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4约束极值问题(2)二、制约函数法(有约束无约束)常用两类:惩罚函数外点法;障碍函数内点法.1. 外点法求解 (1)作,则再作 设极小值有限，极小值点, 即则必,(否则),是之解.缺点: 是边界处不连续且无导数,难于操作.(2) 改进 令 (在, ,连续), 且.注1: 若原极小点在R内部,则仍在内部取到;注2: 若原极小点在R的边界上,则新目标函数的无约束极小值可能不是原问题的解.再改进取为充分大正数, 作惩罚项,惩罚因子(对不在的点作惩罚放大)或等价从而使的解是原问题的极小解,或近似解.基本分析若, 则必是原问题的解.这是因为:对, 有 (3) 惩罚分析当时(惩罚越来越大) 从的外部的边界如 其解为(见右图)而当时, ,最小;当,则由, 得及,经济解释 , 正规,最宜; 违规惩罚; 大违大罚.总代价:对于等式约束问题采用对于有等式和不等式约束, 用(4) 外点步骤令, 取. 求 若某(其意: 在外),或某(其意义: 离边界较远).则再取(如),转;否则停.例11求 ()解 作 令当时, 有补充例11 解 设令 ,对使的点,即推得2. 内点法原理: 要求始终在R内部.为此在边界上设一屏障,一旦太靠近边界, 有越界趋势时, 新目标函数值迅速增大, 从而可行点始终在内部而不越界, 因此问题变为无约束极值. 具体为(1) 原(2) 化作, 其中障碍函数为,或,上式中第二项为障碍项, 正数称为障碍因子.一旦的边界,必有某可行点内部(始终)若原内部, 则只需某个,就,若原边界上, 则通过使的边界附近, 某一精度为止.(3) 步骤 取,并令 构造(障碍项: 用倒数或对数) 以为初始点,求得极小值, (一维搜索,注意步长,不可越界) 检验或满足, 则停, ;否则再取(如), 并令.准则也可或例12用内点法求解.解 构造, 由得,令, 得. (4) 初始内点的确定(也是一个迭代过程)任取(不一定恰为内点), 令和若空，则即为初始内点；若非空, 则以中约束函数的负为假拟目标函数, 以中约束函数为障碍项, 构成无约束极值问题,此时的惩罚函数如右图所示,求得, 再检验, 若不符, 继续并减小一般步骤: 任取令 定出指标集 , 若, 则在内部, 初始点找到;若, 则转 构造函数,以为初始点, 在内极小化得令(如), , 转.作业4.3试用罚函数法(SUMT外点法
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