高考数学 第七章 第七节 空间几何体及其表面积和体积课件 理 苏教版.ppt

第七节空间几何体及其表面积和体积 1 空间几何体 1 多面体 平面多边形 平移 全等的多 边形 平行 平行四边形 收缩 为一个点 多边形 有一个公共顶点 的三角形 平行于底面 截 面 底面 相似 交于一点 2 旋转体 旋转面 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 旋转体 封闭的旋转面围成的几何体 圆柱 圆锥 圆台和球 直角三角形 一直角边 直角梯形 垂直于底边的腰 半圆 直径 2 空间几何体的表面积 体积 1 表面积公式 s直棱柱侧 ch s正棱锥侧 ch s正棱台侧 s圆柱侧 2 rl s圆锥侧 s圆台侧 r r l s球 4 r2 2 体积公式 v柱体 sh v锥体 sh v台体 v球 r3 rl 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 2 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 3 一个棱柱至少有5个面 面数最少的一个棱锥有4个顶点 顶点最少的一个棱台有3条侧棱 4 球的体积之比等于半径比的平方 5 台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差 6 若圆锥的轴截面是正三角形 则它的侧面积是底面积的2倍 解析 1 错误 尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形 但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行 如图 该几何体并不是棱柱 2 错误 尽管几何体满足了一个面是多边形 其余各面都是三角形 但不能保证三角形具有公共顶点 3 正确 面数最少的棱柱为三棱柱 有5个面 面数最少的棱锥为三棱锥 有4个顶点 顶点最少的棱台为三棱台 有3条侧棱 4 错误 因为球的体积v 故球的体积之比等于半径比的立方 5 正确 由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体 故其体积可转化为两个锥体的体积之差 6 正确 不妨设圆锥的底面圆半径为r 则母线长为2r s侧 s底 r2 即s侧 2s底 答案 1 2 3 4 5 6 1 下列结论中正确的是 填序号 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等 则该棱锥可能是六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 解析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时 尽管各面都是三角形 但它不是三棱锥 故 错误 若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线 所得几何体就不是圆锥 故 错误 以正六边形为底面 则棱长必然要大于底面边长 故 错误 正确 答案 2 用任意一个平面截一个几何体 各个截面都是圆面 则这个几何体一定是 解析 由几何体的结构特征可知 该几何体一定是球体 答案 球体 3 正六棱柱的高为6 底面边长为4 则它的表面积为 解析 正六棱柱的表面积为6 4 6 4 4sin60 12 144 48 48 3 答案 48 3 4 圆柱的底面积为s 侧面展开图是一个正方形 那么圆柱的侧面积是 解析 设圆柱的底面圆的半径为r 则s r2 即r 又 侧面展开图是一个正方形 圆柱的母线长为2 圆柱的侧面积为2 2 4 s 答案 4 s 5 直角三角形两直角边ab 3 ac 4 以ab为轴旋转一周所得的几何体的体积为 解析 由题意知 该几何体是底面半径为4 高为3的圆锥 故其体积v 42 3 16 答案 16 考向1几何体的折叠与展开 典例1 1 如图 在三棱柱abc a b c 中 abc为等边三角形 aa 平面abc ab 3 aa 4 m为aa 的中点 p是bc上一点 且由p沿棱柱侧面经过棱cc 到m的最短路线长为 设这条路线与cc 的交点为n 则pc nc 2 如图为一几何体的展开图 其中四边形abcd是边长为6的正方形 sd pd 6 cr sc aq ap 点s d a q及点p d c r分别共线 沿图中虚线将它们折叠起来 使p q r s四点重合 则需要 个这样的几何体 可以拼成一个棱长为6的正方体 思路点拨 1 可将该三棱柱的侧面沿棱bb 展开 然后利用平面几何的知识解决 2 将平面图形折叠后得到一个四棱锥 然后利用体积相等求解 规范解答 1 将该三棱柱的侧面沿棱bb 展开 如图所示 设pc x 则mp2 ma2 ac x 2 mp ma 2 ac 3 x 2 即pc 2 又nc am 即答案 2 2 由题意知 将该展开图沿虚线折叠起来以后 得到一个四棱锥p abcd 其中pd 平面abcd 因此该四棱锥的体积v 6 6 6 72 而棱长为6的正方体的体积v 6 6 6 216 故需要 3个这样的几何体 才能拼成一个棱长为6的正方体 答案 3 互动探究 保持本例 1 条件不变 则一只蚂蚁从b点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周 到达b 点的最短路线的长为 解析 由题意可知 其最短路线为侧面展开图的对角线 故其最短路线的长为答案 拓展提升 1 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法选择恰当的母线或棱将几何体展开 转化为求平面上两点间的最短距离 2 解决折叠问题的技巧 1 解决折叠问题时 要分清折叠前后两图形中 折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化 哪些没有发生变化 2 折叠问题中的前后两个图形 在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化 在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化 变式备选 1 在三棱锥p abc中 pa pb pc 2 apb bpc cpa 30 一只蚂蚁从a点出发沿三棱锥的侧面绕一周 再回到a点 则蚂蚁经过的最短路程是 解析 把三棱锥p abc展开 如图 由题意知pa pa 2 apa 90 aa 即蚂蚁经过的最短路程为答案 2 如图 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成 则该多面体的体积是 解析 由题知该多面体为正四棱锥 底面边长为1 侧棱长为1 斜高为 连结顶点和底面中心即为高 可得高为 所以体积为答案 考向2空间几何体的表面积 典例2 1 如图 三棱锥p abc中 平面pac 平面abc pc 5 bc 4 ab 过顶点p向底面作ph ac 垂足为h ah 2 hc 3 ph 4 则三棱锥p abc的表面积为 2 2013 无锡模拟 如图所示的几何体是由一个长 宽 高分别为4 3 1的长方体挖去一个圆柱得到的 其中圆柱的底面圆直径为2 高为1 则该几何体的表面积为 思路点拨 1 判断三个侧面三角形和一个底面三角形的形状 分别求面积相加 2 分别求长方体的表面积和圆柱的侧面积 相加后注意减去圆柱的两个底面积 规范解答 1 因为ac ah hc 5 bc 4 ab 所以ac bc 所以s abc 4 5 10 s pac 5 4 10 因为ph ac 平面pac 平面abc 所以ph 平面abc 所以ph bc 又因为bc ac ph ac h 所以bc 平面pac 所以bc pc 所以s pbc 4 5 10 易求pa pb ab 取pa的中点e 连结be 则可得be 6 所以s pab 6 因此三棱锥p abc的表面积为答案 2 长方体的长 宽 高分别为4 3 1 表面积为4 3 2 3 1 2 4 1 2 38 圆柱的底面圆直径为2 高为1 侧面积为2 1 1 2 圆柱的两个底面积和为2 12 2 故该几何体的表面积为38 2 2 38 答案 38 拓展提升 1 多面体的表面积的求解关键求解有关多面体表面积的问题 关键是找到其特征几何图形 如棱柱中的矩形 棱台中的直角梯形 棱锥中的直角三角形 它们是联系高与斜高 边长等几何元素的桥梁 从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系 2 旋转体的表面积的求法圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 提醒 解题中要注意表面积与侧面积的区别 对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理 变式训练 如图所示 直四棱柱abcd a1b1c1d1的高为4 底面abcd是等腰梯形 且bc ad ab bc 2 ad 4 则此直四棱锥的表面积为 解析 由题意知ab ad 4 bc 2 从而得梯形高为4 四棱柱的侧面积为 2 4 2 4 24 8 两底面面积为故此直四棱柱的表面积为48 8 答案 48 8 考向3空间几何体的体积 典例3 1 2012 上海高考 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面 则该圆锥的体积为 2 2012 江苏高考 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 3cm aa1 2cm 则四棱锥a bb1d1d的体积为 cm3 思路点拨 1 列出关于圆锥母线和底面半径的方程 解方程 再计算圆锥的高和体积 2 先根据四边形abcd为正方形 得到ac bd 再由面面垂直的性质证明ac 平面bb1d1d 得到锥体的高 最后求体积 规范解答 1 如图 由题意可设圆锥的母线长为l 圆锥的底面半径长为r 则 2 得l 2 2 r 得r 1 从而圆锥的高由圆锥的体积公式得答案 2 连结ac交bd于o 在长方体中 ab ad 3cm bd 3cm 且ac bd 又 bb1 平面abcd bb1 ac 又 db bb1 b ac 平面bb1d1d ao为四棱锥a bb1d1d的高 且ao bd cm 答案 6 拓展提升 1 求几何体体积的思路 1 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体 锥体或台体 则可直接利用公式进行求解 2 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出 则常用转换法 分割法 补形法等方法进行求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 2 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 变式训练 2013 南京模拟 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 d为棱aa1的中点 若截面 bc1d是面积为6的直角三角形 则此三棱柱的体积为 解析 设正三棱柱的底面边长为a 高为2h 则bd c1d bc1 由 bc1d是面积为6的直角三角形 得解得故此三棱柱的体积为v 8 sin60 4 答案 易错误区 求球的组合体体积时的易错点 典例 2012 新课标全国卷改编 已知三棱锥s abc的所有顶点都在球o的球面上 abc是边长为1的正三角形 sc为球o的直径 且sc 2 则此棱锥的体积为 误区警示 本题易出现的错误主要是不能根据sc为球o的直径将三棱锥的体积进行合理转化 从而无法求解或求解错误 规范解答 由于三棱锥s abc与三棱锥o abc的底面都是 abc o是sc的中点 因此三棱锥s abc的高是三棱锥o abc高的2倍 所以三棱锥s abc的体积也是三棱锥o abc体积的2倍 在三棱锥o abc中 其棱长都是1 如图所示 高 答案 思考点评 1 与球有关的组合体问题的求解解决与球有关的组合体问题 可通过画过球心的截面来分析 例如 底面半径为r 高为h的圆锥内部有一球o 且球与圆锥的底面和侧面均相切 过球心o作球的截面 如图所示 则球心是等腰 abc的内切圆的圆心 ab和ac均是圆锥的母线 bc是圆锥底面的直径 d是圆锥底面的圆心 用同样的方法可得以下结论 1 长方体的8个顶点在同一个球面上 则长方体的体对角线是球的直径 球与正方体的六个面均相切 则球的直径等于正方体的棱长 球与正方体的12条棱均相切 则球的直径是正方体的面对角线 2 球与圆柱的底面和侧面均相切 则球的直径等于圆柱的高 也等于圆柱底面圆的直径 3 球与圆台的底面和侧面均相切 则球的直径等于圆台的高 2 空间几何体的切割问题在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时 常常需要用到分割法 在求一个几何体被分成两部分的体积之比时 若有一部分为不规则几何体 则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积 1 2012 山东高考 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e为线段b1c上的一点 则三棱锥a ded1的体积为 解析 答案 2 2013 泰州模拟 若直三棱柱abc a1b1c1的六个顶点在半径为r的同一球面上 且ac cb 1 aa1 ab 则该球的表面积为 解析 直三棱柱abc a1b1c1的各顶点都在同一球面上 ac cb 1 ab acb 90 将直三棱柱补成长方体 长方体的体对角线长即为球的直径 长方体的体对角线长的平方为 所以球的表面积为 答案 3 2012 广东高考改编 某几何体是由圆锥和半球组合而成的 如图所示 圆锥的底面半径为3 高为4 半球的半径为3 则该几何体的体积为 解析 答案 30 4 2013 淮安模拟 已知长方体的长 宽 高分别为5 4 3 若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱 则这两个三棱柱表面积之和的最大值为 解析 有以下三种截法 可知方案 3 两个三棱柱表面积之和最大 其值为5 4 2 5 3 2 3 4 2 2 5 5 144 答案 144 5 2013 南京模拟 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 p为线段ad1上的点 且满足 0 1 当 1时 求证 平面abc1d1 平面pdb 2 试证无论 为何值 三棱锥d pbc1的体积恒为定值 证明 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab 平面aa1d1d 又ab abc1d1 平面abc1d1 平面aa1d1d 1时 p为ad1的中点 dp ad1 又 平面abc1d1 平面aa1d1d ad1 dp 平面abc1d1 又 dp 平面pdb 平面abc1d1 平面pdb 2 ad1 bc1 p为线段ad1上的点 三角形pbc1的面积