2025-2026年江苏省人教版高二数学第7章函数应用综合练习题

2025-2026年江苏省人教版高二数学第7章函数应用综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)由两个绝对值函数相加构成，根据绝对值三角不等式，|x-1|+|x+2|的最小值出现在x在[-2,1]区间内时取到，此时f(x)=1-(-2)=3，故选B。2.若函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)解析：函数g(x)的导数为g'(x)=1/(x+1)-1，令g'(x)≤0，解得x≤0，故g(x)在(-1,0]上单调递减，结合选项，选C。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2，则方程h(x)=0在区间[-2,2]上的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：h'(x)=3x²-6x，令h'(x)=0，解得x=0或x=2，h(-2)=-10，h(0)=2，h(2)=0，结合零点判定定理，方程在[-2,0)和(0,2]各有一个根，故选B。4.若函数F(x)=√(x²+1)-kx在区间[0,+∞)上单调递减，则实数k的取值范围是（）A.k≤1B.k≥1C.k≤0D.k≥0解析：F'(x)=x/(√(x²+1))-k，令F'(x)≤0，解得k≥x/(√(x²+1))，在[0,+∞)上，x/(√(x²+1))的最大值为1/√2，故k≥1，选B。5.已知函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极值，且f(0)=1，则f(x)的解析式为（）A.x²+x+1B.-x²+x+1C.-2x²+2x+1D.2x²-2x+1解析：由f(0)=1得c=1，f'(x)=2ax+b，令f'(1)=0，解得2a+b=0，结合选项验证，只有B选项满足，故选B。6.若函数φ(x)=e^x/(x+a)在x→+∞时极限为0，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a=0C.a<0D.a∈R解析：lim(e^x/(x+a))(x→+∞)=lim(e^x/x)•(1/(1+a/x))=0，需a<0，故选C。7.已知函数G(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)，则G(x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：G(x)=√2sinx，周期为2π，故选B。8.若函数μ(x)=xlnx-x²在区间(0,1)上取得最大值，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.a<1D.a∈R解析：μ'(x)=lnx-2x+1，令μ'(x)=0，解得x=e^(1/2)，在(0,e^(1/2))上单调递增，在(e^(1/2),1)上单调递减，故最大值在x=e^(1/2)处取得，此时a=e^(1/2)>1，选A。9.已知函数σ(x)=|x-1|+|x-2|，则σ(x)在区间[0,3]上的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数σ(x)在x=1时取得最小值1，在x=0或x=3时取得最大值3，故选C。10.若函数τ(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的值域为[-1,2]，则实数k的取值范围是（）A.k∈[-1,2]B.k∈(-1,2)C.k∈[-2,1]D.k∈(1,2]解析：τ(x)在[-1,3]上的值域为[-1,2]，需k的取值范围包含[-1,2]，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值为______。参考答案：2解析：f(x)在[1,3]上单调递增，最小值在x=1处取得，f(1)=2。2.若函数g(x)=√(x²+1)-kx在区间[0,+∞)上单调递减，则实数k的最小值为______。参考答案：1解析：见第4题解析。3.函数h(x)=x³-3x²+2的极值点为______和______。参考答案：0,2解析：h'(x)=3x²-6x，令h'(x)=0，解得x=0或x=2。4.函数F(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______。参考答案：(-1,0)解析：见第2题解析。5.函数σ(x)=|x-1|+|x-2|在区间[0,3]上的最大值为______。参考答案：3解析：见第9题解析。6.函数φ(x)=e^x/(x+a)在x→+∞时极限为0，则实数a的取值范围是______。参考答案：(-∞,0)解析：见第6题解析。7.函数G(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期为______。参考答案：2π解析：G(x)=√2sinx，周期为2π。8.函数μ(x)=xlnx-x²在区间(0,1)上取得最大值，则实数a的取值范围是______。参考答案：(1,+∞)解析：见第8题解析。9.函数τ(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的值域为[-1,2]，则实数k的取值范围是______。参考答案：[-1,2]解析：见第10题解析。10.函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极值，且f(0)=1，则b²-4ac的值为______。参考答案：0解析：由f(0)=1得c=1，f'(x)=2ax+b，令f'(1)=0，解得2a+b=0，即b=-2a，代入b²-4ac得(-2a)²-4a•1=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。参考答案：正确解析：见第1题解析。2.若函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(-1,0)。参考答案：正确解析：见第2题解析。3.函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-2,2]上的实根个数为3。参考答案：错误解析：见第3题解析，实根个数为2。4.若函数F(x)=√(x²+1)-kx在区间[0,+∞)上单调递减，则实数k的取值范围是k≥1。参考答案：正确解析：见第4题解析。5.已知函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极值，且f(0)=1，则f(x)的解析式为-x²+x+1。参考答案：正确解析：见第5题解析。6.若函数φ(x)=e^x/(x+a)在x→+∞时极限为0，则实数a的取值范围是a∈R。参考答案：错误解析：见第6题解析，需a<0。7.函数G(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期为π/2。参考答案：错误解析：见第7题解析，周期为2π。8.函数μ(x)=xlnx-x²在区间(0,1)上取得最大值，则实数a的取值范围是a∈R。参考答案：错误解析：见第8题解析，需a>1。9.函数σ(x)=|x-1|+|x-2|在区间[0,3]上的最大值为4。参考答案：错误解析：见第9题解析，最大值为3。10.若函数τ(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的值域为[-1,2]，则实数k的取值范围是k∈(1,2]。参考答案：错误解析：见第10题解析，需k∈[-1,2]。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最大值。参考答案：最大值为6解析：f(x)在[1,3]上单调递增，最大值在x=3处取得，f(3)=6。2.若函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围。参考答案：a∈(-1,0)解析：g'(x)=1/(x+1)-1，令g'(x)≤0，解得x≤0，结合a的取值，需a>-1且a<0。3.求函数h(x)=x³-3x²+2的拐点。参考答案：拐点为(1,0)解析：h''(x)=6x-6，令h''(x)=0，解得x=1，此时h(1)=0，故拐点为(1,0)。4.求函数F(x)=√(x²+1)-kx在区间[0,+∞)上单调递减时实数k的取值范围。参考答案：k≥1解析：F'(x)=x/(√(x²+1))-k，令F'(x)≤0，解得k≥x/(√(x²+1))，在[0,+∞)上，x/(√(x²+1))的最大值为1/√2，故k≥1。5.求函数σ(x)=|x-1|+|x-2|在区间[0,3]上的最小值。参考答案：最小值为1解析：分段函数σ(x)在x=1.5时取得最小值，σ(1.5)=1。6.求函数φ(x)=e^x/(x+a)在x→+∞时极限为0时实数a的取值范围。参考答案：a∈(-∞,0)解析：见第6题解析。7.求函数G(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的解析式。参考答案：G(x)=√2sinx解析：G(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)=√2sinx。8.求函数μ(x)=xlnx-x²在区间(0,1)上的最大值。参考答案：最大值为-1/4解析：μ'(x)=lnx-2x+1，令μ'(x)=0，解得x=e^(1/2)，μ(e^(1/2))=-1/4，结合边界，最大值为-1/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[1,3]上的值域。参考答案：值域为[2,6]解析：f(x)在[1,3]上单调递增，最小值f(1)=2，最大值f(3)=6，故值域为[2,6]。2.若函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，求g(x)在x=1时的值。参考答案：g(1)=-1解析：g(x)=ln(x+1)-x，g(1)=ln2-1=-1。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2，求h(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为10，最小值为-10解析：h(-2)=-10，h(0)=2，h(2)=0，h(-1)=-1，h(1)=0，故最大值为10，最小值为-10。4.若函数F(x)=√(x²+1)-kx在区间[0,+∞)上单调递减，求F(x)在x=1时的值。参考答案：F(1)=√2-k解析：F(x)=√(x²+1)-kx，F(1)=√2-k。5.已知函数σ(x)=|x-1|+|x-2|，求σ(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为3，最小值为1解析：σ(x)在x=1.5时取得最小值1，在x=0或x=3时取得最大值3。6.若函数φ(x)=e^x/(x+a)在x→+∞时极限为0，求φ(x)在x=1时的值。参考答案：φ(1)=e/(1+a)解析：φ(x)=e^x/(x+a)，φ(1)=e/(1+a)。7.已知函数G(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/π/4)，求G(x)在区间[0,π]上的值域。参考答案：值域为[-√2/2,√2/2]解析：G(x)=√2sinx，在[0,π]上，sinx的取值范围为[0,1]，故G(x)的值域为[-√2/2,√2/2]。8.已知函数μ(x)=xlnx-x²在区间(0,1)上取得最大值，求μ(x)在x=1/2时的值。参考答案：μ(1/2)=-7/8解析：μ(x)=xlnx-x²，μ(1/2)=-7/8。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+10x+100，其中x为产量，求当产量x=10时的边际成本。参考答案：边际成本为30解析：边际成本为C'(x)=2x+10，C'(10)=30。2.某商品的需求函数为p=50-2x，其中p为价格，x为销量，求当销量x=10时的总收益。参考答案：总收益为400解析：总收益为R(x)=px=50x-2x²，R(10)=400。3.某公司投资某项目的收益函数为R(t)=20t-0.1t²，求当时间t=20时的边际收益。参考答案：边际收益为18解析：边际收益为R'(t)=20-0.2t，R'(20)=18。4.某产品的成本函数为C(x)=x³-6x²+15x+50，求成本函数的拐点。参考答案：拐点为(2,66)解析：C''(x)=6x-12，令C''(x)=0，解得x=2，C(2)=66，故拐点为(2,66)。5.某商品的需求函数为p=100-3x，求当价格p=50时的需求弹性。参考答案：需求弹性为-1解析：需求弹性为Ed=-dp/dx•x/p=-(-3)•x/50=3x/50，当p=50时，x=50/3，Ed=-1。6.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+5x+100，求当产量x=10时的平均成本。参考答案：平均成本为15解析：平均成本为C(x)/x=x+5+100/x，C(10)/10=15。7.某商品的需求函数为p=80-4x，求当销量x=10时的边际收益。参考答案：边际收益为-40解析：边际收益为R'(x)=80-8x，R'(10)=-40。8.某公司的收益函数为R(t)=30t-0.05t²，求当时间t=20时的平均收益。参考答案：平均收益为25解析：平均收益为R(t)/t=30-0.05t，R(20)/20=25。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。参考答案：函数单调性的判定方法：（1）利用导数判定：若f'(x)≥0，则f(x)单调递增；若f'(x)≤0，则f(x)单调递减。（2）利用定义判定：若对于任意x₁<x₂，有f(x₁)≤f(x₂)，则f(x)单调递增；若f(x₁)≥f(x₂)，则f(x)单调递减。应用：（1）求函数的单调区间。（2）求函数的极值。（3）证明不等式。2.论述函数极值与最值的区别与联系。参考答案：区别：（1）极值是局部性质，最值是整体性质。（2）极值可能在边界处取得，最值不可能在边界处取得。联系：（1）最值是极值的一种特殊情况。（2）求最值时需比较极值与边界值。3.论述函数凹凸性的判定方法及其应用。参考答案：凹凸性判定方法：（1）利用二阶导数：若f''(x)>0，则f(x)凹；若f''(x)<0，则f(x)凸。（2）利用定义：若对于任意x₁<x₂，有f((x₁+x₂)/2)>(x₁f(x₂)+x₂f(x₁))/2，则f(x)凹；若f((x₁+x₂)/2)<(x₁f(x₂)+x₂f(x₁))/2，则f(x)凸。应用：（1）求函数的拐点。（2）判断函数的形状。4.论述函数零点存在性定理及其应用。参考答案：零点存在性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。应用：（1）判断方程的根。（2）求函数的零点。5.论述函数极限的几何意义及其计算方法。参考答案：几何意义：函数极限表示函数值无限接近某个常数。计算方法：（1）利用极限定义。（2）利用极限运算法则。（3）利用洛必达法则。6.论述函数连续性的判定方法及其应用。参考答案：连续性判定方法：（1）利用定义：若lim(x→a)f(x)=f(a)，则f(x)在x=a处连续。（2）利用导数：若f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处连续。应用：（1）判断函数的连续性。（2）求函数的极限。7.论述函数极值点的判定方法及其应用。参考答案：极值点判定方法：（1）利用导数：若f'(x₁)=0且f'(x)在x₁两侧变号，则x₁为极值点。（2）利用二阶导数：若f'(x₁)=0且f''(x₁)≠0，则x₁为极值点。应用：（1）求函数的极值点。（2）求函数的极值。8.论述函数最值的应用及其计算方法。参考答案：应用：（1）求函数的最值。（2）解决实际问题。计算方法：（1）求函数的极值。（2）比较边界值。9.论述函数凹凸