数学华东师大版七年级下册几何中的最值问题

几何中的最值问题教学目标1.了解中考数学问题中最值的求解方法。2.会求中考数学问题中的最值。3.培养学生的数学分析、思维能力和解决问题能力。教学重、难点会求中考数学问题中的最值教学过程一、创设情境，导入新课唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军营视察，显然有许多走法那么应该怎样走才能使路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完整的回答这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题 事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路我们把这类求近道的问题统称最短线路问题另外，从某种意义上说，一笔画问题也属这类问题看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，同样在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，也是我们要讨论的最值问题。二、合作交流，探究新知最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。（2）运用代数证法： 运用配方法求二次函数或二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。解决问题：如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线取A关于河岸的对称点A，连结AB，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的 如果将军在河边的另外任一点C饮马，所走的路程就是AC+CB， 但是，AC+CBAC+CBABAC+CBAC+CB 可见，在C点外任何一点C饮马，所走的路程都要远一些 这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA的中垂线，所以 AD=AD。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于AC+BC， 而两点确定一条直线，所以C点即为所求。 变式：若A、B两点分别在河流L的两侧，在河流L上取一点P使最大。三、指导应用，鼓励创新例1、（2012安溪县质检）如图，在边长是5的菱形ABCD中，DEAB于点E，BE=2，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是 解：四边形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，点B关于AC的对称点为D，FD=FB，FE+FB=FE+FDDE只有点F运动到点F时取等号，DEAB，AED是直角三角形，AB=5，BE=2，AE=AB-BE=3，DE=，EF+BF的最小值是DE=4 例2、（2003年第14届希望杯）如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于 解：延长AB交MN于点P，PA-PB=AB，AB|PA-PB|，当点P运动到P点时，|PA-PB|最大，BD=5，CD=4，AC=8，过点B作BEAC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，AB=|PA-PB|=5为最大图1例3、（2009漳州）几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA+PB=AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为 ；解：（1）在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，点B、D关于AC对称，连结ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，E为AB的中点，DAB=60，DEAB，ED=，EF+BF的最小值为.（2）作A关于OB的对称点A，连结AC，交OB于P，PA+PC的最小值即为AC的长，AOC=60AOC=120作ODAC于D，则AOD=60OA=OA=2 AD=AC；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连结OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连结PR、PQ，此时PQR周长的最小值等于MN由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB=POB，MON=2AOB=245=90，在RtMON中，MN=即PQR周长的最小值等于四、巩固练习、深化知识1.（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点图1图3图2（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标解：（1）如图1，作点D关于x轴的对称点D，连结CD与x轴交于点E，连结DE若在边OA上任取点E与点E不重合（如图2），连结CE、DE、DE由DE+CE=DE+CECD=DE+CE=DE+CE，可知CDE的周长最小在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，BC=3，DO=DO=2，DB=6，OEBC， RtDOERtDBC，有 点E的坐标为（1，0）；（2）如图3，作点D关于x轴的对称点D，在CB边上截取CG=2，连接DG与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，GCEF，GC=EF，四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，又DC、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小OEBC， RtDOERtDBG，有OFOE+EF点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）2. （1999广西）如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=毫米（1）求证：；（2）当与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？(删掉)（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而、的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值（1） 证明：根据已知条件易知：PNBC，AEPN，PN=QM=y，DE=MN=x，APNABC 从而有即 （2）解：设矩形PQMN的面积为S，则S=xy（5分）即当x=40时，S有最大值为2400，此时y=x=40mm，y=60mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米五、归纳小结，布置作业例1、（2011年晋江质检26）如图，菱形的边长为，、动点、同时从点 出发，其中点以的速度，沿的路线向点运动；点以的速度，沿的路线向点运动当、到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为秒（1）直接填空：，（用含的代数式表示，其中05）；（2）若点关于菱形的对角线交点的对称点为，过点且垂直于Ol的直线 交菱形的边（或）于点当t为何值时，的值最小？当t为何值时，的面积有最大值，此时最大值是多少？解：（1），（2）当点、在同一直线上时，的值最小. 如图，在中，易知，又， .由得：，解得O当时，的值最小如图1，若时，则，则，又，又，即，当时，有最大值.若时，则，O则，又，又，即当时，有最大值.综上，当或时，的最大值都是.例2、（2010年晋江质检25）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.(1)试直接写出点的坐标；(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.若以、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.解：(1)依题意得：；(2) ，.抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点 解得：抛物线的解析式为.点在抛物线上，设点.1)若，则， ，解得：(舍去)或，点.2)若，则