高优指导高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 北师大版.ppt

6 2等差数列及其前n项和 2 考纲要求 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 3 1 等差数列 1 定义 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差是同一个常数 那么这个数列就为等差数列 这个常数为等差数列的公差 公差通常用字母d表示 2 数学语言 an 1 an d n n d为常数 或an an 1 d n 2 d为常数 3 等差中项 如果在a与b中间插入一个数a 使a a b成等差数列 那么a叫作a与b的等差中项 即 2 等差数列的通项公式 1 通项公式 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an a1 n 1 d 2 通项公式的推广 an am n m d m n n 4 5 5 等差数列的前n项和公式与函数的关系 2 数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 6 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在最小值 6 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 若一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 3 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 4 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 7 1 2 3 4 5 2 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 a 1b 0c 1d 6 答案 解析 8 1 2 3 4 5 3 2015课标全国 文5 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11 答案 解析 9 1 2 3 4 5 4 2015陕西 文13 中位数为1010的一组数构成等差数列 其末项为2015 则该数列的首项为 答案 解析 10 1 2 3 4 5 5 在小于100的正整数中 被7除余2的数的和为 答案 解析 11 1 2 3 4 5 自测点评1 用等差数列的定义判断数列是否为等差数列 要注意定义中的三个关键词 从第2项起 每一项与它的前一项的差 同一个常数 2 等差数列与函数的区别 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 3 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 4 等差数列的前n项和公式有两种表达形式 要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式 12 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点1等差数列中基本量的求解例1 1 2015课标全国 文7 已知 an 是公差为1的等差数列 sn为 an 的前n项和 若s8 4s4 则a10 答案 解析 13 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m等于 a 3b 4c 5d 6 答案 c 14 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 15 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 求等差数列基本量的一般方法是什么 解题心得 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 已知其中三个就能求出另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 3 减少运算量的设元的技巧 若三个数成等差数列 可设三个数为a d a a d 若四个数成等差数列 可设四个数为a 3d a d a d a 3d 16 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练1 1 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 a 8b 10c 12d 14 答案 解析 17 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 设sn为等差数列 an 的前n项和 a12 8 s9 9 则s16 答案 解析 18 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点2等差数列的判定与证明例2数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 答案 19 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些 解题心得 1 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 2 若证明一个数列不是等差数列 则只要证明存在连续三项不成等差数列即可 20 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练2若数列 an 的前n项和为sn 且满足an 2snsn 1 0 n 2 a1 1 求证 成等差数列 2 求数列 an 的通项公式 答案 21 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点3等差数列性质的应用 多维探究 类型一等差数列项的性质的应用例3在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 思考 本例题只有一个已知条件 如何快捷地求出结果 答案 解析 22 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 类型二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列 an 中 前m项的和为30 前2m项的和为100 则前3m项的和为 答案 解析 23 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 本例题应用什么性质求解比较简便 解题心得 1 利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想 应用时常将an am 2ap m n 2p m n p n 与am an ap aq m n p q m n p q n 相结合 可减少运算量 2 在等差数列 an 中 依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果 常用的性质有 在等差数列 an 中 数列sm 也是等差数列 且有s2n n a1 a2n n an an 1 24 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练3 1 2015广州模拟 等差数列 an 前17项和s17 51 则a5 a7 a9 a11 a13等于 a 3b 6c 17d 51 答案 解析 25 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 已知等差数列 an 的前四项和为124 后四项和为156 各项和为210 则此等差数列的项数是 答案 解析 26 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 3 已知在等差数列 an 中 其前n项和为sn s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 答案 解析 27 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点4等差数列前n项和的最值问题例5在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 28 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 29 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 求等差数列前n项和的最值有哪些方法 解题心得 求等差数列前n项和sn最值的两种方法 1 函数法 将等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 看做二次函数 根据二次函数的性质求最值 2 邻项变号法 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 当a1 0 d0时 满足的项数m使得sn取得最小值为sm 利用性质求出其正负转折项 便可求得前n项和的最值 30 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练4 1 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当sn取最大值时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 答案 解析 31 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 设数列 an 是公差d 0的等差数列 sn为前n项和 若s6 5a1 10d 则sn取最大值时 n的值为 a 5b 6c 5或6d 11 答案 解析 32 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 答案 解析 33 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 1 等差数列的判断方法 1 定义法 2 等差中项法 3 利用通项公式判断 4 利用前n项和公式判断 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第2项起成等差数列 3 方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时 可以考虑化归为a1和d等基本量 通过建立方程 组 获得解 34 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 2 注意利用 an an 1 d 时加上条件 n 2 否则 当n 1时 a0无定义 35 思想方法 整体思想在等差数列中的应用整体思想 就是在研究和解决有关数学问题时 通过研究问题的整体形式 整体结构 整体特征 从而对问题进行整体处理的解题方法 从整体上去认识问题 思考问题 常常能化繁为简 变难为易 同时又能培养学生思维的灵活性 敏捷性 整体思想的主要表现形式有 整体代入 整体加减 整体代换 整体联想 整体补形 整体改造等 在等差数列中 若要求的sn所需要的条件未知或不易求出时 可以考虑整体代入 36 典