高考数学 第八章 第六节 椭圆课件 理 新人教A版.ppt

第六节椭圆 1 椭圆的定义设f1 f2 m分别为平面内的两个定点与动点 若 2a 且2a f1f2 则点m的轨迹为椭圆 叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离 f1f2 叫做椭圆的 mf1 mf2 两个定点 焦距 2 椭圆的标准方程和几何性质 a a b b b b a a 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 0 1 b2 c2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 解析 1 错误 由椭圆的定义知 当该常数大于 f1f2 时 其轨迹才是椭圆 而常数等于 f1f2 时 其轨迹为线段f1f2 常数小于 f1f2 时 不存在图形 2 正确 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 又 f1f2 2c pf1 pf2 f1f2 2a 2c 3 错误 因为e 所以e越大 则越小 椭圆就越扁 4 正确 由椭圆的对称性知 其关于原点中心对称 也关于两坐标轴对称 答案 1 2 3 4 1 已知椭圆 1上一点p到椭圆一个焦点f1的距离为3 则p到另一个焦点f2的距离为 a 2 b 3 c 5 d 7 解析 选d a 5 且 pf1 3 pf1 pf2 10 pf2 10 3 7 2 椭圆的焦点坐标为 5 0 和 5 0 椭圆上一点与两焦点的距离和是26 则椭圆的方程为 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 选a 已知c 5 2a 26 a 13 b 12 又焦点在x轴上 故方程为 1 3 3 m 5 是 方程 1表示椭圆 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 方程 1表示椭圆 则 3 m 5且m 1 故方程 1表示椭圆 可得 3 m 5成立 但 3 m 5时 如m 1却不表示椭圆 故选b 4 已知椭圆 1的离心率e 则m的值为 解析 当焦点在x轴上时 0 m 5 a2 5 b2 m c2 5 m 又e 解得m 3 当焦点在y轴上时 m 5 a2 m b2 5 c2 m 5 又e 解得m 综上可知m 3或答案 3或 5 已知椭圆的短轴长为6 离心率为则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 考向1椭圆的定义及应用 典例1 1 2013 揭阳模拟 已知f1 f2是椭圆 1的两焦点 过点f2的直线交椭圆于a b两点 在 af1b中 若有两边之和是10 则第三边的长度为 a 6 b 5 c 4 d 3 2 2013 珠海模拟 在 abc中 点b 12 0 c 12 0 且ac ab边上的中线长之和等于39 则 abc的重心的轨迹方程为 3 已知f1 f2是椭圆c 1 a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且 若 pf1f2的面积为9 则b 思路点拨 1 根据椭圆的定义求解 2 先寻找到 abc的重心与两定点b c的关系 再根据椭圆的定义求出轨迹方程 3 关键抓住点p为椭圆c上的一点 从而依据定义有 pf1 pf2 2a 再利用 求出 pf1 pf2 即得b值 规范解答 1 选a 根据椭圆定义 知 af1b的周长为4a 16 故所求的第三边的长度为16 10 6 2 如图 设m是 abc的重心 bd是ac边上的中线 ce是ab边上的中线 由重心的性质知 bm bd cm ce 于是 mb mc bd ce bd ce 39 26 又26 bc 24 根据椭圆的定义知 点m的轨迹是以b c为焦点的椭圆 2a mb mc 26 a 13 又2c bc 24 c 12 b2 a2 c2 132 122 25 故所求的轨迹方程为 1 y 0 答案 1 y 0 3 由题意知 pf1 pf2 2a pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 pf1 pf2 2b2 b2 9 b 3 答案 3 互动探究 将本例题 3 中条件 pf1f2的面积为9 分别改为 f1pf2 60 则结果如何 解析 由题意得 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 f1f2 2 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 4c2 3 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 b2 pf1 pf2 sin60 b2 b2 b 3 拓展提升 1 2 焦点三角形的应用椭圆上一点p与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 提醒 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2 这一条件 变式备选 已知动点p到两个定点f1 1 0 f2 1 0 的距离之和为 1 则点p轨迹的离心率的取值范围为 a 1 b c 0 d 1 解析 选c 由已知 到两定点f1 1 0 f2 1 0 的距离之和为 1 的点的轨迹是一个椭圆 其中心坐标为 0 0 长轴长为 1 焦距为2 故a c 1 所以离心率e 因为 1 所以e 0 即点p轨迹的离心率的取值范围为 0 考向2椭圆的标准方程与几何性质 典例2 1 2012 江西高考 椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别是a b 左 右焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 2 2012 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率e 且椭圆c上的点到q 0 2 的距离的最大值为3 求椭圆c的方程 在椭圆c上 是否存在点m m n 使得直线l mx ny 1与圆o x2 y2 相交于不同的两点a b 且 oab的面积最大 若存在 求出点m的坐标及相对应的 oab的面积 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 根据椭圆的几何性质 利用数形结合的思想 将 af1 f1f2 f1b 用含a c的代数式表示 再由其成等比数列构建a c的方程 转化为关于离心率e的方程 得e 2 先根据e 将待定系数a用b表示 再根据椭圆c上任意一点p x y 满足椭圆c的方程 将 pq 表示为y的函数 求其最大值 从而求出b 得c的方程 可求出原点到直线l的距离 进而求出 ab 的长 即可求出s oab ab d 再根据m m n 在椭圆上 n2 1 即n2 1 因而s oab 从而确定出m n的值 问题得解 规范解答 1 由几何性质知 af1 a c f1f2 2c f1b a c 又三者成等比数列 所以 f1f2 2 af1 f1b 即4c2 a2 c2 a2 5c2 所以e2 e 答案 2 由e 得a b 椭圆c 1 即x2 3y2 3b2 设p x y 为椭圆c上任意一点 则 pq b y b 若b 1 则 b 1 当y b时 pq max 3 又b 0 得b 1 舍去 若b 1 则 b 1 当y 1时 pq max 3 得b 1 椭圆c的方程为 y2 1 假设存在点m m n 满足题意 则 n2 1 即n2 1 设原点到直线l mx ny 1的距离为d 则d ab 2 2 s oab ab d 当且仅当1 即m2 n2 亦即m n 时 s oab max m 或m 显然存在这样的点m 或m 或m 或m 使s aob最大 最大值为 拓展提升 1 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴都有可能 2 设方程 根据上述判断设出方程 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 提醒 当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时 可设为 1 m 0 n 0 m n 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0且a b 2 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 1 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 2 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 变式训练 2013 长沙模拟 已知椭圆c1 1 a b 0 的右焦点为f 上顶点为a p为c1上任一点 mn是圆c2 x2 y 3 2 1的一条直径 若与af平行且在y轴上的截距为3 的直线l恰好与圆c2相切 1 求椭圆c1的离心率 2 若 的最大值为49 求椭圆c1的方程 解析 1 由题意可知直线l的方程为bx cy 3 c 0 因为直线l与圆c2 x2 y 3 2 1相切 所以d 1 即a2 2c2 从而e 2 设p x y 则 1 c 0 即x2 2y2 2c2 又 x2 3 y 2 1 y 3 2 2c2 17 c y c 当c 3时 max 17 2c2 49 解得c 4 此时椭圆方程为 1 当0 c 3 max c 3 2 17 2c2 49 解得c 5 3 但c 5 3 3 故舍去 综上所述 椭圆c1的方程为 1 考向3直线与椭圆的位置关系 典例3 1 2013 佛山模拟 若直线mx ny 4和圆o x2 y2 4没有交点 则过点 m n 的直线与椭圆 1的交点个数为 a 至多1个 b 2个 c 1个 d 0个 2 2013 兰州模拟 设椭圆c1 1 a b 0 的左 右焦点分别是f1 f2 下顶点为a 线段oa的中点为b o为坐标原点 如图 若抛物线c2 y x2 1与y轴的交点为b 且经过f1 f2点 求椭圆c1的方程 设m 0 n为抛物线c2上的一动点 过点n作抛物线c2的切线交椭圆c1于p q两点 求 mpq面积的最大值 思路点拨 1 判断点 m n 与椭圆的位置关系 然后再判断直线与椭圆的交点个数 2 求出y x2 1与x轴 y轴的交点坐标得到c b的值 再根据a2 b2 c2求出a 代入c1的方程 设n t t2 1 建立过点n的直线方程 与椭圆方程联立 利用根与系数的关系设而不求 整体代入求得 pq 进而用点到直线的距离公式求出点m到直线pq的距离d 从而得s mpq pq d求解 规范解答 1 选b 直线mx ny 4和圆o x2 y2 4没有交点 2 m2 n2 4 点 m n 在椭圆 1的内部 过点 m n 的直线与椭圆 1的交点个数为2 2 由题意可知b 0 1 则a 0 2 故b 2 令y 0得x2 1 0 即x 1 则f1 1 0 f2 1 0 故c 1 所以a2 b2 c2 5 于是椭圆c1的方程为 1 设n t t2 1 由于y x2 1 y 2x 知直线pq的方程为 y t2 1 2t x t 即y 2tx t2 1 代入椭圆方程 1整理得 4 1 5t2 x2 20t t2 1 x 5 t2 1 2 20 0 其中 400t2 t2 1 2 80 1 5t2 t2 1 2 4 80 t4 18t2 3 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 x1x2 故 pq x1 x2 设点m到直线pq的距离为d 则d 所以 mpq的面积s pq d 所以当t2 9即t 3时 mpq的面积有最大值 且最大值为经检验此时 0 满足题意 综上可知 mpq的面积的最大值为 拓展提升 1 判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步 确定直线与椭圆的方程 第二步 联立直线方程与椭圆方程 第三步 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 第四步 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 ab k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时有关弦长 中点问题的处理方法 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 变式训练 2013 成都模拟 已知椭圆 1 a b 0 的一个顶点为b 0 4 离心率e 直线l交椭圆于m n两点 1 若直线l的方程为y x 4 求弦mn的长 2 如果 bmn的重心恰好为椭圆的右焦点f 求直线l方程的一般式 解析 1 由已知得b 4 且即 解得a2 20 椭圆方程为 1 则4x2 5y2 80与y x 4联立 消去y得9x2 40 x 0 x1 0 x2 所求弦长 mn x2 x1 2 椭圆右焦点f的坐标为 2 0 设线段mn的中点为q x0 y0 由三角形重心的性质知 2又b 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即得q的坐标为 3 2 设m x1 y1 n x2 y2 则x1 x2 6 y1 y2 4 且 1 1 以上两式相减得 0 kmn 故直线mn的方程为y 2 x 3 即6x 5y 28 0 满分指导 解答直线与椭圆相交的综合问题 典例 12分 2012 陕西高考 已知椭圆c1 1 椭圆c2以c1的长轴为短轴 且与c1有相同的离心率 1 求椭圆c2的方程 2 设o为坐标原点 点a b分别在椭圆c1和c2上 2求直线ab的方程 思路点拨 规范解答 1 由已知可设椭圆c2的方程为 1 a 2 2分其离心率为故 则a 4 4分故椭圆c2的方程为 1 5分 2 方法一 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由 2 及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分将y kx代入 1中 得 1 4k2 x2 4 所以 8分 将y kx代入 1中 得 4 k2 x2 16 所以 9分又由 2得 4即 10分解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 方法二 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由 2 及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分将y kx代入 1中 得 1 4k2 x2 4 所以 8分 由 2得 9分将代入 1中 得 1 即4 k2 1 4k2 10分解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 新课标全国卷 设f1 f2是椭圆e 1 a b 0 的左 右焦点 p为直线x 上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a b c d 解析 选c 由题意可得 pf2 f1f2 2 a c 2c 3a 4c e 2 2012 山东高考 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率为双曲线x2 y2 1的渐近线与椭圆c有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16 则椭圆c的方程为 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 选d 因为椭圆的离心率为 a 2b 椭圆方程为x2 4y2 4b2 又双曲线x2 y2 1的渐近线方程为x y 0 渐近线x y 0与椭圆x2 4y2 4b2在第一象限的交点为 由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 4 b2 5 a2 4b2 20 椭圆c的方程为 1 3 2013 中山模拟 设f1 f2分别是椭圆e 1 0 b 1 的左 右焦点 过f1的直线与e相交于a b两点 且 af2 ab bf2 成等差数列 则 ab 的长为 解析 由椭圆定义知 af2 ab bf2 4a 又a 1 af2 ab bf2 4 由已知 af2 ab bf2 成等差数列 af2 bf2 2 ab 由 解得 ab 答案 4 2012 天津高考 设椭圆 a b 0 的左 右顶点分别为a b 点p在椭圆上且异于a b两点 o为坐标原点 1 若直线ap与bp的斜率之积为求椭圆的离心率 2 若 ap oa 证明直线op的斜率k满足 解析 1 设点p坐标为 x0 y0 由题意得 由a a 0 b a 0 得由可得x02 a2 2y02 代入 并整理得 a2 2b2 y02 0 y0 0 a2 2b2 0 于是e2 2 方法一 依题意 直线op的方程为y kx 点p的坐标为 x0 y0 由条件得整理得 由 ap oa a a 0 y0 kx0 得 x0 a 2 k2x02 a2 整理得 1 k2 x02 2ax0 0 x0 0 x0 代入 整理得 1 k2 2 a b 0 1 k2 2 4k2 4 k2 3 方法二 依题意 直线op的方程为y kx 点p的坐标为 x0 kx0 由条件得 a b 0 kx0 0 即 1 k2 x02 a2 由 ap oa a a 0 得 x0 a 2