福建省福州市第六中学2015年高三上学期期末考试数学试卷（理）.doc

福建省福州市第六中学2015年高三上学期期末考试数学试卷（理）（满分：150分;完卷时间：120分钟） 第卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1 如图，复平面上的点到原点的距离都相等若复数所对应的点为，则复数的共轭复数所对应的点为（）ABCD第1题图2 已知，则的值是（）A2 BCD3 已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值第4题图若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）A8B15C29D36第5题图5 如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）ABCD6 已知函数的值域为，则函数的定义域为（）ABCD7 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（）ABCD8 的三个内角所对的边分别为. 若，则角的大小为（）A B C D9 若双曲线（）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A BC2D410 定义运算“”为：.若函数，则该函数的图象大致是（）ABCD11 已知的三个顶点的坐标分别为，为坐标原点，动点满足，则的最小值是（）A B C D12 已知直线与曲线没有公共点若平行于的直线与曲线有且只有一个公共点，则符合条件的直线（）A不存在B恰有一条C恰有两条D有无数条第卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上）13 若变量满足约束条件，则的最小值为14 已知，则中的所有偶数的和等于 15 已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点若点是线段的中点，则的周长为16. 若数列满足（），则称数列为凹数列已知等差数列的公差为，且数列是凹数列，则的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知等比数列的公比，是方程的两根（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和18.（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（）假定（）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数在同一半周期内的图象过点，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点（）试判断的形状，并说明理由第19题图（）若将绕原点按逆时针方向旋转角时，顶点恰好同时落在曲线上（如图所示），求实数的值20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用已知每服用（且）个单位的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中()若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？()若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求的最小值21.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为（）求抛物线的方程；（）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证：直线恒过某一定点；()分析()的条件和结论，反思其解题过程，再对命题()进行变式和推广请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）22.（本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数（）判断函数在内的零点的个数，并说明理由；（），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（）若，求证：福建省福州市第六中学2015年高三上学期期末考试数学试卷（理）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1C2B3A4A5B6D7B8C9C10D11B12C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，1314321516三、解答题：本大题共6小题，共74分17 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想解：（）方程的两根分别为1,2，1分依题意得，2分所以，3分所以数列的通项公式为 4分（）由（）知，5分所以，由得，8分即 ，11分所以 12分18本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等解法一：（）这3个人接受挑战分别记为、，则分别表示这3个人不接受挑战这3个人参与该项活动的可能结果为：，共有8种；2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，共有4种 3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4分（说明：若学生先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成,，,，不扣分）（）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为5分所以， 9分故的分布列为：012345610分所以故所求的期望为12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的， 所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为1分（）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则4分（）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以5分所以， 9分故的分布列为：012345 610分所以故所求的期望为 12分19本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想解法一：（）为等边三角形1分理由如下：因为函数，所以，所以函数的半周期为4，所以2分又因为为函数图象的最高点，所以点坐标为，所以，4分又因为坐标为，所以，所以为等边三角形 6分（）由（）知， 所以点,的坐标分别为,，7分代入，得，且，9分所以，结合，解得，11分所以，所以所求的实数的值为412分解法二：（）为等边三角形 1分理由如下：因为函数，所以，所以函数的半周期为4，所以，2分因为为函数的图象的最高点，所以点坐标为，所以，所以4分又因为直线的斜率，所以，所以为等边三角形 6分（）由（）知，所以点,的坐标分别为,，7分因为点,在函数的图象上，所以,8分所以,9分消去得， ，所以，所以，所以，10分又因为 ，所以，所以，11分所以所以所求的实数的值为412分解法三：（）同解法一或同解法二；（）由（）知，为等边三角形因为函数的图象关于直线对称，8分由图象可知，当时，点,恰在函数的图象上10分此时点的坐标为，11分所以，所以所求的实数的值为412分20 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等解：（I）因为，所以1分当时，由，解得，此时；3分当时，由，解得，此时5分综上所述，故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达小时6分（）当时，8分因为对恒成立，即对恒成立，等价于，9分令，则函数在是单调递增函数，10分当时，函数取得最大值为，11分所以，所以所求的的最小值为12分解法二：（）同解法一；（）当时，8分注意到及（且）均关于在上单调递减，则关于在上单调递减，10分故，由，得，11分所以所求的的最小值为12分21 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等解：（）依题意可设抛物线的方程为：（）1分由焦点为可知，所以2分所以所求的抛物线方程为3分（）方法一：设切点、坐标分别为，由（）知，则切线的斜率分别为，故切线的方程分别为，4分联立以上两个方程，得.故的坐标为，5分因为点在抛物线的准线上，所以，即6分设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以7分故的方程为，故直线恒过定点8分方法二：设切点、坐标分别为，设，易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为由，消去并整理得因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以，整理得，所以直线斜率为方程的两个根，故，4分另一方面，由可得方程的解为，所以5分假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，设该定点为，6分则所以，所以，整理得所以，所以7分所以直线过定点8分（）结论一：若点为直线（）上的任意一点，过点作抛物线（）的切线，切点分别为，则直线恒过定点12分结论二：过点（）任作一条直线交抛物线于两点，分别以点为切点作该抛物线的切线，两切线交于点，则点必在定直线上12分结论三：已知点为直线上的一点，若过点可以作两条直线与抛物线（）相切，切点分别为，则直线恒过定点12分说明：以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论；以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；该小题评分可对照以下表格分等级给分：得分答题情况0分写出与命题（）无关的结论 所给命题的条件与结论均存在问题1分将准线或抛物线改为其它特殊情况，结论正确.将准线或抛物线其中一个一般化，但结论中的定点（或定直线）有误2分写出命题的逆命题，结论正确.( 其它分点逆命题相应给分)将准线和抛物线都推广成一般情况，但结论中的定点（或定直线）有误3分将准线和抛物线其中一个推广成一般情况，结论正确将准线和抛物线都推广成一般情况，但中漏写一个或两个4分将准线和抛物线都推广成一般情况，结论正确22本题主要考查函数的零点、函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等解：（）函数在上的零点的个数为11分理由如下：因为，所以2分因为，所以，所以函数在上是单调递增函数3分因为，根据函数零点存在性定理得函数在上的零点的个数为14分（）因为不等式等价于，所以 ，使得不等式成立，等价于，即6分当时，故在区间上