高考数学 第二章 第七节 函数的图像课件 文 北师大版.ppt

第七节函数的图像 1 利用描点法作函数图像其基本步骤是 描点 具体为 首先 确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 其次 列表 尤其注意特殊点 零点 最大值点 最小值点 与坐标轴的交点 最后 描点 连线 列表 连线 2 函数的图像变换 1 平移变换 f x k f x h f x h f x k 2 对称变换 y f x y y f x y y f x y y ax a 0且a 1 y 关于x轴对称 f x 关于y轴对称 f x 关于原点对称 f x 关于y x对称 logax a 0且a 1 3 翻折变换 y f x y y f x y 4 伸缩变换 y f x y y f x y 保留x轴上方图像 将x轴下方图像翻折上去 f x 保留y轴右边图像 并作其 关于y轴对称的图像 f x a 1 横坐标缩短为原来的倍 纵坐标不变 0 a 1 横坐标伸长为原来的倍 纵坐标不变 f ax a 1 纵坐标伸长为原来的a倍 横坐标不变 0 a 1 纵坐标缩短为原来的a倍 横坐标不变 af x 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 当x 0 时 函数y f x 与y f x 的图像相同 2 函数y af x 与y f ax a 0且a 1 的图像相同 3 函数y f x 与y f x 的图像关于原点对称 4 若函数y f x 满足f 1 x f 1 x 则函数f x 的图像关于直线x 1对称 解析 1 错误 例如函数y log2x 与y log2 x 当x 0时 它们的图像不相同 2 错误 函数y af x 与y f ax 分别是对函数y f x 作了上下伸缩和左右伸缩变换 故函数图像不同 3 错误 函数y f x 与y f x 的图像关于x轴对称 4 正确 点 1 x y 与 1 x y 关于直线x 1对称 且有f 1 x f 1 x 从而图像关于直线x 1对称 答案 1 2 3 4 1 函数y x x 的图像大致是 解析 选a 故选a 2 当0 a 1时 在同一坐标系中 函数y a x与y logax的图像是 解析 选c 由0 a 1知 故选c 3 函数y f x 为偶函数 则函数y f x 1 的一条对称轴是 解析 y f x 的图像关于x 0对称 又y f x y f x 1 y f x 1 的一条对称轴为x 1 答案 x 1 左移 一个单位 4 若关于x的方程 x a x只有一个解 则实数a的取值范围是 解析 在同一个坐标系中画出函数y x 与y a x的图像 如图所示 由图像知 当a 0时 方程 x a x只有一个解 答案 0 考向1作函数的图像 典例1 画出下列函数的图像 1 y log2 x 1 2 3 4 y x2 2 x 1 思路点拨 对于 1 2 可通过图像变换画出函数的图像 对于 3 可先化简解析式 分离常数 再用图像变换画图 对于 4 可先去掉绝对值号化成分段函数 再分段画出函数的图像 规范解答 1 将函数y log2x的图像向左平移一个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图像 如图 2 作出函数的图像 保留图像中x 0的部分 加上的图像中x 0部分关于y轴的对称部分 即得的图像 如图实线部分 3 原函数解析式可化为故函数图像可由图像向右平移1个单位 再向上平移2个单位得到 如图 4 且函数为偶函数 先用描点法作出 0 上的图像 再根据对称性作出 0 上的图像 得图像如图 拓展提升 作函数图像的三个方法 1 直接法 当函数解析式 或变形后的解析式 是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的一部分 时 就可根据这些函数的奇偶性 周期性 对称性或曲线的特征直接作出 2 图像变换法 若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移 翻折 对称和伸缩得到 可利用图像变换作出 但要注意变换顺序 对不能直接找到熟悉函数的 要先变形 同时注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 3 描点法 当上面两种方法都失效时 则可采用描点法 为了通过描少量点 就能得到比较准确的图像 常常需要结合函数的单调性 奇偶性等性质进行分析 提醒 当函数解析式是较复杂的高次 分式 指数 对数及三角函数式时 常借助于导数探究图像的变化趋势从而画出图像的大致形状 变式训练 分别画出下列函数的图像 1 y lgx 2 y 2x 2 3 4 y log2x 1 解析 1 函数y lgx 的图像如图 1 2 将函数y 2x的图像向左平移2个单位即可得到函数y 2x 2的图像 如图 2 3 可见原函数图像可由图像向左平移3个单位 再向上平移1个单位得到 如图 3 4 先作出y log2x的图像 再将其图像向下平移一个单位 保留x轴上方的部分 将x轴下方的图像翻折到x轴上方 即得y log2x 1 的图像 如图 4 考向2识图与辨图 典例2 1 已知y f 2x 1 是偶函数 则函数y f 2x 的图像的对称轴是 a x 1 b x 1 c d 2 2013 安庆模拟 函数f x g x 的图像如图 则函数y f x g x 的图像可能是 3 2012 山东高考 函数的图像大致为 思路点拨 1 根据图像平移或根据偶函数的定义求解 2 从函数f x g x 的奇偶性和定义域两方面判断 3 利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解 规范解答 1 选d 方法一 函数y f 2x 1 的图像是由函数y f 2x 的图像沿x轴方向向左平移个单位得到的 又y f 2x 1 是偶函数 其图像关于y轴对称 所以函数y f 2x 的图像关于直线对称 方法二 y f 2x 1 是偶函数 f 2x 1 f 2x 1 f 1 x f 1 x 故函数y f x 的图像关于直线x 1对称 函数y f 2x 的图像关于直线对称 2 选a 由函数f x g x 的图像可知 f x g x 分别是偶函数 奇函数 则f x g x 是奇函数 可排除b 又 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图像不经过坐标原点 可以排除c d 故选a 3 选d f x 是奇函数 其图像关于原点对称 排除选项a 当x从正方向趋近0时 趋近 排除选项b 当x趋近 时 趋近0 排除选项c 故选d 互动探究 若本例题 1 中 函数y f 2x 1 是 偶函数 改为 奇函数 则函数y f 2x 的图像关于下列哪个点成中心对称 a 1 0 b 1 0 c d 解析 选c y f 2x 1 是奇函数 f 2x 1 的图像关于原点 0 0 对称 又f 2x 的图像可由f 2x 1 的图像向右平移个单位得到 y f 2x 的图像关于点成中心对称 拓展提升 知式选图的方法 1 从函数的定义域 判断图像左右的位置 从函数的值域 判断图像上下的位置 2 从函数的单调性 有时可借助导数判断 判断图像的变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图像的对称性 4 从函数的周期性 判断图像的循环往复 5 从函数的极值点 判断图像的拐点 利用上述方法 排除 筛选错误与正确的选项 提醒 注意联系基本函数图像的模型 当选项无法排除时 代特殊值 或从某些量上寻找突破口 变式备选 定义在r上的偶函数f x 的部分图像如图所示 则在 2 0 上 下列函数中与f x 的单调性不同的是 a y x2 1 b y x 1 c d 解析 选c 由奇偶性知函数f x 在 2 0 上的图像如图所示 则知f x 在 2 0 上为减少的 而y x2 1 y x 1和由其图像知在 2 0 上均为减少的 又y x3 1 x0 故y x3 1在 2 0 上为增加的 与f x 的单调性不同 故选c 考向3函数图像的应用 典例3 已知函数f x x m x x r 且f 4 0 1 求实数m的值 2 作出函数f x 的图像并判断其零点个数 3 根据图像指出f x 递减的单调区间 4 根据图像写出不等式f x 0的解集 5 求集合m m 使方程f x m有三个不相等的实根 思路点拨 先由f 4 0 求得函数解析式 再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图像 进而应用图像求解 2 3 4 5 四个小题 规范解答 1 f 4 0 4 m 4 0 即m 4 2 f x x m x x 4 x 函数f x 的图像如图 由图像知f x 有两个零点 3 从图像上观察可知 f x 递减的单调区间为 2 4 4 从图像上观察可知 不等式f x 0的解集为 x 04 5 由图像可知若y f x 与y m的图像有三个不同的交点 则0 m 4 集合m m 0 m 4 拓展提升 1 利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图像研究 但一定要注意性质与图像特征的对应关系 2 利用函数的图像研究方程根的个数当方程与基本函数有关时 可以通过函数图像来研究方程的根 方程f x 0的根就是函数f x 图像与x轴的交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图像的交点的横坐标 3 利用函数的图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时 常将不等式问题转化为两函数图像的上 下关系问题 从而利用数形结合求解 变式训练 2013 乌鲁木齐模拟 已知函数y f x 的周期为2 当x 1 1 时f x x2 那么函数y f x 的图像与函数y lgx 的图像的交点共有 a 10个 b 9个 c 8个 d 1个 解析 选a 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下 当x 10时 lg10 1 当1 x 10时 lgx 1 当0 x 1时 lgx 0 当x 10时 lgx 1 结合图像知y f x 与y lgx 的图像交点共有10个 易错误区 图像变换不对或识图方法不当致误 典例 2012 湖北高考 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图像如图所示 则y f 2 x 的图像为 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 由y f x 的图像到y f 2 x 的图像平移变换不当 得不到正确答案 2 识图方法不恰当 不能恰当选择特殊点 导致不能选择正确结论 规范解答 选b 方法一 图像变换法 y f x y f x y f 2 x y f 2 x 方法二 特殊点法 当x 0时 f 2 x f 2 1 当x 1时 f 2 x f 1 1 观察各选项 可知应选b 关于y轴 对称 向右平移 2个单位 关于x轴 对称 思考点评 识图辨图的常用方法 1 图像变换法 若图像可用图像变换法作出 可直接作出函数的图像求解 2 特殊点法 根据特殊点的函数值或其符号来判断 根据需要 特殊点可能需要多个 有时还要考虑函数值的变化趋势 3 导数法 若函数解析式的导数易求 可求导 通过函数的极值点及图像的变化趋势确定函数的图像 1 2012 四川高考 函数y ax a a 0 且a 1 的图像可能是 解析 选c 利用指数函数图像及平移变换求解 方法一 令y ax a 0 得x 1 即函数图像必过定点 1 0 符合条件的只有选项c 方法二 当a 1时 y ax a是由y ax向下平移a个单位 且过 1 0 a b不合适 当0 a 1时 y ax a是由y ax向下平移a个单位 因为0 a 1 d不合适 2 2013 西安模拟 函数f x lg x 1 的大致图像是 解析 选b 当x 1 2 时 0 x 1 1 则lg x 1 0 故选b 3 2013 商洛模拟 如图 1 是反映某条公共汽车线路收支差额 即营运所得票价收入与付出成本的差 y与乘客量x之间关系的图像 由于目前该条公交线路亏损 公司有关人员提出了两种调整的建议 如图 2 3 所示 给出以下说法 图 2 的建议是 提高成本 并提高票价 图 2 的建议是 降低成本 并保持票价不变 图 3 的建议是 提高票价 并保持成本不变 图 3 的建议是 提高票价 并降低成本 其中所有正确说法的序号是 a b c d 解析 选c 对于图 2 当x 0时 函数值比图 1 中的大 表示成本降低 两直线平行 表明票价不变 故 正确 对于图 3 当x 0时 函数值不变表示成本不变 当x 0时 函数值增大表明票价提高 故 正确 4 2013 杭州模拟 已知函数则对任意x1 x2 r 若0 x1 x2 下列不等式成立的是 a f x1 f x2 0 b f x1 f x2 0 c f x1 f x2 0 d f x1 f x2 0 解析 选d 函数f x 的图像如图所示 且f x f x 从而函数f x 是偶函数 且在 0 上是增函数 又0 x1 x2 f x2 f x1 即f x1 f x2 0 5 2012 天津高考 已知函数的图像与函数y kx的图像恰有两个交点 则实数k的取值范围是 解析 函数可表示为图像为如图所示的实线部分 数形结合可知 要使两函数图像有两个交点 则k 0 1 1 2 答案 0 1 1 2 1 函数y f x 的图像如图所示