高中数学 2.1.2 求曲线的方程课件 新人教B版选修21 .ppt

2 1 2求曲线的方程 天宫一号 运行要经过两次轨道控制 从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道 在这里我们必须要知道 天宫一号 运行的轨道 轨迹 那么科学家们是如何进行计算的呢 接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法 1 理解坐标法的作用及意义 2 掌握求曲线方程的一般方法和步骤 能根据所给条件 选择适当坐标系 重点 难点 探究求曲线的方程的步骤 上一节 我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概念 利用这两个重要概念 就可以借助于坐标系 用坐标表示点 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹 用曲线上点的坐标 x y 所满足的方程f x y 0表示曲线 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法 在数学中 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何 因此 解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科 问题1 解析几何与坐标法 问题2 平面解析几何研究的两个基本问题 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过曲线的方程 研究平面曲线的性质 例1 设a b两点的坐标分别是 1 1 3 7 求线段ab的垂直平分线的方程 解析 设点m x y 是线段ab的垂直平分线上的任意一点 也就是点m属于集合 由两点间的距离公式 点m适合的条件可表示为 上式两边平方 并整理得x 2y 7 0 我们证明方程 是线段ab的垂直平分线的方程 1 由求方程的过程可知 垂直平分线上每一点的坐标都是方程 的解 2 设点m1的坐标 x1 y1 是方程 的解 即x1 2y1 7 0 x1 7 2y1 点m1到a b的距离分别是 即点m在线段ab的垂直平分线上 由 1 2 可知 方程 是线段ab的垂直平分线的方程 由上述例子可以看出 求曲线的方程 一般有下面几个步骤 1 建系设动点 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示所求曲线上任意一点m的坐标 求谁设谁 2 列几何条件 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 坐标代换 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 说明 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可适当予以说明 另外 也可以根据情况省略步骤 2 直接列出曲线方程 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 证明 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 例2 已知一条直线l和它上方的一个点f 点f到l的距离是2 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到f的距离减去到l的距离的差都是2 建立适当的坐标系 求这条曲线的方程 分析 在建立坐标系时 一般应当充分利用已知条件中的定点 定直线等 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示 从而使曲线方程的形式简单一些 解 如图 取直线l为x轴 过点f且垂直于直线l的直线为y轴 建立坐标系xoy 设点m x y 是曲线上任意一点 作mb x轴 垂足为b 那么点m属于集合 由两点间的距离公式 点m适合的条件可表示为 将 式移项后两边平方 得 化简得 因为曲线在x轴的上方 所以y 0 虽然原点o的坐标 0 0 是这个方程的解 但不属于已知曲线 所以曲线的方程应是 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础 同时 根据曲线上的点应适合的条件列出等式 是求曲线方程的重要环节 严格按步骤解题是基本能力 提升总结 变式练习 提升总结 建立适当坐标系的基本原则 1 定点 定线段常选在坐标轴上 2 原点有时选在定点 3 充分利用对称性 坐标轴可选为对称轴 另外注意 坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同 要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置 以简化方程形式 1 圆心在直线x 2y 7 0上的圆c与x轴交于两点a 2 0 b 4 0 则圆c的方程为 答案 x 3 2 y 2 2 5 2 在 abc中 b c坐标分别为 3 0 3 0 且三角形周长为16 则点a的轨迹方程是 3 在平面直角坐标系xoy中 点b与点a 1 1 关于原点o对称 p是动点 且直线ap与bp的斜率之积等于 求动点p的轨迹方程 解析 因为点b与点a 1 1 关于原点对称 得b点坐标为 1 1 1 本节学习了一种方法 直接法求曲线方程 2 直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程 因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系 3 求曲线方程时 五个步骤不一定要全部实施 如第二步