高考数学第二轮复习专题+训练(23-24)空间角与距离..pdf

共 16 页 第 1 页 专题 23 空间角与距离 一 一 复习目标 1 理解空间几种角的定义 掌握每种角的范围及其转化为平面几何中的角的方法 2 熟练应用常规方法求异面直线所成角 直线与平面所成角 二面角的大小 二 基础训练 1 在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中 BCA 90 点 D1 E1分别是 A1B1 A1C1的中点 若 BC CA CC1 则 BD1与 AE1所成的角的余弦是 A 30 10 B 1 2 C 30 15 D 15 10 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 过 A 作平面 使之与正方体所有的棱都成等角 这样的 平面共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 无数多个 3 若正三棱锥的侧面均为直角三角形 则侧面与底面所成的角的余弦值为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 4 空间四边形 ABCD 中 AB CD 异面直线 AB CD 所成的角为 50 E F 分别为 边 BC AD 的中点 则直线 EF 与 AB 所成的角为 三 典型例题 1 1 空间四边形 PABC 中 若 PAB PAC 60 AB AC 5 BC 6 则 PA 与平面 ABC 所成的角的余弦值为 A 5 13 B 5 8 C 3 5 D 4 5 2 在长方体 A1B1C1D1 ABCD 中 AB 2BB1 E F 分别为 A1B1 BB1中点 则 EF 与 DD1 所成的角的正弦值是 2 四棱锥SABCD 的底面是边长为 1 的正方形 SD 垂直于底面 ABCD SB 3 I 求证BC SC II 求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小 III 设棱 SA 的中点为 M 求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 求 SD 与面 SAB 所成角的大小 D AB S C 共 16 页 第 2 页 3 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 1 点 M 在侧棱 BB1上 若 BM 2 求异面直线 AM 与 BC 所成的角 当棱柱的高 BB1等于多少时 AB1 BC1 请写 出你的证明过程 4 如图 已知四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 a 的正方形 SA 平面 ABCD 且 SA a E F 分别是侧棱 SC 和底边 CD 的中点 I 求直线 DE 与平面 ABCD 所成的角 II 求 点 E 到平面 SAF 的距离 III 求二面角 A SF C 的大小 A B C C1 A1 B1 M D S A B C E F 共 16 页 第 3 页 四 课堂练习 1 在正方体 ABCD A B C D 中 E F 分别为 A B 与 C D 上的点 且 B E D F 1 4A B 则 BE 与 DF 所成的角的余弦值是 A 15 17 B 1 2 C 8 17 D 3 2 2 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起 使得点 A 到点 A 的位置 且 A C 1 则 折起后二面角 A DC B 的大小为 A arctan 2 2 B 4 C arctan 2 D 3 3 在正方体 ABCD A B C D 中 设 B C BC O 求 AO 与 A C 所成的角 AO 与平面 AC 所成的角的正切 平面 AOB 与平面 AOC 所成的角 五 巩固练习 1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1 则侧棱与底面所成的角为 A 75 B 60 C 45 D 30 2 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点 B 作截面 A1BC1D1截得的 且 AA1 CC1 已知截 面 A1BC1D1与底面 ABCD 成 45 的二面角 AB 1 则这个多面体的体积为 A 2 B 3 3 C 2 4 D 2 2 3 若异面直线 a b 所成的角为 3 且直线 c a 则异面直线 b c 所成角的范围是 A 3 2 B 6 2 C 0 6 D 0 3 4 已知正四棱锥 P ABCD 的高为 4 侧棱与底面所成的角为 60 侧该正四棱锥的侧面积 是 5 在四面体 ABCD 中设 AB 2 CD 3 直线 AB 与 CD 的距离为 2 6 夹角为 3 则四 面体 ABCD 的体积等于 A B C D D1 C1 A1 共 16 页 第 4 页 6 在正四棱锥 S ABCD 中 底面正方形 ABCD 的边长为 a 侧棱长为 2a M 为棱 SA 的中 点 N 为棱 SC 的中点 求异面直线 DM 与 BN 所成的角的余弦值 7 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 PD a PA PC 2a 1 求证 PD 平面 ABCD 2 求异面直线 PB 与 AC 所成角的大小 3 求二面角 A PB D 的大小 4 在这个四棱锥中放入一个球 求球的最大半径 8 菱形 ABCD 和菱形 ABEF 所在平面成 120 的二面角 DAB FAB 60 求 直 线 BD 与平面 ABEF 所成的角 求直线 BF 与 AD 所成的角 A B C D E F 共 16 页 第 5 页 专题 24 空间角与距离 二 一 复习目标 1 理解空间几种距离的定义 掌握每种距离转化为两点之间距离的方法 2 熟练掌握求各种距离的常用方法和技巧 特别是求点到平面距离的方法 二 基础训练 1 以 A B C D 为顶点的四面体的棱长均为 1 点 P AB Q CD 则 PQ 长度的最小 值为 A 1 2 B 2 2 C 3 4 D 3 2 2 已知 ABCD A1B1C1D1是底面边长为 a 高为 b 的正四棱柱 则点 B 到平面 AB1C 的距 离为 A ab a2 2b2 B ab 2a2 b2 C a2 2b2 ab D 2a2 b2 ab 3 线段 AB 的端点到平面 的距离分别为 6cm 和 2cm AB 在 上的射影 A B 的长为 3cm 则线段 AB 的长为 4 已知平面 和平面 交于直线 l P 是空间一点 PA 垂足为 A PB 垂足为 B 且 PA 1 PB 2 若点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合 则点 P到 l的距离为 三 典型例题 1 1 正四面体 ABCD 的四个顶点 A B C D 到平面 的距离之比为 1 1 1 1 这样 的平面 的个数为 A 3 B 6 C 7 D 8 2 已知 AB 是异面直线 a b 的公垂线段 AB 1 a 与 b 成 30 角 在直线 a 上取 AP 2 则点 P 到直线 b 的距离是 2 已知 ABCD 是矩形 AB 3 AD 4 PA 平面 ABCD PA 4 Q 是 PA 的中点 求 点 Q 到直线 BD 的距离 求点 P 到平面 BDQ 的距离 共 16 页 第 6 页 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PD 底面 ABCD E 是 AB 上 一点 PE EC 已知 2 1 2 2 AECDPD 求 异面直线 PD 与 EC 的距离 二面角 E PC D 的大小 4 在三棱锥 S ABC 中 ABC 是边长为 4 的正三角形 平面 SAC 平面 ABC SA SC 2 3 M N 分别为 AB SB 的中点 证明 AC SB 求二面角 N CM B 的大小 求点 B 到平面 CMN 的距离 A S B C M N 共 16 页 第 7 页 四 课堂练习 1 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是 A1B1的中点 则 E 到平面 ABC1D1的距 离为 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 3 3 2 已知 AC BD 分别是夹在两个平行平面 之间的两线段 且 AC 13 BD 15 AC BD 在平面 上的射影长的和是 14 则 间的距离为 3 已知正三棱锥 P ABC 的体积为 72 3 侧面与底面所成的二面角的大小为 60 证 明 BCPA 求底面中心 O 到侧面的距离 五 巩固练习 1 一个棱长都为 a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上 则此球的表面积为 A 7 3 a 2 B 2 a2 C 11 4 a2 D 4 3 a 2 2 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB 2 则点 A 到平面 A1BC 的距离为 A 3 4 B 3 2 C 3 3 4 D 3 3 如果 AB 和 CD 是夹在平面 和平面 之间的两条线段 AB CD 且 AB 2 直线 AB 与平面 所成的角为 30 那么线段 CD 的取值范围是 A 2 3 3 4 3 3 B 1 C 1 2 3 3 D 2 3 3 4 已知正六边形 ABCDEF 在平面 内 PA 且 PA AB a 则点 P 到直线 BC 的距离是 5 棱长为 1 的正四面体在一个平面上投影面积的范围是 6 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 侧棱 PA 底面 ABCD AB 3 BC 1 PA 2 E 为 PD 的中点 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值 在侧面 PAB 内找一点 N 使 NE 面 PAC 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 P A B C D E 共 16 页 第 8 页 7 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧棱 AA1 2 D E 分别是 CC1与 A1B 的中点 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G 求点 A1 到平面 AED 的距离 8 如图 在棱长为 4 的正方体 ABCD A B C D 中 O 是 A B C D 的中心 点 P 在棱 CC 上 且 CC 4CP I 求直线 AP 与平面 BCC B 所成的角的大小 结果用反三角函数值表 示 II 设 O 点在平面 D AP 上的射影是 H 求证 D H AP III 求点 P 到平面 ABD 的距离 专题 23 二 1 A 2 C 3 B 4 65 或 25 三 1 1 B 1 2 5 52 2 I 证明 证明 如图 1 底面 ABCD 是正方形 BC DC A B A C D E G B C A B C D A B C D H P O 共 16 页 第 9 页 SD 底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC II 解 解 SD 底面 ABCD 且 ABCD 为正方形 可以把四棱锥SABCD 补形为长方体A B C SABCD 111 如图 2 面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角 SC BCBCA S SC A S 1 1 又SD A S 1 CSD为所求二面角的平面角 在Rt SCB 中 由勾股定理得SC 2 在Rt SDC 中 由勾股定理得SD 1 CSD 45 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为45 C1 C A D B A1 S B1 BA D S l C 图 2 图 3 III 解 解 如图 3 SDADSDA 190 SDA是等腰直角三角形 又 M 是斜边 SA 的中点 DM SA BA ADBA SDADSDD BA面 ASD SA 是 SB 在面 ASD 上的射影 由三垂线定理得DM SB 异面直线 DM 与 SB 所成的角为90 45 3 过 A 作 AD CB 连 DM 则 MAD 即为异面直线 AM 与 BC 所成的角或其补角 在 ADM 中 AD 1 DM 3 AM 3 cos MAD 3 6 MAD arccos 3 6 过 C1作 C1E A1B1于 E 连 BE 则 C1E 平面 AA1B1B 从而 AB1 BC1 AB1 BE ABB1 BB1E BB12 AB B1E 从而高为 2 2 A B C C1 A1 B1 M D E 共 16 页 第 10 页 4 连 AC BD 设 AC BD O 连 EO ABCD 为正方形 O 为 AC 与 BD 的中点 E 为 SC 中点 OE 1 2SA SA 平面 ABCD OE 平面 ABCD DO 为 DE 在平面 ABCD 上的射影 EDO 即为 DE 与平面 ABCD 所成的角 在 Rt EDO 中 OD 1 2BD 2 2 a OE 1 2SA 1 2a tan EDO OE OD 2 2 EDO arctan 2 2 即 DE 与平面 ABCD 所成的角为 arctan 2 2 II SA OE SA 平面 SAF OE 平面 SAF OE 平面 SAF E 到平面 SAF 的距离就等于 O 到平面 SAF 的距离 SA 平面 ABCD SA 平面 SAF 平面 SAF 平面 ABCD 过 O 作 OH AF 于 H 则 OH 平面 SAF OH 长即为点 O 到平面 SAF 的距离 连 OF 并延长交 AB 于 G 1 2 OF AG S AOF 1 2 AF OH S AOF 1 2 OF AG 1 2 AF OH OF 1 2a AG 1 2a AF a2 1 2a 2 5 2 a 代入上式得 OH 5 10a 即点 E 到平面 SAF 的距离是 5 10a III SA 平面 ABCD AS 平面 SAD 平面 ABCD 平面 SAD ABCD 为正方形 CD AD CD 平面 SAD 取 SD 中点 P 连 AP 过 P 作 PQ SF 于 Q 连 AQ SA AD SP PD AP SD CD 平面 SAD AP 平面 SAD AP CD AP 平面 SCD PQ SF AQ SF AQP 为所求的二面角 A SF C 的 平面角的补角 在 Rt APQ 中 AP 1 2SD 2 2 a PQ SP sin PSQ 2 2 a sin DSF 2 2 a DF SF 2 2 a 1 2a 2a 2 1 2a 2 2 6 a tan AQP AP PQ 2 2 a 2 6 a 3 AQP arctan3 二 面角 A SF C 的大小是 arctan3 四 1 A 2 C 3 30 5 5 90 五 1 C 2 D 3 B 4 32 3 7 5 3 6 如图建立直角坐标系 S 0 0 14 2 a A 2 2 a 0 0 B 0 2 2 a 0 C 2 2 a 0 0 D S A B C E F O S A B C D O M N x y z 共 16 页 第 11 页 D 0 2 2 a 0 因 M N 分别为 SA SC 中点 所以 M 2 4 a 0 14 4 a N 2 4 a 0 14 4 a DM 2 4 a 2 2 a 14 4 a BN 2 4 a 2 2 a 14 4 a 所以 DM与 BN 的夹角的余弦为 DM BN DM BN 1 6 所以异面直线 DM 与 BN 所成的角的余弦值1 6 7 2 90 3 60 4 2 2 a 2 8 如图 取 AB 中点 O 连 DO FO 则由条件得 AB 平面 DOF 从而平面 DOF 平面 ABEF 过 D 作 DG OF 交 OF 的延长线于 G 则 DG 平面 ABEF 连 BG 则 DBG 为 BD 与平面 ABEF 所成的角 设菱形的边长为 2a 则 BD 2a DG 3 2a 故 sin DBG 3 4 DBG arcsin 3 4 如图 CBF 即为直线 BF 与 AD 所成的角或其补角 因 DF 3a CF 13a 又 CB BF 2a 所以 CBF arccos5 8 直线 BF 与 AD 所成的角为 arccos 5 8 专题 24 二 1 B 2 A 3 5 或73 4 5 三 1 1 C 1 2 2 2 过 A 作 BD 垂线 垂足为 O 连接 QO 则 QO 就是点 Q 到 BD 的距离 易知 AO AB AD BD 12 5 AQ 2 故 QO AO2 AQ2 2 5 61 用等积法 通过 VP BQD VD PBQ 可以求得点 P 到平面 BQD 的距离为12 61 61 3 解法一 因 PD 底面 故 PD DE 又因 EC PE 且 DE 是 PE 在面 ABCD 内的射影 由三垂直线定理的逆定理知 EC DE 因此 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线 A B C D E F O G 共 16 页 第 12 页 设 DE x 因 DAE CED 故 1 1 2 xx x CD AE x 即 负根舍去 从而 DE 1 即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1 过 E 作 EG CD 交 CD 于 G 作 GH PC 交 PC 于 H 连接 EH 因 PD 底面 故 PD EG 从而 EG 面 PCD 因 GH PC 且 GH 是 EH 在面 PDC 内的射影 由三垂线定理知 EH PC 因此 EHG 为二面角的平面角 在面 PDC 中 PD 2 CD 2 GC 2 3 2 1 2 因 PDC GHC 故 2 3 PC CG PDGH 又 2 3 2 1 1 2222 DGDEEG 故在 4 EHGEGGHEHGRt因此中 即二面角 E PC D 的大小为 4 解法二 以 D 为原点 DA DC DP分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 由已知可得 D 0 0 0 P 0 0 2 C 0 2 0 设 0 2 0 0 0 xBxxA则 0 2 3 2 2 1 0 2 1 xCExPExE 由0 CEPECEPE得 即 2 3 0 4 3 2 xx故 由CEDECEDE 得0 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 又 PD DE 故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线 易得1 DE 故异面直线 PD CE 的距离为 1 共 16 页 第 13 页 作 DG PC 可设 G 0 y z 由0 PCDG得0 2 2 0 0 zy 即 2 1 0 2 DGyz故可取作 EF PC 于 F 设 F 0 m n 则 2 1 2 3 nmEF 由0212 0 2 2 0 2 1 2 3 0 nmnmPCEF即得 又由 F 在 PC 上得 2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 2 EFnmmn故 因 PCDGPCEF 故平面 E PC D 的平面角 的大小为向量DGEF与的夹 角 故 4 2 2 cos EFDG EFDG 即二面角 E PC D 的大小为 4 4 取 AC 中点 D 连结 SD DB SA SC AB BC AC SD 且 AC BD AC 平面 SDB 又 SB 平面 SDB AC SB AC 平面 SDB AC 平面 ABC 平面 SDB 平面 ABC 过 N 作 NE BD 于 E NE 平面 ABC 过 E 作 EF CM 于 F 连结 NF 则 NF CM NFE 为二面角 N CM B 的平面角 平面 SAC 平面 ABC SD AC SD 平面 ABC 又 NE 平面 ABC NE SD SN NB NE 1 2SD 1 2 SA2 AD2 2 且 ED EB 在正 ABC 中 由平 几知识可求得 EF 1 4MB 1 2 在 Rt NEF 中 tan NFE EN EF 2 2 二面角 N CM B 的 大小是 arctan2 2 在 Rt NEF 中 NF 3 2 S CMN 1 2CM NF 3 2 3 S CMB 1 2BM CM 2 3 设点 B 到平面 CMN 的距离为 h VB CMN VN CMB NE 平面 CMB 1 3S CMN h 1 3S CMB NE h 4 2 3 即点 B 到平面 CMN 的距离为4 2 3 A S B C M N E F D 共 16 页 第 14 页 四 1 B 2 12 3 已知正三棱锥 P ABC 的体积为 72 3 侧面与底面所成的二面角的大小为 60 证明 BCPA 求底面中心 O 到侧面的距离 3 取 BC 边的中点 D 连接 AD PD 则 AD BC PD BC 故 BC 平面 APD PA BC 如图 易得底面中心 O 到侧面的距离为 3 五 1 A 2 B 3 D 4 7 2 a 5 2 4 1 2 6 设 AC BD O 连 OE 则 OE PB EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 在 AOE 中 AO 1 OE 1 2PB 7 2 AE 1 2PD 5 2 所以 cos EOA 3 7 14 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为3 7 14 在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F 则 ADF 6 连 PF 则在 Rt ADF 中 DF AD cos ADF 2 3 3 AF ADtan ADF 3 3 设 N 为 PF 的中点 连 NE 则 NE DF DF AC DF PA DF 面 PAC 从而 NE 面 PAC N 点到 AB 的距离 1 2AP 1 N 点到 AP 的距离 1 2AF 3 6 7 取 AB 中点 F 连 EF CF DF 直三棱柱 ABC