高考数学 3.3三角函数的图象与性质配套课件 文 新人教A版.ppt

第三节三角函数的图象与性质 1 周期函数和最小正周期 1 周期函数 对于函数f x 的定义域中的每一个值x 都存在一个 t 使得 则称f x 为周期函数 t为f x 的一个周期 2 最小正周期 周期函数f x 的所有周期中 最小的一个 非零常数 f x t f x 正数 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 r r x x r且 x k k z 1 1 1 1 r 2k 2k 2k 2k 2k 2k 2k 2k k k 2k k z 2k k z 2k k z 2k k z 1 k 0 k z k 0 k z 0 k z x k k z x k k z 判断下面的结论是否正确 请在括号中打 或 1 常数函数f x a是周期函数 它没有最小正周期 2 y sinx在x 0 上是增函数 3 y cosx在第一 二象限上是减函数 4 y tanx在整个定义域上是增函数 5 函数y sinxcosx是r上的奇函数 6 y tan2x的最小正周期为 解析 1 正确 由周期函数的定义 对任意非零实数b 都有f x b a 故任意非零实数都是f x 的周期 故没有最小正周期 2 正确 由y sinx在x 上递增 知f x sinx在上是增函数 3 错误 y cosx在 2k 2k k z 上递减 但不能说在第一 二象限内递减 4 错误 y tanx在 k z 上递增 但在整个定义域上并不单调 5 正确 f x sin x cos x sinxcosx f x 由奇函数定义可知f x sinxcosx是r上的奇函数 6 错误 由知y tan2x的最小正周期为答案 1 2 3 4 5 6 1 下列函数中 在上是增函数的是 a y sinx b y cosx c y sin2x d y cos2x 解析 选d 由x 得2x 2 又由y cosx在 2k 2k k z 上是增函数 故y cos2x在上是增函数 2 函数的图象的一条对称轴方程是 a b c d x 解析 选b 方法一 由得 k z k 0时 故选b 方法二 排除法 在函数的对称轴上 函数取最大或最小值 而当时 此时函数取得最大值 故是函数的一条对称轴 3 函数f x tan x 0 的图象与直线y a相交的相邻两交点间距离是则f 的值是 a b c 1 d 解析 选b 由相邻两交点间距离是知f x 的周期是由得 2 f x tan2x 4 函数的递减区间是 解析 由得故函数的单调递减区间是答案 5 函数的定义域是 解析 由题意知即即 答案 6 若直线y a与函数y sinx x 2 2 的图象有4个交点 则a的取值范围是 解析 如图所示 若y sinx与y a有4个交点 则 1 a 1 答案 1 a 1 考向1三角函数的定义域和值域 典例1 1 函数的定义域为 a b c d r 2 已知函数y sinx的定义域为 a b 值域为则b a的值不可能是 a b c d 3 当时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 思路点拨 1 结合单位圆或余弦函数的图象求解 2 作出函数图象数形结合求解 3 利用同角三角函数关系式转化为关于sinx的二次函数求解 规范解答 1 选c 由题意可得即如图可知 角的终边落在与之间的阴影部分 包括边界 故2k x 2k k z 故选c 2 选a 画出函数y sinx的草图分析 当定义域为时 当定义域为或时 所以b a的取值范围为 3 因为所以y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1 所以当时 当sinx 1或时 ymax 2 答案 2 互动探究 本例题 3 中若将cosx用sinx代替 sinx用cosx代替 又将如何求解 解析 由所以y 3 cosx 2sin2x 2cos2x cosx 1 当时 当cosx 1时 ymax 4 拓展提升 1 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域的不同求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 变式备选 1 函数的定义域为 解析 由2sinx 1 0得又sinx 1 答案 2 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 设sinx cosx t 得 当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 考向2三角函数的单调性 典例2 求下列函数的单调区间 1 2 y tanx 思路点拨 1 利用诱导公式将x的系数化成正值 再利用正弦函数的单调区间求解 2 利用数形结合法求解 规范解答 1 原函数可化为故所求函数的增区间是的减区间 由得所求函数的减区间是的增区间 由得故所求函数的增区间为减区间为 2 作出函数y tanx 的图象如图 可知所求函数的增区间是 k k k z 减区间是 k k k z 拓展提升 三角函数的单调区间的求法 1 代换法所谓代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 2 图象法函数的单调性表现在图象上是 从左到右 图象上升趋势的区间为单调递增区间 图象下降趋势的区间为单调递减区间 如果能画出三角函数的图象 那它的单调区间就直观明了了 提醒 求解函数的单调区间时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 变式训练 已知函数y sin x在区间上是减函数 则 的取值范围是 a 0 b 3 0 c 0 d 0 3 解析 选a 方法一 由题意可知 0 由x 得 又 函数在区间上为减函数 解得 方法二 特值验证法 当时 函数是增函数 当 3时 x 函数不单调 当 3时 x 函数不单调 故排除b c d 选a 考向3三角函数的奇偶性 周期性及对称性 典例3 1 2013 东莞模拟 若函数f x cos 2x 的图象关于点成中心对称 且则函数为 a 奇函数且在 0 上单调递增 b 偶函数且在 0 上单调递增 c 偶函数且在 0 上单调递减 d 奇函数且在 0 上单调递减 2 若函数则f x 是 a 最小正周期为的奇函数 b 最小正周期为 的奇函数 c 最小正周期为2 的偶函数 d 最小正周期为 的偶函数 3 已知函数f x 2sin x 对于任意x都有则等于 a 2或0 b 2或2 c 0 d 2或0 思路点拨 1 先根据对称性求得 的值 然后再判断函数的性质 2 利用得周期 利用奇偶性定义判断奇偶性 3 利用已知可得对称轴 从而获解 规范解答 1 选d 因为函数f x cos 2x 的图象关于点 0 成中心对称 则 取k 2 则 该函数为奇函数且在上单调递减 2 选b 故f x 是最小正周期为 的奇函数 3 选b 由得是f x 的一条对称轴 故是函数的最大值或最小值 即为2或 2 互动探究 本例题 3 中若再增加条件则 的值如何求解 解析 由得 4 故又 即又k z k 0 拓展提升 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性 也可以根据图象做判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期为y tan x 的最小正周期为 3 利用图象 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图象既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图象只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心 并注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间 变式备选 设函数f x sin x 0 给出以下四个论断 它的最小正周期为 它的图象关于直线成轴对称图形 它的图象关于点成中心对称图形 在区间上是增函数 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示即可 解析 若 成立 则令且故k 0 此时当时 f x 的图象关于成中心对称 又f x 在上是增函数 f x 在上也是增函数 因此 用类似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 易错误区 整体思想不清致误 典例 2012 山东高考 函数的最大值与最小值之和为 a b 0 c 1 d 误区警示 本题易出现的错误是不能把看作一个整体角 利用三角函数的性质 导致函数的最值求错 规范解答 选a 因为0 x 9 所以所以所以所以所以函数的最大值与最小值之和为 思考点评 求值域或最值的关键点已知自变量的范围求三角函数的值域 关键是整体代换思想的应用 因而对整体角的范围求解成为重中之重 正确利用不等式的性质是关键 否则会产生错解 有范围后 利用单位圆或三角函数图象即可求值域或最值 1 2012 山东高考 设命题p 函数y sin2x的最小正周期为命题q 函数y cosx的图象关于直线对称 则下列判断正确的是 a p为真 b q为假 c p q为假 d p q为真 解析 选c 函数y sin2x的最小正周期为所以命题p假 函数y cosx的图象关于直线x k k z 对称 所以命题q假 q为真 p q为假 2 2012 福建高考 函数的图象的一条对称轴是 a x b x c x d x 解析 选c 由题意 令得是函数图象的对称轴方程 令k 1 得 3 2012 新课标全国卷 已知 0 0 直线和是函数f x sin x 图象的两条相邻的对称轴 则 a b c d 解析 选a 由题意可知函数f x 的周期故 1 f x sin x 令k z 将代入可得k z 0 4 2013 梅州模拟 函数的最大值及最小正周期分别为 解析 故故故最大值为1 最小正周期为 答案 1 5 2013 揭阳模拟 对于函数给出下列四个命题 该函数是以 为最小正周期的周期函数 当且仅当x k k z 时 该函数取得最小值 1 该函数的图象关于对称 当且仅当时 其中正确命题的序号是 请将所有正确命题的序号都填上 解析 画出函数f x 的图象 由图象可得函数的最小正周期为2 故 错误 当x 2k k z 或时 函数取得最小值 1 故 不正确 结合图象可得 正确 答案 1 如果函数f x sin2x acos2x的图象关于直线对称 则实数a的值为 a b c 1 d 1 解