8346进到千位上的数。这必须用6把个位上的4。十位上的3，百位上的8乘遍了以后，才知道这个应进的数（是5）。这要消耗很多时间。利用快速计算法的进位规律能够使我们一看834就知道83465000，从而断定进到千位上的数是5，按“本个加后进”的原则可知，积的千位数应该是本个0加上后进5，等于5。由于快速算法能预断进位数，所以能从高位乘起。2.2高位乘起的快速乘法大意仍以158346为例来说明。 1 5 8 3 4 6 （1） 9 5 0 0 4要问乘积的万位数是什么数，首先想到的是被乘数万位上的1乘以6所得数的本个数为6，另一部分是58346要进到万位上的后进数，从理论上估计它，应该是 5000 5834 6000 30000=50006 58346 60006 =36000等号两边万位数都是3，这充分说明58346，进到万位上的一定是3，那么乘积的万位上一定是本个6后进3=9。再看千位上的数，这里有56 =30本个数0，还有8346进到千位上的数。这回若同样按照前边那样估计：800 834 9004800=8006 8346 9006 =5400就不爽了。因为最左端的千位是4，而最右端的千位数是5，进位数究竟是4？还是5？，一眼难得看出来。不过，只要看到8346 =5004就能知道进数是5，所以千位上是05=5。以上就是从高位乘起的大致程序。这里的难点是如何测定后边进上来的数。快速计算法要解决的正是这两个问题：其一是被乘数某位乘了以后的个位数如何求？第二是该位右边的数被乘以后，要进上来什么数。本章以后各节主要讲这两个问题。我们必须能够一下子把要进位的数看出来，才能够由高位自左而右书写出乘积的各位数字。这种一次性进位要比传统乘法由个位起一位位地乘遍后才知进数快得多。这种乘法“快”就快在这里，而且关键正是既快又准确地估计这种后进的数为多少，没有这种本领也就谈不上“快”了。2.3 提出几个概念 为了便于叙述，我们在这里提出几个名词：（一）本位、假小数快速乘法和传统乘法一样，都要一位位处理被乘数的每位数字。传统乘法将口诀（九九表）施加于被乘数某位数时，是把这位数当做个位看待的，快速乘法也这样，我们把被乘数中正在处理的那个数位叫做“本位”。从本位右侧第一位到最末位所表示的数，叫做“假小数”。例如在2.2的竖式（1）中，当用6乘5时，5是本位，它右边的834是假小数。（二）本个、后进、本位积本位被乘以后，我们只取本位数与乘数相乘后的积的个位数，它是最后乘积中相应数位的一部分，叫做“本个”。本位的假小数与乘数相乘后要进位的数，叫做“后进”，“本个后进”之积的个位数才是最后乘积中相应数位上的数，称做“本位积”，例如（1）式中以5为本位时，乘各在这位上的本个是0，后进是5，本位积是5。当8为本位时，本个是86 =48的8，后进是346的进位数2，本位积是82 =10中的个位0。（三）补数一个数的补数是由10减它而得的差。例如3的补数是7。显然甲数是乙数的补数时，乙数必然也是甲数的补数，这时我们常说甲、乙两数互补。对于两数之和为100、1000、的数，我们称为大补数。在10的范围内互补的数有五对，它们是1,9；2,8；3,7；4,6；5,5。（四）偶同小于10的两个非负整数同乘以一个偶数时，如果所得乘积的个位数字相同，就说这两个数是偶同，或者说它们互为偶同。偶同数共有五对，它们是0 , 5；1 , 6；2 , 7；3 , 8；4 , 9。构成偶同的基本条件是两数相差为5。或者说，两数偶同的必要充分条件是它们的差等于5，也可以说一个小于10的非负整数的偶同数就是该数加5的个位数。此五对偶同数必须牢牢熟记，随意说出一数，要不假思索地报出它的偶同数出来。例如： 0的偶同数5 ，1的偶同数6 ，2的偶同数7（五）自倍自倍是给10以下的非负整数规定的一种运算。其中0,1,2,3,4的自倍是0,2,4,6,8。5,6,7,8,9的自倍是它们的偶同的自倍。即是说，对于5, 6, 7, 8, 9取偶同 0, 1, 2, 3, 4 再自倍0, 2, 4, 6, 8这里特别要注意：5的自倍是0，（注：而不是10）6的自倍是2，（注：而不是12）7的自倍是4，（注：而不是14）8的自倍是6，（注：而不是16）9的自倍是8，（注：而不是18）这五个自倍数也不难记忆，只要记住偶同的五对数，再知道偶同的两数自倍相同就行了，应该把下边这个表背得烂熟。偶同数0，51，62，73，84，9自倍数024682.4 一位数乘法运算程序和法则一位数乘多位数的乘法运算可分三个层次。第一、被乘数首位前补0。这项措施无碍于乘积的数值，却能使乘积的位数永远与被乘数的位数相同。如果乘积的位数发生错误，一眼就能看出来。经过这样处理后才可以说：乘积的任何一位都等于这位上的本个加后进，且只取其各的个位数。第二、从高位算起。即，从最左边补的那个0开始，按本位积=（本个后进）只取和的个位数的公式，逐位求出本位积。为什么本个与后进之积大于9，出现十位数时便弃去十位上的数呢？因为本位左边那位的后进数已经把这个十位上的数包括进去了，所以不能再加一次。本位积的计算一般是作20以内的加法（本个后进），并取其和的个位数。因此，20以内的加法越熟练，计算速度就越快。2.5 2的乘法规律从现在起，我们分别讨论不同的乘数与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字相乘时的本个如何求？各种后进如何算？求本个的方法叫个位规律，求后进的方法叫做进位规律。这两种规律合起来是以代替九九表。在一位数乘多位数时比九九表敏捷，是快速乘法的骨架。乘数为1时，这个大家都懂了吧？！1乘任何数都不变，不进位，后进数为0。下面正式讲乘数为2的规律。（一）个位规律乘数为2的个位规律是本位乘以2时只求其个位数的法则，在2.4里讲的自倍数，正好就是用乘了0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之后的个位数。所双自倍的算法就是关于乘数为2，求本个的方法。于是乘数为2时的本个规律是自倍因些，我们可以将2.4里的自倍表挪过来当作乘数为2时的本个表。本位0，51，62，73，84，9本个02468【再提醒大家】本位为5，6，7，8，9时的推算本要先取其偶同（减5即是），然后自倍之。不要暗中用九九表计算，那是自毁长城。其实，这五个本个不难刻，通过一定的练习，熟练后必能生巧。（二）进位规律乘数为2时只看本位后第一位数字就能决定进位数，2乘0，1，2，3，4都不进位，2乘5，6，7，8，9都进1。数5是进不进位的分界点，满5就进1。不满5就不进位，或者说进位数是0。满5就进1，不满5就不进位，或者说进位数是0。满5的意思是“大于等于5”。小于5时就不进位，等于或者大于5就进1。如果用“满5”代替“等于或者大于5”，便可以把进位法则概括为一句简单的进位规律：2满5进1这句话自然暗含着“不够5不进”的意思，这是不言而喻的。只凭个位后边第一位来判断后进数的方法固然简便，然而后进数是从假小数整体产生的，不是从它的首位产生的。满5的数不仅有5，6，7，8，9。以59为首位假小数都满5。既然审断后进数要从假小数着眼，不该只看这假小数的第一位数字；那么我们应该在“满5”的正确理解之下看看这进位规律是否可靠。 0 满5的纯小数 0.5 0 满5的纯小数2 1所以假小数首位小于5时，后进数为0，而且只能是0。0.5 满5的纯小数 1 1 满5的纯小数2 2所以假小数首位大于或者等于5时，后进数为1，而且只能是1。例如本位后的数为4871，07353，246，1293，38都是不满5的，以它们为假小数时进位数是0。而本位后的数为73591，843，5945，9999，66734都是满5的，以它们为假小数时，进位数是1。理解了以上这些理论才算真正懂得进位规律的口诀。（三）计算程序剖析乘积的每位数是由“本个加后进”的和产生的，即：本位积=（本个后进）之和的个位数那么演算时要由左而右地逐位求本个与后进然后相加再取其个位数。现在用具体实例说明演算时的思维活动。【例1】：3728692=745738根据2.4讲的法则，被乘数首位前补0，列出算式： 0 3 7 2 8 6 9 2 0 7 4 5 7 3 8 02 本个0，后进0（后位3不满5）00得0 32本个6，后进1（后位7满5进1）61得7 72本个4，后进0（后位2不满5）40得422本个4，后进1（后位8满5进1）41得582本个6，后进1（后位6满5进1）61得762本个2，后进1（后位9满5进1）21得392本个8，无后位，得8【例2】：53979632被乘数首位前补0，直接用横式算出，注意将位对齐。053979632 = 10795926【例3】： 8475362 =16950720 8 4 7 5 3 6 2 1 6 8 5 0 7 2 02 本个0，后位8，后进1，得1 82本个6，后位4，后进0，得6 42本个8，后位7，后进1，得972本个4，后位5，后进1，得552本个0，后位3，后进1，得032本个6，后位6，后进1，得762本个2，无后位，得2【习题2.1】计算下列各题的乘积0764292=0876542=0943182=0865322=0348522=0827342=0231452=0983562=0923422=0385922=0245432=0354952=0125942=0348692=0194672=0123562=0394582=0947322=0574592=0853762=0753592=0345282=0362182=0274872=0375932=0285372=0737022=0347582=0934452=0236462=0138532=0347292=0276342=0927452=0273542=0975322=0234652=0457232=0985862=0687952=0767842=0347242=0832652=0473852=0472652=0857352=0462962=0874732=0847642=0437622=0632872=0375272=0734622=0785962=0475832=0783462=0634852=2.6 3的乘法规律（一）个位规律用3分别去乘09各数时，本个的数值有如下表：本位0123456789本个0369258147先看被乘数为偶数的本个，本位02468本个06284这四个本个都是本位的补数的自倍。检验一下，看看：2的补数为8，而8的自倍为6；4的补数为6，而6的自倍为2；6的补数为4，而4的自倍为8；8的补数为2，而2的自倍为4。这种共同现象并不是偶然的，我们用2k代表被乘数（0，2，4，6，8）的任何一个，那么2k的补数是（102k），这补数用2乘（先不说自倍，这里保留着十位数），得（102k）2 =204k按上边讲的个位数字，（204k）的个位数字应该是2k3=6k的个位数字。这话真假未定，现在的问题，是要确认（204k）与6k的个位数是否相同。这可以看两数之差|（204k）6k|的个位是否为0来判断。现在|（204k）6k|=|2010k|=|2k|10是10的倍数，个位确实是0，所以（102k）2的个位数字也就是6k的个位数字。由此我们得到3乘偶数的个位规律是：偶数，取补、自倍，简称“偶补倍”。我们再看奇数被3乘的本个：本位13579本个39517这五个本个都是被乘数取补、自倍，然后取偶同的结果。也不妨检验下：1的补是9，9的自倍是8，8的偶同是3；3的补是7，7的自倍是4，4的偶同是9；5的补是5，5的自倍是0，0的偶同是5；7的补是3，3的自倍是6，6的偶同是1；9的补是1，1的自倍是2，2的偶同是7。现在也像前面一样把规律讲解下，用2k1代表1、3、5、7、9的任何一个数，那么（2k1）的取补，10（2k1）=92k，按乘法理解，（92k）的自倍是2（92k）=184k，（184k）取偶同，就是184k5的个位数，现在要确认（184k5）的个位数字就是（2k1）3=6k3的个位数字，那么只要能知道|（184k5）（6k3）|的个位数是0就行，或者说知道15510k是10的倍数就行了。前边的式子等于（2k）10是10的倍数。由此得出奇数被3乘的个位规律是：奇数取补、自倍再取偶同，简称“奇、补倍取偶同”。（二）进位规律仅从本位右侧一位数字一眼就能判断后进数是几只有乘数为2时可行（满5进1）。乘数为3时就不这样简单了，原因在于本位乘3的进位数取于假小数全体，不是单从假小数首位产生的。假小数的首位是0、1、2一定不进位。这因为这样的小数一定在0与0.3之间。例如：0.2712873进1第四位假小数首位3，与3比后有43进1第五位假小数首位4，进1第六位假小数首位6，与6比后有26，进1第七位假小数首位6，同上进1第八位假小数首位6，同上进1第九位假小数首位2，进0第十位假小数首位8，进2第十一位假小数首位1，进0【例2】8642373 =2592711?0 8 6 4 2 3 7 3 03 本个0，后位8，超进2，02得1 83本个4，后位64，超进1，41得5 63本个8，后位4，超进1，81得943本个2，后位2，小于进0，20得223本个6，后位37，超进1，61得733本个9，后位7，超进2?，92得173本个1，无后位，故10得1【例3】开始学速算的读者，也可以先照下列竖式演算。53602743 =16080822 0 5 3 6 0 2 7 4 3 本个0 5 9 8 0 6 1 2后进1 1 1 0 0 2 1 0 1 6 0 8 0 8 2 2【习题2.2】计算下列乘积0837593=0737943=0273483=0784753=0138433=0635243=0873763=0211733=0234793=0648563=0849733=0736483=0347593=0975323=0634793=0874233=0972313=0946273=0834683=0794573=0894763=0137423=0846353=0972643=0313283=0107423=0237573=0237463=0463493=0639543=0549353=0674683=0324583=0334583=0973453=0472683=0476853=0238543=0473463=0437593=0594763=0583473=0484793=0936753=0458573=04752423=04749223=08547323=04758923=09863523=05637523=04695623=04723923=06382423=09782923=08487623=07375423=03685923=07385223=08762623=02379523=09475623=03478523=04759623=07356423=03685623=02749823=02754823=04768323=08347523=03685923=03675323=04683623=04782323=09746423=04683423=08947523=03476523=04765223=03664623=06483623=05765923=04779523=07786223=04768423=05786223=05638523=2.7 4的乘法规律（一）个位规律用4分别去乘09各数时，本个的值如下表：本位0123456789本个0482604826先看被乘数是偶数的情形：当本位是0，2，4，6，8时，它们的本个各是0，8，6，4，2。本位与本个是互补的关系，所以本位是偶数时由它取补就是本个。为了记忆简便，我们说是“偶、补”。理论上很简单：2k4 =10（k1）（102k），而102k是2k的补数。再看被乘数是奇数的情形：当本位是1，3，5，7，9时，它们的补数分别是9，7，5，3，1。而这些补数的偶同又分别是4，2，0，8，6。这正是偶数的本个值。所以奇数的本个应是“奇、补取偶同”。这因为( 2k1 ) 4 10 ( 2k1 ) =10k10这表示(2k1)4与10(2k1)有相同的个位数。那么乘数是4的个位规律是：偶、补，奇、补取偶同。（二）进位规律现在把2.6对乘数为3讲的那套进位理论一般化，即可作为以后各段的共同根据。乘数为n进，进位率是,进位分界点是，共有（n1 ）。进位界限是：0 纯小数时，进数是0， 纯小数时，进数是1， 纯小数时，进数是2，纯小数 1时，进数是（n1 ）。最大的进数是（n1）。进位区间是0, ）， ），1）。对于4来说，进位率是 =0.25。进位分界点是： =0.25， =0. 5， =0.7 5。进位区间是：0, 0.25），0.25，0.5），0.5，0.75），0.75，1）。进位界限是：0 纯小数 0.25时，进数是0，0.25 纯小数 0.5时，进数是1，0.5 纯小数 0.75时，进数是2，0.75 纯小数 1时，进数是3.改写成口诀的进位规律便是：4满2