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现代控制理论基础讲义 第二章 状态方程的解Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻时，初始状态为的条件下，对该系统施加控制，求出系统状态的变化，即求解非齐次方程（）初值问题的解： 或者在系统不加控制，（称为自由系统）的条件下，求出初值对系统状态的影响，即求解齐次方程初值问题的解： 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1 阶、线性、定常（）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）， 其解为 对齐次状态方程（矩阵方程） ，很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到阶线性、定常、连续系统齐次（）状态方程的解 定义矩阵指数：，它仍是一个矩阵。若初始时间为，则状态方程的解为 称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。物理意义：将系统从初始状态转移到（时刻的）状态。2.1.2 矩阵指数的性质（1） 称为频域求法或叫变换法；（2） ； （3） ； （4） ；（5） 若矩阵满足交换律，则有（、可交换的充要条件是为反称矩阵，称为对称矩阵，称为反称矩阵）对称矩阵；反称矩阵（6） ； （7） ；（8） 设是与同阶的非奇异矩阵，则有； 图2-1 状态的传递性P31（9） 传递性：对任意满足，有。这表明状态轨线由时刻的转移到时刻的等于由时刻的转移到时刻的，再由时刻的转移到时刻的(参见图2-1)，故称为状态转移矩阵。这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。 而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设去计算系统的响应。2.1.3 矩阵指数的计算方法（1） 定义法求 这种方法很适合计算机求（级数）数值解，由于的存在，可以取到任意精度，但不易求解析解，只有在是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。幂零矩阵：存在某一正整数，使得称为次“幂零矩阵”。为幂零矩阵的“充要条件”是的所有特征值为零：， 特例：为数字矩阵，即例2-1：，3次“幂零矩阵”（2） 法求，但当阶数较高时，求解较困难。下面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式。计算顺序是： 注意：为矩阵之迹，即矩阵对角线元素之和；当时，计算必有误。例2-2 ()已知，求。解：用法捷耶夫法计算取，; ，结果相同。（3） （凯莱哈密尔顿）法求将展开成矩阵的多项式，然后根据的特征值情况求出展开系数。是待定系数，问题的关键是求出待定系数。（3a）先求出的特征值，当有个不同特征值情况下，可以用如下方法求展开系数 写成分列式：这里共有个方程，可以唯一确定个待定系数。（3b）先求出的特征值，当有个单特征值，个重特征值，重数分别为情况下，可用如下方法求系数， ，对单根情况，按（3a）方法求解待定系数。但在重根情况下，我们不能得到相应个数的独立方程，不能求出待定系数。先固定一个重特征值，满足的方程有一个，再对求次导数得到个方程，这样一共得到个独立的方程，（必须先求对求导，再代入的值）这样又可以唯一的求出待定系数。例2-3 () 解：先求的特征值 ，（4） 特征值与特征向量法求（略，自己看书）2.1.4 线性、定常、连续、非齐次（）状态方程的解前面已经求出齐次方程，的解为对非齐次状态方程：将上述状态方程左乘 移项得 积分、移项并左乘，得非齐次状态方程的解为 物理意义： 自由系统（只有初条件作用）的解+强迫项作用的解。（2-17） 勘正为 ，倒数第3行 勘正为）例2-5，求输入，初态时的。书上的解错了解：根据例2-4知，这是给定系统输入和系统初条件情况下，求解系统的输出问题。， 作业2-1验证满足状态方程，并且满足初条件。2.2 线性、时变连续系统状态方程的解在线性定常（齐次）连续系统中，其解可用状态转移矩阵求出：。同理，在线性时变（齐次）连续系统中，其解可用状态转移矩阵（参见图2-2 ）求出：定理2-3 ()阶线性时变连续齐次方程，的解为，状态转移矩阵满足，。这实际上并没有解决，因为求解“矩阵微分方程”与求解“原状态方程”同样困难。特例：在定常连续系统中转移矩阵 ，但对于时变系统，状态转移矩阵不一定能写成形式。补充定理：只有当与可交换时，才可以如下求得 图2-2 状态转移矩阵的作用P39 图2-3 状态的传递性P39状态转移矩阵的性质：*传递性：；（参见图2-3 ）*可逆性：，时间反演！* 设的个线性无关解为，其中每一个都是维列向量（）。用他们组成的矩阵称为状态方程的基本矩阵即基本矩阵为：则有，即“转移矩阵”可以用“基本矩阵”表示出来。所以，问题转化为如何求出个线性无关向量解。然而，求出方程的个线性无关解并非易事。定理2-4 ()阶线性、时变连续、非齐次方程， （）解的形式为，一般时变系统的状态方程没有解析解。例2-6 状态方程为，初始条件为，求，时的解：满足交换条件：，且 即为2次幂零矩阵。作业2-2 验证解确实是输入时的状态方程，同时满足初条件。作业2-3 状态方程为，初始条件为，求，时的2.3 离散系统状态方程的解对线性定常离散系统，物理意义是：系统第个采样时刻的状态由系统 第个采样时刻的状态 和第个采样时刻的输入 决定，而与系统的“当前”输入无关。其求解可采用递推法和变换法。2.3.1 递推法 只与以前的输入有关； 只与以前的输入有关； 只与以前的有关；. 求解对系统施加第步使其达到的输入： 例如： ； . 2.3.2 变换法（频域解法）对阶线性定常离散系统，作变换（，满足线性迭加） 移项： 定理2-4 () 阶线性定常离散系统，的解为讨论：（1）与连续系统比较有为离散系统的状态方程转移矩阵，且满足 ，（2）从递推法所得表