高中数学 第二节 直线与圆的位置关系课件 理 新人教A版选修41.ppt

第二节直线与圆的位置关系 1 圆周角和圆心角定理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于 的度数 推论1 同弧或等弧所对的 相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的 也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 圆心角 它所对弧 圆周角 弧 直角 直径 2 圆的内接四边形的性质与判定定理定理1 圆的内接四边形的对角 定理2 圆内接四边形的外角等于它的 定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 互补 内角的对角 共圆 3 圆的切线的性质与判定及弦切角定理 1 圆的切线的性质与判定 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过 判定定理 经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线 2 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 半径 切点 圆心 垂直 圆周角 4 与圆有关的比例线段 相等 相等 切线长 切线长 两条切线 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 圆心角等于圆周角的2倍 2 相等的圆周角所对的弧也相等 3 任意一个四边形 三角形都有外接圆 4 等腰梯形一定有外接圆 5 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数 解析 1 错误 若弧不一样 则圆心角与圆周角的关系不确定 2 错误 只有同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧才相等 3 错误 任意一个四边形不一定有外接圆 但任意一个三角形一定有外接圆 4 正确 可以推出等腰梯形的对角互补 所以有外接圆 5 错误 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数 所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍 答案 1 2 3 4 5 考向1圆周角定理 典例1 1 2013 中山模拟 如图 ab为 o的直径 弦ac bd交于点p 若ab 3 cd 1 则sin cbd 2 2013 汕头模拟 点a b c是圆o上的点 且ab 2 bc cab 则 abc 思路点拨 1 连接ad 结合圆周角定理 正弦定理得到再利用ad absin abd求解 2 连接co 把 cab 转化为 boc 利用等腰三角形boc求出半径 可得 aob为等腰直角三角形 再利用圆周角定理转化即可 规范解答 1 连接ad 因为ab是圆o的直径 所以 adb acb 90 又 acd abd cbd cad 所以在 acd中 由正弦定理得 ab 3 又cd 1 所以sin cad 又 cbd cad 所以sin cbd 答案 2 连接co 因为 cab 所以优弧bc所对的圆心角为从而 boc 在等腰三角形boc中可求得半径ob 因为ab 2 所以 aob为等腰直角三角形 所以 aob 所以 aoc abc aoc 答案 拓展提升 圆周角定理常用的三种转化 1 圆周角与圆周角之间的转化 2 圆周角与圆心角之间的转化 3 弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 变式训练 1 如图所示 圆的内接三角形abc的角平分线bd与ac交于点d 与圆交于点e 连接ae 已知ed 3 bd 6 则线段ae的长 解析 e e be平分 abc ead ebc 所以 ead eba eda eab 即ae2 ed be 3 9 27 ae 答案 2 如图 已知pa pb是圆o的切线 a b分别为切点 c为圆o上不与a b重合的另一点 若 acb 120 则 apb 解析 如图所示 连接oa ob acb 120 优弧ab所对的圆心角为240 从而 aob 120 又pa pb是圆o的切线 oap obp 90 apb 60 答案 60 考向2圆内接四边形的判定与性质 典例2 1 如图所示 在梯形abcd中 ad bc 点e f分别在边ab cd上 设ed与af相交于点g 若b c f e四点共圆 且ag 1 gf 2 dg 则ge 2 如图所示 已知ap是 o的切线 p为切点 ac是 o的割线 与 o交于b c两点 圆心o在 pac的内部 点m是bc的中点 若 oam 25 则 apm 思路点拨 1 连接ef 由ad bc及b c f e四点共圆 可判断a d f e四点共圆 再利用相交弦定理求ge 2 连接op om 可证a p o m四点共圆 由 oam opm即可求解 规范解答 1 如图所示 连接ef b c f e四点共圆 abc efd ad bc bad abc 180 bad efd 180 a d f e四点共圆 由相交弦定理 可得ag gf dg ge 因此答案 2 连接op om ap与 o相切于点p op ap m是 o的弦bc的中点 om bc opa oma 180 a p o m四点共圆 oam opm 25 apm 90 25 65 答案 65 拓展提升 圆内接四边形的重要结论 1 内接于圆的平行四边形是矩形 2 内接于圆的菱形是正方形 3 内接于圆的梯形是等腰梯形 变式训练 2013 广州模拟 如图 o中 直径ab和弦de互相垂直 c是de延长线上一点 连接bc与圆o交于f 若 cfe 40 则 deb 解析 ab de bde deb 根据圆的内接四边形性质定理 bde cfe deb cfe 40 答案 40 考向3圆的切线的性质与判定 弦切角定理 典例3 1 2012 广东高考 如图 圆o的半径为1 a b c是圆周上的三点 满足 abc 30 过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p 则pa 2 如图所示 ab是 o的直径 o过bc的中点d de ac 若 ade 50 则 abd 思路点拨 1 连接oa ac从而可得 aoc为等边三角形 pac 30 pac为等腰三角形 再由ac cp 1可得结果 2 连接od 证明de是圆o的切线 再利用弦切角定理进行转化即可 规范解答 1 连接ao ac 因为 abc 30 cap 30 aoc 60 又 oa oc aoc为等边三角形 则 acp 120 apc 30 acp为等腰三角形 且ac cp 1 ap 2 1 sin60 答案 2 连接od bd cd oa ob od是 abc的中位线 od ac 又 dec 90 ode 90 又 d在圆周上 de是 o的切线 因此 abd ade 50 答案 50 互动探究 若例 2 条件不变 则 bac 解析 od de ade 50 ado 40 od oa dao ado 40 od ae dae ado 40 bac dae dao 40 40 80 答案 80 拓展提升 证明直线是圆的切线的常用方法 1 若已知直线与圆有公共点 则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可 2 若已知直线与圆没有明确的公共点 则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径 提醒 在求解有关角与长度的问题时 注意运用初中阶段所学的知识 如平行线的判定与性质 中垂线的性质 等腰三角形的三线合一 直角三角形的性质等 只有这样才能更灵活地解决问题 变式备选 1 如图所示 ab为 o的直径 c为 o上一点 ad和过c点的切线互相垂直 垂足为d 若 bac 35 则 cad 解析 连接oc cd是 o的切线 oc cd 又 ad cd oc ad 由此得 aco cad oc oa bac aco cad bac 又 bac 35 故 cad 35 答案 35 2 2013 湛江模拟 如图 已知pa是圆o的切线 切点为a 直线po交圆o于b c两点 ac 2 pab 120 则圆o的面积为 解析 由题意知 bac 90 则 pac 120 90 30 由弦切角定理知 b 30 bc 2ac 4 圆o的面积s 4 答案 4 考向4与圆有关的比例线段 典例4 1 2012 天津高考 如图 已知ab和ac是圆的两条弦 过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d 过点c作bd的平行线与圆相交于点e 与ab相交于点f af 3 fb 1 ef 则线段cd的长为 2 如图 abc是 o的内接三角形 pa是 o的切线 pb交ac于点e 交 o于点d 若pa pe abc 60 pd 1 pb 9 则pa ec 思路点拨 1 利用相交弦定理求cf 再利用切割线定理和比例线段有关知识列方程求解 2 利用切割线定理求pa的长度 再判断 pae为等边三角形 最后用相交弦定理求ec 规范解答 1 因为af fb cf fe 所以cf 2 又 bd cf bd 设cd x 则ad 4x bd2 x 4x x 答案 2 由切割线定理可知pa2 pd pb 1 9 pa 3 abc pac 60 pa pe ape为等边三角形 ae ap 3 pd 1 ed pe pd 2 be pb pe 6 由相交弦定理可知 ae ec be ed 3 ec 6 2 ec 4 答案 34 互动探究 在本例 1 中 若把条件 ef 改为 ef 2 则ad 解析 设cd x 则ad 4x 由相交弦定理可得 af fb ef cf 所以cf 又 bd 2 又bd2 cd ad 所以4 4x2 x 1 所以ad 4 答案 4 拓展提升 与圆有关的比例线段解题思路见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到圆的两条割线就要想到割线定理 见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 提醒 与圆有关的比例线段问题 常常结合方程思想进行计算 即利用代数方法解决几何问题 变式备选 如图所示 已知p是 o外一点 pd为 o的切线 d为切点 割线pef经过圆心o 若pf 12 pd 则 efd的度数为 解析 由切割线定理得pd2 pe pf pe 4 ef 8 od 4 od pd od po p 30 pod 60 efd 30 答案 30 1 如图所示 ab ac是 o的两条切线 切点分别为b c d是优弧bc上的点 已知 bac 80 那么 bdc 解析 连接ob oc 则ob ab oc ac boc 180 bac 100 bdc boc 50 答案 50 2 2013 广州模拟 如图所示 过点d作圆的切线切于b点 作割线交圆于a c两点 其中bd 3 ad 4 ab 2 则bc 解析 由切割线定理得 bd2 cd ad cd 又 a dbc d d abd bcd 解得bc 答案 3 如图所示 ab cd是半径为a的圆o的两条弦 它们相交于ab的中点p pd oap 30 则cp 解析 由题意知op ab 且ap bp 根据相交弦定理得ap2 cp pd cp 答案 4 2012 湖北高考 如图 点d在 o的弦ab上移动 ab 4 连接od 过点d作od的垂线交 o于点c 则cd的最大值为 解析 取ab的中点为e 连接oc oe 则 要求cd的最大值 则点d与e重合 可知结果为2 答案 2 5 如图所示 ac为 o的直径 弦bd ac于点p pc 2 pa 8 则cos acb的值为 解析 ac是直径 abc 90 又bd ac bc2 pc ac 2 10 bc 在rt bpc中 cos acb 答案 6 2013 汕头模拟 如图所示 正 abc的边长为2 点m n分别是边ab ac的中点 直线mn与 abc的外接圆的交点为p q 则线段pm 解析 设pm x 则qn x 由相交弦定理可得pm mq bm ma 即x x 1 1 解得答案 7 如图所示 bd为 o的直径 ab ac ad交bc于e ae 2 ed 4 则ab的长为 解析 ab ac abc c 又 c d abc d 又 bae dab abe adb ab2 ae ad ab 答案 8 2012 陕西高考 如图所示 在圆o中 直径ab与弦cd垂直 垂足为e ef db 垂足为f 若ab 6 ae 1 则df db 解析 连接ad 因为ab 6 ae 1 所以be 5 在rt abd中 de2 ae be 1 5 5 在rt bde中 由射影定理得df db de2 5 答案 5 9 如图所示 ad是 o的切线 ac是 o的弦 过c作ad的垂线 垂足为b cb与 o相交于点e ae平分 cab 且ae 2 则ab ac 解析 cae eab eab acb acb cae eab 又 cb ad acb cae eab 30 又 ae 2 ab ac 答案 10 如图所示 已知圆上的过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点 若 ace 35 则 bcd 解析 因为所以 abc bcd 又因为ec与圆相切于点c 故 ace abc 所以 ace bcd 又 ace 35 因此 bcd 35 答案 35 11 如图所示 四边形abcd是圆o的内接四边形 延长ab和dc相交于点p 若则的值为 解析 由割线定理知 pb pa pc pd 又 pa 2pb pd 3pc pb 2pb pd pd pb2 pd2 pb pd 又 pbc pda 答案 12 如图所示 在 abc中 ad是高 abc的外接圆直径ae交bc边于点g 有下列结论 ad2 bd cd be2 eg ae ae ad ab ac ag eg bg cg 其中正确的结论有 解析 中仅当 bac为直角时才成立 中仅当bg ae时才成立 因为 aeb acd abe adc 所以 aeb acd 故即ae ad ab ac 故 正确 由相交弦定理知 正确 答案 13 2012 广东高考 如图所示 直线pb与圆o相切于点b d是弦ac上的点 pba dba 若ad m ac n 则ab 解析 由题意知 abp acb abd 又 a a 所以 abd acb 所以所以ab 答案 14 如图所示 四边形abcd内接于 o bc是直径 mn与 o相切 切点为a mab 35 则 adc 解析 连接bd 由题意知 adb mab 35 bdc 90 故 adc adb bdc 125 答案 125 15 eb ec是 o的两条切线 b c是切点 a d是 o上的两点 如果 e 46 dcf 32 那么 bad 解析 连接ob oc ac 根据弦切角定理 可得 bad bac cad 180 e dcf 67 32 99 答案 99 16 如图所示 ab是 o的直径 cb切 o于点b cd切 o于点d 直线cd交直线ab于点e 若ab 3 ed 2 则cb的长为 解析 由切割线定理得 ed2 ea eb 4 ea ea 3 ea 1 cb是 o的切线 eb cb eb2 cb2 ce2 又 cd是 o的切线 cd cb 42 cb2 cb 2 2 cb 3 答案 3 17 如图所示 ab为 o的直径 c为 o上一点 ap和过c的切线互相垂直 垂足为p 过b的切线交过c的切线于t pb交 o于q 若 btc 120 ab 4 则pq pb 解析 连接oc ac 则oc pc 则o c t b四点共圆 btc 120 cob 60 故 aoc 120 由ao oc 2 知ac 在rt apc中 acp 60 因此pc 根据切割线定理得pq pb pc2 3 答案 3 18 2013 佛山模拟 如图所示 ab是 o的直径 d为 o上一点 过d作 o的切线交ab的延长线于点c 若da dc 且bc 5 则ab 解析 如图所示 连接od cd是 o的切线 odc 90 设 c 则 a ado 90 180 30 oc 2od 设圆o的半径为r 则oc 2r bc r ab 2bc 10 答案 10 19 如图所示 已知 o的直径ab 5 c为圆周上一点 bc 4 过点c作 o的切线l 过点a作l的垂线ad 垂足为d 则cd 解析 cd是 o的切线 b acd 又ab为直径 acb adc 90 abc acd ab 5 bc 4 ac 3 cd 答案 20 如图所示 割线pbc经过圆心o ob pb 1 ob绕点o逆时针旋转120 到od 连接pd交圆o于点e 则pe 解析 依题意得 pd 又pe pd pb pc 因此pe 答案 21 rt abc中 c 90 a 30 圆o经过b c且与ab ac相交于d e 若ae ec 则ad 圆o的半径r 解析 在rt abc中 bac 30 ac 所以b