高考数学 第三章 第三节 正弦、余弦、正切函数的图象与性质课件 理 苏教版.ppt

第三节正弦 余弦 正切函数的图象与性质 1 周期函数及最小正周期 1 周期函数 指的是对于函数f x 如果存在一个非零的常数t 使得定义域内的每一个x值都满足 t为它的一个周期 2 最小正周期 若在所有周期中 有一个 则这个 叫做f x 的最小正周期 3 特殊函数的周期 函数y asin x 0 和y acos x 0 的周期都是 f x t f x 最小的正数 最小的正数 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 r r 1 1 1 1 x x r且x k k z r 2k 2k 2k 2k 2k k z 2k k z 1 k 0 k z x k k z 2 2 k 0 k z 0 k z x k k z 判断下面的结论是否正确 请在括号中打 或 1 常数函数f x a是周期函数 它没有最小正周期 2 y sinx在x 0 上是单调增函数 3 y cosx在第一 二象限上是单调减函数 4 y tanx在整个定义域上是单调增函数 5 函数y sinxcosx是r上的奇函数 6 y tan2x的最小正周期为 解析 1 正确 由周期函数的定义 对任意非零实数b 都有f x b a 故任意非零实数都是f x 的周期 故没有最小正周期 2 正确 由y sinx在上递增 知f x sinx在 0 上是单调增函数 3 错误 y cosx在 2k 2k k z 上递减 但不能说在第一 二象限内递减 4 错误 y tanx在上递增 但在整个定义域上并不单调 5 正确 f x sin x cos x sinxcosx f x 由奇函数定义可知f x sinxcosx是r上的奇函数 6 错误 由知y tan2x的最小正周期为答案 1 2 3 4 5 6 1 下列函数中 在上是单调减函数的是 y sinx y cosx y sin2x y cos2x 解析 由y sinx在上是单调减函数 而题中故y sinx在上也是单调减函数 由y cosx在 0 上是单调减函数 故y cosx在上也是单调减函数 由得 x 2 y sin2x在2x 2 时不单调 y cos2x在上是单调增函数 故 在上是单调减函数 答案 2 函数y cos 2x 的图象的对称轴方程是 解析 由得 答案 3 函数f x tan x 0 的图象与直线y a相交的相邻两交点间距离是 则 解析 由相邻交点间距离是 知f x 的周期是 由 2 f x tan2x 答案 4 函数y sin x 的单调减区间是 解析 由得故函数的单调减区间是答案 5 函数的定义域是 解析 由题意知tan x 0 即tan x 0 即 答案 6 若直线y a与函数y sinx x 2 2 的图象有4个交点 则a的取值范围是 解析 如图所示 若y sinx与y a有4个交点 则 1 a 1 答案 1 a 1 考向1三角函数的定义域和值域 典例1 1 函数的定义域为 2 函数的定义域为 3 函数y lgsin cosx 的定义域为 4 当时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 思路点拨 1 结合单位圆或余弦函数的图象求解 2 tanx 1 且x k k z 3 要使sin cosx 0 这里的cosx以它的值充当角 4 利用同角三角函数关系式转化成关于sinx的二次函数求解 规范解答 1 由题意可得cosx 0 即cosx 如图可知 角的终边落在与之间的阴影部分 包括边界 故答案 2 由tanx 1 且x k k z得x k 且x k k z 所以函数的定义域为 x x k 且x k k z 答案 x x k 且x k k z 3 由sin cosx 0 2k cosx 2k k z 又 1 cosx 1 0 cosx 1 故所求定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 4 因为y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1所以当时 当sinx 1或时 答案 2 互动探究 本例 4 中若将cosx用sinx代替 sinx用cosx代替 又将如何求解 解析 由所以 1 cosx y 3 cosx 2sin2x 2cos2x cosx 1 当时 当cosx 1时 ymax 4 拓展提升 1 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域的不同求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 变式备选 1 函数的定义域为 解析 由2sinx 1 0得sinx 又sinx 1 sinx 1 答案 2 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 设 t 1 2 1 当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 考向2三角函数的单调性 典例2 求下列函数的单调区间 1 y sin 2x 2 y tanx 3 y log2cos 2x 思路点拨 1 利用诱导公式将x的系数化成正值 再利用正弦函数的单调区间求解 2 利用数形结合法求解 3 利用复合函数的单调性求解 规范解答 1 原函数可化为故所求函数的增区间是y sin 2x 的减区间 由得所求函数的减区间是y sin 2x 的增区间 由得 故所求函数的增区间为减区间为 2 作出函数y tanx 的图象如图 可知所求函数的增区间是 k k k z 减区间是 k k k z 3 由复合函数的单调性可知 所求函数的增区间即为y cos 2x 的增区间 由得所求函数的减区间即为y cos 2x 的减区间 由得故所求函数的增区间是减区间是 拓展提升 三角函数的单调区间的两种求法 1 代换法所谓代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 2 图象法函数的单调性表现在图象上是 从左到右 图象上升趋势的区间为单调递增区间 图象下降趋势的区间为单调递减区间 如果能画出三角函数的图象 那它的单调区间就直观明了了 提醒 求解函数的单调区间时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 变式训练 已知函数y sin x在区间上是减函数 则 的取值范围是 解析 由题意可知 0 由得 又 函数在区间上为减函数 解得答案 考向3三角函数的奇偶性 周期性及对称性 典例3 1 2012 福建高考改编 函数f x sin x 的图象的对称轴是 2 已知函数f x 2sin x 对于任意x都有f x f x 则f 3 2013 扬州模拟 设函数y sin 2x 则下面五个结论 图象关于点 0 对称 图象关于点 0 对称 在 0 上是增函数 在 0 上是增函数 函数是r上的奇函数 其中正确结论的编号为 思路点拨 1 利用y sinx的对称轴求解 2 利用已知条件得函数对称轴从而获解 3 依据正弦函数的图象及单调性 周期性以及对称性逐一判断 规范解答 1 由得 答案 2 由f x f x 得x 是f x 的一条对称轴 故f 是函数的最大值或最小值 即为2或 2 答案 2或 2 3 当x 时 y sin 0 f x 的图象关于 0 成中心对称 故 错误 正确 由得 即当时 y递增 故y在上是递增的 故 正确 y在上是递增的 在上是递减的 故 错误 f x f x 函数不是奇函数 故 错 答案 互动探究 本例 2 中若再增加条件则 的值如何求解 解析 由得 4 故又故即又k z k 0 拓展提升 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性 也可以根据图象判断 2 求三角函数周期的三种常用方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期为y tan x 的最小正周期为 3 利用图象 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图象既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图象只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心 并注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间 变式备选 设函数f x sin x 0 给出以下四个论断 它的最小正周期为 它的图象关于直线成轴对称图形 它的图象关于点 0 成中心对称图形 在区间 0 上是增函数 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示即可 解析 若 成立 则令2 k k z 且 故k 0 此时f x sin 2x 当x 时 sin 2x sin 0 f x 的图象关于 0 成中心对称 又f x 在上是增函数 f x 在 0 上也是增函数 因此 用类似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 易错误区 整体思想不清而致误 典例 2012 山东高考改编 函数的最大值与最小值之和等于 误区警示 本题易出现的错误是不能把看作一个整体角 利用三角函数的性质 导致函数的最值求错 规范解答 因为0 x 9 所以所以所以所以所以函数的最大值与最小值之和为答案 思考点评 求值域或最值的关键点已知自变量的范围求三角函数的值域 关键是整体代换思想的应用 因而对整体角的范围求解成为重中之重 正确利用不等式的性质是关键 否则会产生错解 有范围后 利用单位圆或三角函数图象即可求值域或最值 1 2013 南通模拟 已知x r f x 为sinx与cosx中的较小者 设m f x n 则m n 解析 由正弦函数与余弦函数的图象可知f x 的图象如图所示 由f x 的图象可得 m 1 n 故m n 1 答案 1 2 2012 天津高考改编 将函数f x sin x 其中 0 的图象向右平移个单位长度 所得图象经过点 0 则 的最小值是 解析 函数f x sin x 其中 0 的图象向右平移个单位长度 得到函数f x sin x 其中 0 将 0 代入得f x sin 0 故得 的最小值是2 答案 2 3 2012 山东高考改编 设命题p 函数y sin2x的最小正周期为 命题q 函数y cosx的图象关于直线x 对称 则下列判断不正确的是 p为真 为假 p q为假 p q为真 解析 函数y sin2x的最小正周期为所以命题p假 函数y cosx的图象关于直线x k k z 对称 所以命题q假 为真 p q为假 p q为假 答案 4 2012 新课标全国卷改编 已知 0 0 直线x 和是函数f x sin x 图象的两条相邻的对称轴 则 解析 由题意可知函数f x 的周期故 1 f x sin x 令x k k z 将x 代入可得 k 0 答案 5 2013 扬州模拟 函数的最大值及最小正周期分别为 解析 故故故最大值为1 最小正周期为 答案 1 1 如果函数f x sin2x acos2x的图象关于直线x 对称 则实数a的值为 解析 由题意可知 f