高考数学 第十章 第二节 曲线与方程课件 理 苏教版.ppt

第二节曲线与方程 1 曲线与方程如果曲线c上点的坐标 x y 都是方程f x y 0的解 且以方程f x y 0的解 x y 为坐标的点都在曲线c上 那么 方程f x y 0叫做 曲线c叫做 曲线c的方程 方程f x y 0的曲线 2 求曲线方程的基本步骤 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 y0 0是点p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 2 方程x2 xy x的曲线是一个点和一条直线 3 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2 y2 4 方程与x y2表示同一曲线 解析 1 正确 由f x0 y0 0可知点p x0 y0 在曲线f x y 0上 又p x0 y0 在曲线f x y 0上时 有f x0 y0 0 f x0 y0 0是p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 2 错误 方程变为x x y 1 0 x 0或x y 1 0 故方程表示直线x 0或直线x y 1 0 3 错误 当以两条互相垂直的直线为x轴 y轴时 是x2 y2 否则不正确 4 错误 因为方程表示的曲线 只是方程x y2表示曲线的一部分 故其不正确 答案 1 2 3 4 考向1利用直接法求轨迹方程 典例1 已知直角坐标平面上的点q 2 0 和圆c x2 y2 1 动点m到圆c的切线长与mq的比等于常数 0 求动点m的轨迹方程 思路点拨 可设出动点m的坐标 依据动点m到圆c的切线长与mq的比等于常数 0 即可得出方程 规范解答 设直线mn切圆c于n点 则动点m的集合为 p m mn mq 因为圆c的半径cn 1 所以mn2 mc2 cn2 mc2 1 设点m的坐标为m x y 则化简整理得 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 0 互动探究 本例中的条件不变 求动点m的轨迹 解析 由例题解析可知 曲线的方程为 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 0 因为 0 所以当 1时 方程化为4x 5 0 它表示一条直线 当 1时 方程化为 它表示圆心为半径为的圆 拓展提升 1 直接法求曲线方程的一般步骤 1 建立恰当的坐标系 设动点坐标 x y 2 列出几何等量关系式 3 用坐标条件变为方程f x y 0 4 变方程为最简方程 5 检验 就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性 2 直接法适合求解的轨迹类型 1 若待求轨迹上的动点满足的几何条件可转化为动点与一些几何量满足的等量关系 而该等量关系又易于表达成含x y的等式时 一般用直接法求轨迹方程 2 题目给出了等量关系 直接代入即可得方程 变式备选 已知点m n为两个定点 mn 6 且动点p满足求点p的轨迹方程 解析 以点m n所在的直线为x轴 mn的中点o为坐标原点 建立平面直角坐标系 则m 3 0 n 3 0 设p x y 则又因为所以 3 x y 3 x y 6 化简整理得 x2 y2 15 考向2利用定义法求轨迹方程 典例2 已知a 0 b是圆f x 2 y2 4 f为圆心 上一动点 线段ab的垂直平分线交bf于p 求动点p的轨迹方程 思路点拨 根据题设条件 寻找动点p与两点a f距离的和满足的等量关系pa pf 2 用定义法求方程 规范解答 如图 连接pa 依题意可知pa pb pa pf pb pf bf 2 1 p点轨迹为以a 0 f 0 为焦点 长半轴长为1的椭圆 其方程可设为又 c a 1 b2 a2 c2 故p点的轨迹方程为 拓展提升 定义法适合所求轨迹的特点及关键 1 特点 求轨迹方程时 若动点与定点 定线间的等量关系满足圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可直接根据定义先确定轨迹类型 再写出其方程 2 关键 理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键 提醒 利用定义法求轨迹方程时 还要看所求轨迹是否是完整的圆 椭圆 双曲线 抛物线 如果不是完整的曲线 则应对其中的变量x或y进行限制 变式训练 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明它是什么曲线 解析 如图所示 设动圆圆心m的坐标为 x y 半径为r 设已知圆的圆心分别为o1 o2 将圆的方程分别配方得 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 100 当动圆与圆o1相外切时 有o1m r 2 当动圆与圆o2相内切时 有o2m 10 r 将 两式相加 得o1m o2m 12 o1o2 动圆圆心m x y 到点o1 3 0 和o2 3 0 的距离和是常数12 所以点m的轨迹是焦点为o1 3 0 o2 3 0 长轴长等于12的椭圆 2c 6 2a 12 c 3 a 6 b2 36 9 27 圆心m的轨迹方程为轨迹为椭圆 考向3利用相关点 代入 法 参数法求轨迹方程 典例3 设a是单位圆x2 y2 1上的任意一点 l是过点a与x轴垂直的直线 d是直线l与x轴的交点 点m在直线l上 且满足dm m da m 0 且m 1 当点a在圆上运动时 记点m的轨迹为曲线c 求曲线c的方程 判断曲线c为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 思路点拨 解答本题的关键是把点m的坐标设出 利用代入法求轨迹方程 规范解答 设m x y a x0 y0 则由dm m da m 0 且m 1 可得x x0 y m y0 所以因为a点在单位圆上运动 所以将 式代入 式即得所求曲线c的方程为因为m 0 1 1 所以当01时 曲线c是焦点在y轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 拓展提升 1 相关点法 代入法 适用的轨迹类型及使用过程动点所满足的条件不易得出或转化为等式 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律地运动 而且动点q的轨迹方程为给定的或容易求得的 则可先将x y 表示成x y的式子 再代入q的轨迹方程 整理化简即得动点p的轨迹方程 提醒 用代入法求轨迹方程是将x y 表示成x y的式子 同时注意x y 的限制条件 2 参数法适用的轨迹类型及使用过程有时求动点应满足的几何条件不易得出 也无明显的相关点 但却较易发现 或经分析可发现 这个动点的运动常常受到另一个或两个变量 斜率 比值 截距或坐标等 的制约 即动点坐标 x y 中的x y分别随另外变量的变化而变化 我们可称这些变量为参数 建立轨迹的参数方程 这种方法叫参数法 如果需要得到轨迹的方程 只要根据参数满足的约束条件消去参数即可 变式训练 已知抛物线y2 4px p 0 o为顶点 a b为抛物线上的两动点 且满足oa ob 如果om ab于m点 求点m的轨迹方程 解析 设m x y 当直线ab斜率存在时 设直线ab方程为y kx b 由om ab得由y2 4px及y kx b消去y 得消去x 得ky2 4py 4pb 0 所以 由oa ob 得y1y2 x1x2 所以故y kx b k x 4p 把代入 得x2 y2 4px 0 x 0 当直线ab斜率不存在时 m点坐标为 4p 0 适合 式 所以m的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 1 已知真命题 若a为 o内一定点 b为 o上一动点 线段ab的垂直平分线交直线ob于点p 则点p的轨迹是以o a为焦点 ob长为长轴长的椭圆 类比此命题 写出另一个真命题 若a为 o外一定点 b为 o上一动点 线段ab的垂直平分线交直线ob于点p 求点p的轨迹 解析 如图 连接ap 由于p是线段ab垂直平分线上一点 故有pa pb 因此 pa po pb po ob r为定值 其中r为 o的半径 又由于点a在圆外 故 pa po ob r oa 故动点p的轨迹是以o a为焦点 ob为实轴长的双曲线 2 一动圆与圆o1 x 2 2 y2 3外切 与圆o2 x 2 2 y2 27内切 1 求动圆圆心m的轨迹方程 2 试探究圆心m的轨迹上是否存在点p 使直线po1与po2的斜率满足 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 1 设动圆圆心为m x y 半径为r 由题意 得由椭圆定义知m在以o1 o2为焦点的椭圆上 且 动圆圆心m的轨迹方程为 2 由 1 知动圆圆心m的轨迹是椭圆 它的两个焦点坐标分别为o1 2 0 和o2 2 0 设p x y 是椭圆上的点 由得即x2 y2 4 x 2 这是实轴在x轴 顶点是椭圆的两个焦点的双曲线 除去两个顶点 它与椭圆的交点即为点p 由于双曲线的两个顶点在椭圆内 根据椭圆和双曲线的对称性可知 它们必有四个交点 即圆心m的轨迹上存在四个点p 使直线po1与po2的斜率满足 3 2013 南京模拟 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为邻边作平行四边形monp 求点p的轨迹方程 解析 设p x y 圆上的动点n x0 y0 则线段op的中点坐标为线段mn的中点坐标为又因为平行四边形的对角线互相平分 所以有可得又因为n x0 y0 在圆上 所以n点坐标应满足圆的方程 即有 x 3 2 y 4 2 4 但应除去两点 4 2013 淮安模拟 设f 1 0 点m在x轴上 点p在y轴上 且 1 当点p在y轴上运动时 求点n的轨迹c的方程 2 设a x1 y1 b x2 y2 d x3 y3 是曲线c上的点 且成等差数列 当ad的垂直平分线与x轴交于点e 3 0 时 求b点坐标 解析 1 设n x y 则由得p为mn中点 所以又所以y2 4x x 0 2 由 1 知f 1 0 为曲线c的焦点 由抛物线定义知 抛物线上任一点p0 x0 y0 到f的距离等于其到准线的距离 即所以根据成等差数列 得x1 x3 2x2 易知直线ad的斜率存在 所以直线ad的斜率为所以ad的垂直平分线l的方程为又ad中点在垂直平分线上 则即x2 1 所以b 1 2 5 在rt abc中 cab 90 ab 2 ac 一曲线e过c点 动点p在曲线e上运动 且保持pa pb的值不变 1 建立适当的坐标系 求曲线e的方程 2 直线l y x t与曲线e交于m n两点 求四边形manb的面积的最大值 解析 1 以ab为x轴 以ab中点为原点o建立直角坐标系 pa pb ca cb 动点p的轨迹为椭圆 且a c 1 从而b 1 曲线e的方程为 2 将y x t代入得3x2 4tx 2t2 2 0 设m x1 y1 n x2 y2 由 得t2 3 t 0时 6 2013 徐州模拟 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 1 1 p是动点 且三角形poa的三边所在直线的斜率满足kop koa kpa 1 求点p的轨迹c的方程 2 若q是轨迹c上异于点p的一个点 且直线op与qa交于点m 问 是否存在点p使得 pqa和 pam的面积满足s pqa 2s pam 若存在 求出点p的坐标 若不存在 说明理由 解析 1 设点p x y 为所求轨迹上的任意一点 则由kop koa kpa得 整理得轨迹c的方程为y x2 x 0且x 1 2 设由可知直线pq oa 则kpq koa 故即x2 x1 1 直线op方程为 y x1x 直线qa的斜率为 直线qa的方程为 y 1 x1 2 x 1 即y x1 2 x x1 1 联立 得x 点m的横坐标为定值 由s pqa 2s pam 得到qa 2am 因为pq oa 所以op 2om 由得x1 1 p的坐标为 1 1 存在点p满足s pqa 2s pam p的坐标为 1 1 7 已知线段ab的两个端点a b分别在x轴 y轴上滑动 ab 3 点m满足 1 求动点m的轨迹e的方程 2 若曲线e的所有弦都不能被直线l y k x 1 垂直平分 求实数k的取值范围 解析 1 设m x y a x0 0 b 0 y0 则由得解得代入化简得点m的轨迹方程为 2 由题意知k 0 假设存在弦cd被直线l垂直平分 设直线cd的方程为由消去y化简得 k2 4 x2 8kbx 4k2 b2 1 0 8kb 2 4 k2 4 4k2 b2 1 16k2 k2b2 k2 4 0 k2b2 k2 4 0 设c x1 y1 d x2 y2 cd中点p xp yp 则 解得 当曲线e的所有弦都不能被直线l y k x 1 垂直平分时 k的取值范围是k 或k 8 2013 南通模拟 在平面直角坐标系中 已知向量a x y b x ky 4 k r a b 动点m x y 的轨迹为t 1 求轨迹t的方程 并说明该方程表示的曲线的形状 2 当k 0时 过点f 0 1 作轨迹t的两条互相垂直的弦ab cd 设ab cd的中点分别为m n 试判断直线mn是否过定点 并说明理由 解析 1 a b a b x