数列数学归纳法导数综合题.doc

一、数列通项公式求法1、在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_ 2、已知数列中，则该数列的通项an= 3、已知数列中，则该数列的通项an= 4、已知数列满足，则= 5、已知数列的首项，且，则 6已知数列中，则的通项公式= 二、放缩法、分析法、数学归纳法1、已知各项均为正数的数列an满足：a13，(nN*)，设bn，Snbbb.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn4，有.三、导数综合1、已知函数f（x）=（x2ax）ex（xR），a为实数（）当a=0时，求函数f（x）的单调增区间；（）若f（x）在闭区间1，1上为减函数，求a的取值范围（III）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由2、已知函数f（x）=ax2（3+2a）x+aex+1，a0（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围（2）若不等式f（x）（x2+xa）ex+1对任意a（0，+）都成立，求实数x的取值范围（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）ex+1，若g（x）在区间2，4上不单调，求实数a的取值范围3、已知函数f（x）=x3+ax2x+c，且（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）设函数g（x）=（f（x）x3）ex，若函数g（x）在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围4、已知函数，（是不为零的常数且）。（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程在区间上有两个解，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得当且时，不等式恒成立，若存在，找出一个满足条件的，并证明；若不存在，说明理由。5、设函数 （1）求的单调区间； （2）当时，设的最小值为恒成立，求实数t的取值范围。一、数列通项公式求法1、在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_ 2、已知数列中，则该数列的通项an= 3、已知数列中，则该数列的通项an= 4、已知数列满足，则= 5、已知数列的首项，且，则 6已知数列中，则的通项公式= 二、放缩法与数学归纳法1、已知各项均为正数的数列an满足：a13，(nN*)，设bn，Snbbb.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn.(1)，aa8(n1)，a(aa)(aa)(aa)a8n(n1)29(2n1)2，an2n1.(2)bSn(1)()()(1)4，有.解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.由已知得：.故( m4).三、导数综合1、已知函数f（x）=（x2ax）ex（xR），a为实数（）当a=0时，求函数f（x）的单调增区间；（）若f（x）在闭区间1，1上为减函数，求a的取值范围（III）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由解：（I）当a=0时，f（x）=x2exf（x）=2xex+x2ex=（x2+2x）ex，由f（x）0，x0或x2故f（x）单调增区间为（0，+）和（，2）（II）解法一：由f（x）=（x2ax）ex，xR得f（x）=（2xa）ex+（x2ax）ex=x2+（2a）xaex记g（x）=x2+（2a）xa，依题x1，1时，g（x）0恒成立，结合g（x）的图象特征得即，a的取值范围解法二：f（x）=（2xa）ex+（x2ax）ex=x2+（2a）xaex，f（x）在（1，1）上单调递减，x（1，1）时，f（x）0恒成立，即x（1，1）时，x2+（2a）xa0恒成立即对一切x（1，1）恒成立，令，0，g（x）在（1，1）上是增函数g（x），a，即a的取值范围是）（III）f（x）=x2+（2a）xaex，设t=x2+（2a）xa，=（2a）2+4a=a2+40，xR时，t不恒为正值，也不恒为负值即f（x）的值不恒正，也不恒负，故f（x）在R上不可能单调2、已知函数f（x）=ax2（3+2a）x+aex+1，a0（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围（2）若不等式f（x）（x2+xa）ex+1对任意a（0，+）都成立，求实数x的取值范围（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）ex+1，若g（x）在区间2，4上不单调，求实数a的取值范围解：（1） ，若x=1是函数f（x）的极大值点，解得，或a0（6分）（2）f（x）（x2+xa）ex+1，（x2+1）ax24x30对任意a（0，+）都成立，x24x30，3x1（10分）（3）g（x）=f（x）+（2a+6）ex+1=ax2（3+2a）x+3a+6ex+1g（x）=（ax23x+a+3）ex+1g（x）在区间2，4上不单调 ax23x+a+3=0在x（2，4）上有解且0变量分离得，求得t（x）的值域为（15分）3、已知函数f（x）=x3+ax2x+c，且（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）设函数g（x）=（f（x）x3）ex，若函数g（x）在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围解：（）由f（x）=x3+ax2x+c，得f（x）=3x2+2ax1当时，得，解之，得a=1（4分）（）因为f（x）=x3x2x+c从而，由=0，得，列表如下：x1（1，+）f（x）+00+f（x）有极大值有极小值所以f（x）的单调递增区间是和（1，+）；f（x）的单调递减区间是（9分）（）函数g（x）=（f（x）x3）ex=（x2x+c）ex，有g（x）=（2x1）ex+（x2x+c）ex=（x23x+c1）ex，因为函数在区间x3，2上单调递增，等价于h（x）=x23x+c10在x3，2上恒成立，只要h（2）0，解得c11，所以c的取值范围是c11（14分）4、已知函数，（是不为零的常数且）。（1）讨论函数的单调性；（2）当时，方程在区间上有两个解，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得当且时，不等式恒成立，若存在，找出一个满足条件的，并证明；若不存在，说明理由。解：（1）因为，所以，当时，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数；当时，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数；（2）当时，由（1）知道在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以当时取得极大值，又，方程在区间上有两个解，实数的取值范围是；（3）存在.由（2）知道当时，即即所以12分当时，所以：。5、设函数 （1）求的单调区间； （2）当时，设的最小值为恒成立，求实数t的取值范围。（）解：， 当时，所以函数的减区间为，无增区间；当时，若，由得，由得，所以函数