高考数学 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 苏教版.ppt

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 1 三种位置关系 2 两种研究方法 相交 相切 相离 相交 相切 相离 相交 相切 相离 2 圆与圆的位置关系设圆o1 x a1 2 y b1 2 r12 r1 0 圆o2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 d r1 r2 无解 d r1 r2 一组实数解 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 一组实数解 0 d r1 r2 r1 r2 无解 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的必要不充分条件 2 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解 则两圆外切 3 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 4 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 5 过圆o x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 切点为a b 则直线ab的方程是x0 x y0y r2 解析 1 错误 当k 1时 圆心到直线的距离 此时直线与圆相交 若直线与圆相交 则解得所以 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的充分不必要条件 而非必要不充分条件 2 错误 因为除外切外 还可能内切 3 错误 因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值 否则可能内切或内含 4 错误 只有当两圆相交时 方程才是公共弦所在的直线方程 5 正确 由已知o p a b四点共圆 其方程为即x2 y2 x0 x y0y 0 又圆o方程 x2 y2 r2 得 x0 x y0y r2 而两圆相交于a b两点 故直线ab的方程是x0 x y0y r2 答案 1 2 3 4 5 1 圆x2 y2 2x 4y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的位置关系为 解析 两圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 4 x 2 2 y 2 2 9 故两圆的圆心距为又两圆的半径之和为2 3 5 故两圆外切 答案 外切 2 圆o1 x2 y2 2x 0和圆o2 x2 y2 4y 0的位置关系是 解析 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 所以两圆圆心距两圆的半径之差 r1 r2 2 1 1 半径之和r1 r2 1 2 3 r1 r2 o1o2 故两圆相交 答案 相交 3 圆x2 y2 4x 0在点处的切线方程为 解析 圆的方程可化为 x 2 2 y2 4 圆心坐标为 2 0 半径为2 点p在圆上 设切线方程为即 解得 切线方程为答案 4 已知点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y r2与此圆的位置关系是 解析 因为点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内的一点 所以x02 y02 r2 圆心到直线x0 x y0y r2的距离所以直线与圆相离 答案 相离 5 已知圆的半径为圆心在直线y 2x上 圆被直线x y 0截得的弦长为则圆的标准方程为 解析 由圆心在直线y 2x上 设圆心为 a 2a 圆心到直线x y 0的距离由得故圆的标准方程为 x 2 2 y 4 2 10或 x 2 2 y 4 2 10 答案 x 2 2 y 4 2 10或 x 2 2 y 4 2 10 6 若直线3x 4y m 0与圆x2 y2 2x 4y 4 0没有公共点 则实数m的取值范围是 解析 将圆x2 y2 2x 4y 4 0化为 x 1 2 y 2 2 1 圆心坐标为 1 2 半径为1 若直线与圆无公共点 则有 m10 答案 0 10 考向1利用几何法研究直线与圆的位置关系 典例1 1 2012 安徽高考改编 若直线x y 1 0与圆c x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 2 2012 天津高考改编 设m n r 若直线 m 1 x n 1 y 2 0与圆 x 1 2 y 1 2 1相切 则m n的取值范围是 思路点拨 1 利用几何法 根据圆心到直线的距离不大于半径构建不等式求解 2 先根据圆心到直线的距离等于半径 得到m n的等量关系 再利用基本不等式求解 规范解答 1 圆 x a 2 y2 2的圆心c a 0 到直线x y 1 0的距离为d 则 3 a 1 答案 3 1 2 因为直线与圆相切 所以d r 即 mn m n 1 令m n t 则t2 4t 4 0 答案 互动探究 过点p 2 4 引本例 2 中圆的切线 则切线方程如何 解析 当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即kx y 4 2k 0 因为直线与圆相切 所以 圆心到直线的距离等于半径 即解得 所以所求切线方程为即4x 3y 4 0 所以切线方程为x 2或4x 3y 4 0 拓展提升 1 几何法判断直线与圆的位置关系的三个流程 提醒 如果能判断直线过定点 则可由定点到圆心的距离 即点在圆内 圆上 圆外 判断直线与圆的位置关系 小于半径相交 等于半径相切或相交 大于半径相交 相切 相离都有可能 2 求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 1 方法 待定系数法 一般设点斜式方程 2 步骤 判断点是否在圆上 如果过圆上一点 则有且只有一条切线 如果过圆外一点 则有且只有两条切线 设点斜式方程 利用圆心到直线的距离等于半径 求待定系数值 得切线方程 提醒 若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条 则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上 变式备选 已知直线l y kx 1 圆c x 1 2 y 1 2 12 1 试证明 不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 2 求直线l被圆c截得的最短弦长 解析 1 因为不论k为何实数 直线l总过点a 0 1 而所以点a 0 1 在圆c的内部 即不论k为何实数 直线l总经过圆c内部的定点a 所以不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 2 由平面几何知识知过圆内定点a 0 1 的弦 只有和ac垂直时才最短 而此时点a 0 1 为弦的中点 由勾股定理 知弦长为即直线l被圆c截得的最短弦长为 考向2利用 代数法 研究直线与圆的位置关系 典例2 2013 盐城模拟 在平面直角坐标系xoy中 已知圆x2 y2 12x 32 0的圆心为q 过点p 0 2 且斜率为k的直线与圆q相交于不同的两点a b 1 求k的取值范围 2 以oa ob为邻边作平行四边形oadb 是否存在常数k 使得直线od与pq平行 如果存在 求k值 如果不存在 请说明理由 规范解答 1 圆的方程可写成 x 6 2 y2 4 所以圆心为q 6 0 过p 0 2 且斜率为k的直线方程为y kx 2 代入圆方程得x2 kx 2 2 12x 32 0 整理得 1 k2 x2 4 k 3 x 36 0 直线与圆交于两个不同的点a b等价于 4 k 3 2 4 36 1 k2 42 8k2 6k 0 解得即k的取值范围为 2 假设存在常数k 设a x1 y1 b x2 y2 则 x1 x2 y1 y2 由方程 得x1 x2 又y1 y2 k x1 x2 4 而p 0 2 q 6 0 因为所以共线等价于 2 x1 x2 6 y1 y2 即 x1 x2 3 y1 y2 将 代入上式 解得由 1 知故不存在符合题意的常数k 拓展提升 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 将直线方程与圆的方程联立 消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程 2 求上述方程的判别式 并判断其符号 3 得出结论 2 代数法求直线被圆截得的弦长直线方程与圆的方程联立 消元转化为关于x的一元二次方程 由根与系数的关系即可求得弦长 变式训练 已知圆o x2 y2 4内一点p 0 1 过点p的直线l交圆o于a b两点 且满足 为参数 1 若求直线l的方程 2 若 2 求直线l的方程 3 求实数 的取值范围 解析 1 当直线l的斜率不存在时 ab 4 不满足 故可设所求直线l的方程为y k1x 1 代入圆的方程 整理得 1 k12 x2 2k1x 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则又利用弦长公式可求得k1 1 故直线方程为y x 1或y x 1 2 当直线l的斜率不存在时 不满足 故可设所求直线l的方程为y k2x 1 代入圆的方程 整理得 1 k22 x2 2k2x 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2为方程 的两根 由可得x1 2x2 则有 2 得解得所以直线l的方程为 3 当直线l的斜率不存在时 当直线l的斜率存在时 可设所求直线l的方程为y k3x 1 代入圆的方程 整理得 1 k32 x2 2k3x 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2为方程 的两根 由可得x1 x2 则有 2 得而由可解得所以实数 的取值范围为 考向3圆与圆的位置关系 典例3 1 2012 山东高考改编 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 2 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为则a 3 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0与圆c2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 若圆c1与圆c2相外切 则实数m 思路点拨 1 利用几何法来判断 即判断两圆的圆心距与两半径和 差的关系 2 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程 再利用半径 弦长的一半及弦心距构成的直角三角形求解 3 利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解 规范解答 1 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的圆心距两圆半径和为5 差为1 因为所以两圆相交 答案 相交 2 两圆的方程相减 得公共弦所在的直线方程为 x2 y2 2ay 6 x2 y2 0 4 又a 0 结合图象 再利用半径 弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形 可知答案 1 3 两圆的标准方程为 x m 2 y 2 2 9 x 1 2 y m 2 4 圆心分别为c1 m 2 c2 1 m 半径分别为3 2 圆c1与圆c2外切 c1c2 3 2 5 即 解得m 5或2 答案 5或2 拓展提升 1 判断两圆位置关系的方法常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差的关系 一般不用代数法 2 两圆公切线的条数 变式训练 2013 苏州模拟 已知圆c1 x2 y2 m与圆c2 x2 y2 6x 8y 11 0相交 则实数m的取值范围为 解析 由圆c2 x2 y2 6x 8y 11 0得该圆圆心坐标为 3 4 半径为6 圆c1 x2 y2 m的圆心坐标在圆c2内 因此两圆相切的可能性只有两种 圆c1在圆c2内部 切于圆c2 此时 m 1 圆c2在圆c1内部 切于圆c1 此时m 121 故两圆相交时满足1 m 121 答案 1 m 121 创新体验 直线与圆 圆与圆位置关系的创新命题 典例 2012 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值为 思路点拨 规范解答 如图 直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 只需保证圆心c到y kx 2的距离不大于2即可 而圆c的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心c 4 0 到直线y kx 2的距离由题意知整理得3k2 4k 0 解得答案 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了数形结合思想 转化与化归思想在解题中的应用 即通过数形结合将问题转化为圆心c到直线的距离问题 进而得到关于k的不等式 从而确定出k的范围 得出k的最大值 这种以 以形助解 探究解题思路的思想方法值得我们仔细体会 2 技巧提升 对于直线与圆 圆与圆位置关系的创新问题 解题的关键是作出符合要求的示意图 通过数形结合将创新信息转化为常规的直线与圆 圆与圆的位置关系 再利用处理直线与圆 圆与圆的位置关系的方法来解决 1 2012 广东高考改编 在平面直角坐标系xoy中 直线3x 4y 5 0与圆x2 y2 4相交于a b两点 则弦ab的长等于 解析 由圆心 0 0 到直线3x 4y 5 0的距离为d 1 所以答案 2 2012 陕西高考改编 已知圆c x2 y2 4x 0 l是过点p 3 0 的直线 则l与圆c的位置关系为 解析 圆c的方程是 x 2 2 y2 4 点p到圆心c 2 0 的距离d 1 2 点p在圆c内部 直线l与圆c相交 答案 相交 3 2013 南通模拟 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且在直线y x上截得的弦长为则此圆的方程为 解析 设圆心坐标为 3a a 则圆的半径为 3a 圆心到直线y x的距离为由题意知 a2 1 a 1 圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 答案 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 4 2013 苏州模拟 若半径为1的动圆与定圆 x 5 2 y 7 2 16相切 则动圆圆心的轨迹方程是 解析 当动圆圆心在定圆外时 动圆圆心 x y 到 5 7 的距离为5 x 5 2 y 7 2 25 当动圆圆心在定圆内时 动圆圆心 x y 到 5 7 的距离为3 x 5 2 y 7 2 9 综上可知圆心轨迹方程为 x 5 2 y 7 2 25或 x 5 2 y 7 2 9 答案 x 5 2 y 7 2 25或 x 5 2 y 7 2 9 5 2012 江西高考 过直线上点p作圆x2 y2 1的两条切线 若两条切线的夹角是60 则点p的坐标是 解析 设p x y 则由已知可得po o为原点 与切线的夹角为30 则po 2 由可得答案 6 2012 天津高考 设m n r 若直线l mx ny 1 0与x轴相交于点a 与y轴相交于点b 且l与圆x2 y2 4相交所得弦的长为2 o为坐标原点 则 aob面积的最小值为 解析 如图所示 在rt a ob 中 oa 2 a b 1 在rt a ob 中 a o2 a b 2 b o2 即 s 3 答案 3 1 集合a x y x2 y2 4 b x y x 3 2 y 4 2 r2 其中r 0 若a b中有且仅有一个元素 则r的取值集合为 解析 由已知得圆o x2 y2 4与圆c x 3 2 y 4 2 r2 r 0 相切 而 当圆o与圆c外切时 oc r 2 5 得r 3 当圆o与圆c内切时 oc r 2 5 得r 7 综上r 3或7 答案 3 7 2 如图 在直角梯形abcd中 ad ab ab dc ad dc 1 ab 2 动点p在以点c为圆心 且与直线bd相切的圆上