高中数学 1.4.11.4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差课件 北师大版必修3.ppt

4数据的数字特征4 1平均数 中位数 众数 极差 方差4 2标准差 1 平均数 中位数 众数 极差 出现次数 大小顺序 中 间 中间两个数 原数据 平均数 计算公式 最大值 最大值 最小值 最小值 2 标准差与方差 1 方差的求法 标准差的平方s2叫做方差 s2 其中 xn是样本数据 n是样本容量 是样本平均数 2 标准差的求法 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 s 1 判一判 正确的打 错误的打 1 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 2 平均数 众数 中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 3 极差不受极端值的影响 解析 1 错误 平均数不可能大于每一个数据 2 正确 从平均数 众数与中位数的含义知正确 3 错误 极差反映了一组数据变化的最大幅度 它受一组数据中的极端值的影响 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40 在一次考试中 男 女生平均分数分别是75 80 则这次考试该年级学生平均分数为 2 某射手在一次训练中射击的成绩分别为9 4 9 4 9 4 9 6 9 7 则该射手成绩的方差是 3 一个样本按从小到大的顺序排列为10 12 13 x 17 19 21 24 其中中位数为16 则x 解析 1 平均分数 75 80 78 答案 78 2 9 4 9 4 9 4 9 6 9 7 9 5 所以s2 9 4 9 5 2 9 4 9 5 2 9 4 9 5 2 9 6 9 5 2 9 7 9 5 2 0 016 答案 0 016 3 由题意知 16 即x 15 答案 15 要点探究 知识点1对平均数 中位数 众数 极差的理解极差 众数 中位数 平均数的比较 1 一组数据的平均数 中位数 极差都是唯一的 众数可能不唯一 2 求中位数时 应将数据按大小顺序排列 当数据个数是奇数时 中间的那个数据就是中位数 当数据个数是偶数时 居于中间两个数的平均数才是中位数 可见 中位数不一定是这组数据中的数值 3 众数是一组数据中出现次数最多的数据 而不是数据出现的次数 一组数据的众数可以有多个 4 平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系 任何一个数据的变动都会引起平均数的变动 众数的大小只与这组数据的部分数据有关 中位数也只与少数的数据有关 极差只与这组数据的最大值和最小值有关 知识拓展 极差 众数 中位数 平均数的作用 1 极差的大小可以反映该组数据分散的程度 众数体现了样本数据的最大集中点 但它忽视了数据信息中的其他数据 中位数是样本数据所占频率的等分线 它不受极端值的影响 平均数反映了一组数据的平均水平 易受极端值的影响 2 实际问题中求得的众数 中位数和平均数应带上单位 微思考 1 在极差 众数 平均数 中位数中哪些是一定出现在已知数据的数 哪些不一定出现在已知数据中 提示 众数一定出现在已知数据中 极差 平均数 中位数不一定出现在已知数据中 2 在极差 众数 平均数 中位数中哪些反映了该组数据的集中趋势 哪些反映了数据的分散程度 提示 众数 平均数 中位数都反映了数据的集中趋势 极差反映了数据的分散程度 即时练 1 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数分别是 a 91 5和91 5b 91 5和92c 91和91 5d 92和92 2 对甲 乙二人的学习成绩进行抽样分析 各抽4门功课 得到的观测值如下 问 甲 乙谁的平均成绩较好 解析 1 选a 中位数为 91 92 91 5 平均数为 87 89 90 91 92 93 94 96 91 5 2 65 82 80 85 78 75 65 70 90 75 知识点2对方差与标准差的理解标准差 方差的作用 1 标准差 方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 2 标准差 方差为0时 表明样本数据全相等 数据没有波动幅度和离散性 微思考 1 在解决实际问题时 一般采用方差还是标准差 提示 方差与原始数据的单位不同 且平方后可能放大了偏差的程度 所以在实际问题中一般采用标准差 2 在计算标准差时 若各样本数据加上或减去一个常数 标准差的值会变化吗 提示 不变 因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同一个常数 所以 xi 2的值不变 所以标准差不变 即时练 1 样本中共有5个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为1 则样本方差为 2 已知一个样本为x 1 y 5 其中x y是方程组的解 则这个样本的标准差是 解析 1 选d 由题可知样本的平均值为1 所以 1 解得a 1 所以样本的方差为 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 2 选d 因为x y 2 x2 y2 10 所以 x 1 y 5 x y 6 2 s2 x 2 2 1 2 2 y 2 2 5 2 2 x2 y2 4 x y 18 20 5 所以 题型示范 类型一众数 中位数 平均数的计算及应用 典例1 1 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试 得分 十分制 如图所示 假设所得分值的中位数为me 众数为m0 平均值为 则 a me m0 b me m0 c me m0 d m0 me 2 据报道 某公司的33名职工的月工资 以元为单位 如下 求该公司职工月工资的平均数 中位数 众数 假设副董事长的工资从5000元提升到20000元 董事长的工资从5500元提升到30000元 那么新的平均数 中位数 众数又是什么 精确到元 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法 解题探究 1 题 1 图中最高的直条对应的得分是哪个数字特征 2 题 2 中3000位于表格中央 3000是不是中位数 探究提示 1 是众数 最高的直条对应的频数是10 其得分为5分 5分是众数 2 3000不是中位数 应该将33个数从小到大排列 中间的数是中位数 中位数是1500 自主解答 1 选d 由图可知 30名学生的得分情况依次为 2个人得3分 3个人得4分 10个人得5分 6个人得6分 3个人得7分 2个人得8分 2个人得9分 2个人得10分 中位数为第15 16个数 分别为5 6 的平均数 即me 5 5 5出现的次数最多 故m0 5 于是得m0 me 2 平均数是 1500 591 2091 元 中位数是1500元 众数是1500元 平均数是 1500 1788 3288 元 中位数是1500元 众数是1500元 在这个问题中 中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大 这样导致平均数偏差较大 所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平 方法技巧 1 众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数 2 中位数的求法 1 把数据按从小到大的顺序排列 2 找出排列后位于中间位置的数据 即为中位数 若中间位置有两个数据 则求出这两个数据的平均数作为中位数 3 平均数的计算公式一组样本数据为x1 x2 xn 则样本平均数 x1 x2 xn 简记为 变式训练 高一 3 班有男同学27名 女同学21名 在一次语文测验中 男同学的平均分是82分 中位数是75分 女同学的平均分是80分 中位数是80分 1 求这次测验全班平均分 精确到0 01 2 估计全班成绩在80分以下 含80分 的同学至少有多少人 3 分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么 解析 1 利用平均数计算公式 82 27 80 21 81 13 分 2 因为男同学的中位数是75 所以至少有14人得分不超过75分 又因为女同学的中位数是80 所以至少有11人得分不超过80分 所以全班至少有25人成绩在80分以下 含80分 3 男同学的平均分与中位数的差别较大 说明男同学中两极分化现象严重 得分高的和得分低的相差较大 误区警示 刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数 中位数和众数等 它们作为一组数据的代表各有优缺点 也各有各的用处 从不同的角度出发 不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息 不同的统计量会侧重突出某一方面的信息 补偿训练 下表是某班40名学生参加 环保知识竞赛 的得分统计表 请参照这个表解答下列问题 1 用含x y的式子表示该班参加 环保知识竞赛 的班平均分f 2 若该班这次竞赛的平均分为2 5分 求x y的值 解题指南 第 2 问根据频数之和为40及平均数为2 5构造方程组求解 解析 1 f 2 依题意 有 类型二方差 标准差的计算及应用 典例2 1 某校甲 乙两个班级各有5名编号为1 2 3 4 5的学生进行投篮练习 每人投10次 投中的次数如下表 则以上两组数据的方差分别为 标准差分别为 2 甲 乙两支篮球队在联赛中 各进行10场比赛 得分如下 甲队 100 97 99 96 102 103 104 101 101 100 乙队 97 97 99 95 102 100 104 104 103 102 请计算甲 乙两队的方差与标准差 并判断哪支球队发挥更为稳定 解题探究 1 题 1 中 求方差和标准差的关键是什么 2 题 2 中 方差 标准差 与数据的稳定程度的关系是什么 探究提示 1 求方差和标准差的关键是先求平均数 再求方差 最后由方差求得标准差 2 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数 方差 标准差 越大 波动越大 稳定性越差 方差 标准差 越小 波动越小 稳定性越好 自主解答 答案 0 4 1 2 2 100 97 100 100 3 97 97 102 100 3 则s甲2 100 100 3 2 100 100 3 2 5 61 s乙2 97 100 3 2 102 100 3 2 9 21 所以甲队的标准差为s甲 2 37 乙队的标准差为s乙 3 03 由此可以判断甲队的得分方差小 标准差也相应较小 因此甲队在联赛中发挥更为稳定 方法技巧 1 方差的计算方法 1 一组样本数据x1 x2 xn的样本方差的计算公式是 2 用定义的公式计算方差的一般步骤 先求出样本平均数 再计算一组差 xi i 1 2 n 计算 中差的平方 得到一组新的数据 x1 2 x2 2 xn 2 计算 中这组新数据的平均数 即为所求的方差s2 即s2 2 标准差的计算方法 1 一组样本数据x1 x2 xn的标准差的计算公式是 2 计算标准差的一般步骤 先求出样本方差 再求出样本方差的算术平方根 即得样本标准差 变式训练 假定以下数据是甲 乙两个供货商的交货天数 甲 10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙 8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 估计两个供货商的交货情况 并问哪个供货商的交货时间短一些 哪个供货商的交货时间较具有一致性与可靠性 解题指南 直接利用平均数 方差的公式计算 然后通过比较平均数 方差的大小得出结论 解析 10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 10 1 天 10 10 1 2 9 10 1 2 10 10 1 2 10 10 1 2 11 10 1 2 11 10 1 2 9 10 1 2 11 10 1 2 10 10 1 2 10 10 1 2 0 49 8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 10 5 天 8 10 5 2 10 10 5 2 14 10 5 2 7 10 5 2 10 10 5 2 11 10 5 2 10 10 5 2 8 10 5 2 15 10 5 2 12 10 5 2 6 05 从交货天数的平均数来看 甲供货商的供货天数短一些 从方差来看 甲供货商的交货天数较稳定 因此甲供货商的交货时间较具有一致性与可靠性 补偿训练 2013 辽宁高考 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数 从全校随机抽取5个班级 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据 已知样本平均数为7 样本方差为4 且样本数据互不相同 则样本数据中的最大值为 解题指南 由样本方差得出五个数的平方和 再分析各数据 解析 设5个班级参加的人数分别为x1 x2 x3 x4 x5 则有 x1 7 2 x2 7 2 x3 7 2 x4 7 2 x5 7 2 4 即 x1 7 2 x2 7 2 x3 7 2 x4 7 2 x5 7 2 20 根据题意知 五个整数的平方和为20 则必有0 1 1 9 9 20 由 x 7 3 可得x 10或4 由 x 7 1可得x 8或6 故参加的人数分别为4 6 7 8 10 故最大值为10 答案 10 拓展类型 统计图表与数字特征的综合应用 备选例题 样本数为9的四组数据 他们的平均数都是5 条形图如图所示 则标准差最大的一组是 a 第一组b 第二组c 第三组d 第四组 解题指南 可以从频率条形图分别得到四组样本数据 计算出标准差 解析 选d 第一组中 样本数据都为5 数据没有波动幅度 标准差为0 第二组中 样本数据为4 4 4 5 5 5 6 6 6 标准差为第三组中 样本数据为3 3 4 4 5 6 6 7 7 标准差为第四组中 样本数据为2 2 2 2 5 8 8 8 8 标准差为故标准差最大的一组是第四组 方法技巧 处理统计图表与数字的综合应用问题的方法解决此类问题 一般有两种方法 1 由图形得到对应的样本数据 计算出平均数 方差 标准差 2 从图形直观分析样本数据的分布情况 大致判断平均数的范围 并利用数据的波动性大小反映方差 标准差 的大小 此点可称为方差 标准差 的几何意义 变式训练 2012 安徽高考 甲 乙两人