浅析04—08年高考解答题中数列问题.doc

浅析0408年高考解答题中数列问题 横车高中 陈 波纵观近几年各地高考数学试题，分析04-08湖北大题中数列这一章节知识。下面我就从题型及内容的角度，谈谈这章在二轮复习中应涉及的问题。回顾湖北考题：04年22题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法。05年22题查数列极限、不等式的综合应用以及归纳递推。06年17和07年21题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式。08年21题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力。基本是以数列和不等式为主线，证明、归纳、探求、推理问题。我们可以得出综合型的题目在数列中考查比较多，主要是在数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点处命题，此类题综合性强，需要灵活运用数学思想方法和基础知识去分析问题和解决问题。一：数列与不等式的交汇 这类题是近几年高考中综合题常考的热点模式，在解题过程中多与做差比较法、均值不等式、绝对值不等式、放缩法等联系密切。如： 07重庆（理）T21第二问， 07江西（理）T22 , 06上海T1907 湖北（理）T21 ，07全国卷二T21例 (08湖北.理21)已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【参考答案】（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn 又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）评注：本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力。预测练习：数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当二：数列与数学归纳法数学归纳法是一种适用于证明与自然数有关的命题的方法，而数列里面的项数就是自然数，因而用它去处理数列的问题就很自然的了，特别是用它去证不等式，有时放缩法等其他方法较难奏效，不太好想，这时用就数学归纳法不失为一种捷径了。如： 07天津(理)T21. 05重庆(理)T22, 06全国卷（）T22例（07湖北理21）已知为正整数，1）用数学归纳法证明：当时，；2）对于，已知，求证：，其中；3）求出满足等式的所有正整数。【参考答案】解法1：（）证：用数学归纳法证明：当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（）证：当时，由（）得，于是，（）解：由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有评注：题（1）考查了数学归纳法的使用，有利引导学生重视数学思想方法的形成；（2）、（3）问着眼于能力的整合与知识的联系，能力成递进形式，区分度好，会让优秀学生脱颖而出。预测练习：已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，三：数列与函数、导数的交汇其一：数列本身就是一类特殊的函数，其二：只要将函数中的自变量x用数列，函数f(x) 用f（）来表示的话，数列就可以和函数天衣无缝的结合在一起了，再者：函数又有图像，也就很容易与其切线、切线的斜率（即函数的导数）结合了。如：04天津（理）T21, 07广东（理）T21, 06湖北（理）T17, 06浙江（理）T20, 07辽宁(理)T21，06安徽（理）T20, 06四川(理)T22例：06湖北(理)T17：已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；【参考答案】（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.预测练习：已知函数.（）设是正数组成的数列，前n项和为，其中.若点(nN*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；（）求函数在区间内的极值.四：数列与解析几何的交汇只要将曲线上的点的坐标用点列来表示，那么数列就可以和解析几何联系起来了，这类题在解答时一般要联系曲线的几何性质。如：06重庆（理）T22, 05浙江(理)T20, 04上海（理）T22, 04湖南（理）T22, 06江西（理）T22, 05江西（理）T21， 06全国卷二（理）例：在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.求点的坐标；子设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求： 【参考答案】（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=练习：已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点令，1。求证：数列是等比数列2 .求数列的前项和为总之，有关数列的题型较多，也很容易和其它知识交汇命题，是代数综合题的一大亮点， 对于学生而言又往往是较难得分多的题目，因而我们在二轮复习中要加强练习，让学生即使见了生题，也不恐慌，能以不变应万变，这才是我们的真正目的。09年高考数列命题