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一个有趣的极限董忠民(西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065)摘 要：引入一个新的数论函数，并利用解析方法，给出这个数论函数均值的一个较强的渐近公式以及一个有趣的极限公式。关键词：数论函数；极限；渐近公式中图分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2004)0079-041 引言及结论对任意正整数，定义函数如下：；对任意素数及正整数，定义，当正整数的标准分解式为时，定义。这样定义的数论函数显然是可乘的，但不是完全可乘函数。本文的主要目的是研究的均值性质，并给出一个较强的渐近公式，同时获得一个有趣的推论。定理1 对任意实数，有渐近公式其中：为Riemann Zeta函数；表示对所有素数求积；为任意给定的正数。由这一定理我们立刻得到下面的推论1如何给出这一极限的直接证明也是一个有意义的问题。2定理的证明为了完成定理的证明，我们先叙述一个简单的引理，即著名的Perron公式1 引理1 设。再设存在递增函数及函数，使得。那么，对任意的及，当及时有：1) 正整数时+ 其中是离最近的整数为半奇数时，取；2) =正整数时 + 这里，常数仅和有关。有了这个引理，我们容易给出定理证明。事实上对任意复数，设由Euler积公式(文献2中定理11.7)可得 其中为Riemann Zeta函数，并在处有1阶极点，留数为1，而在处有1阶极点，留数为在引理中取，可得将上式积分线移至处，于是取可得+这就完成了定理的证明。注意到时，以及于是在定理中取，并结合上式立刻得到推论中的极限。参考文献：1PAN Cheng-dong ,PAN Cheng-biao. Foundation of Analytic Number TheoryM. Beijing: Science Press, 1997.2APSTOL T M. Introduction to Analytic Number TheoryM. New York: Springer-Verlag, 1976. (编 辑曹大刚)An arithmetical function and its mean valueDONG Zhong-min(Department of Mathematics, Xian University of Arts and Science, Xian 710065, China)Abstract: A new arithmetical function is introduced, and an asymptotic formula on its mean value and a limit are given by analytic methods.Key words: arithmetical function; limit; asymptotic formula作 者 简 介董忠民，男，江苏盐城人，生于1963年7月，1985年毕业于西北大学数学系，现任西安文理学院副教授，陕西省数学学会理事。主要从事基础数学的教学与研究，近年来主讲的课程主要有高等数学、线性代数、线性规划、运筹学等；教学态度严谨，深受学生好评。在科研方面，主要从事初等数论的研究工作，曾参加过国家自然科学基金项目、