高三数学 专题20 函数的应用课件 理.ppt

专题20函数的应用 函数的应用 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 3 主干知识梳理 1 函数的零点与方程的根 1 函数的零点对于函数f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数f x 的零点 2 函数的零点与方程根的关系函数f x f x g x 的零点就是方程f x g x 的根 即函数y f x 的图象与函数y g x 的图象交点的横坐标 3 零点存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 注意以下两点 满足条件的零点可能不唯一 不满足条件时 也可能有零点 4 二分法求函数零点的近似值 二分法求方程的近似解 2 函数模型解决函数模型的实际应用题 首先考虑题目考查的函数模型 并要注意定义域 其解题步骤是 1 阅读理解 审清题意 分析出已知什么 求什么 从中提炼出相应的数学问题 2 数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系 建立函数关系式 3 解函数模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果 4 实际问题作答 将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 热点一函数的零点 热点二函数的零点与参数的范围 热点三函数的实际应用问题 热点分类突破 例1 1 函数f x ln x 1 的零点所在的区间是 a 1 b 1 e 1 c e 1 2 d 2 e 热点一函数的零点 思维启迪根据二分法原理 逐个判断 解析因为f ln 4 0 f 1 ln2 2 0 f e 1 1 0 故零点在区间 e 1 2 内 答案c 思维启迪画出函数图象 利用数形结合思想解决 解析先画出y轴右边的图象 如图所示 f x 是偶函数 图象关于y轴对称 可画出y轴左边的图象 再画直线y 设与曲线交于点a b c d 先分别求出a b两点的横坐标 答案a 变式训练1 1 已知函数f x x cosx 则f x 在 0 2 上的零点个数是 a 1b 2c 3d 4 解析f x 在 0 2 上的零点个数就是函数y x和y cosx的图象在 0 2 上的交点个数 而函数y x和y cosx的图象在 0 2 上的交点有3个 故选c c 2 已知a是函数f x 2x logx的零点 若00c f x0 0d f x0 的符号不确定 解析 f x 2x logx在 0 上是增函数 又a是函数f x 2x logx的零点 即f a 0 当0 x0 a时 f x0 0 c 例2对任意实数a b定义运算 a b 设f x x2 1 4 x 若函数y f x k的图象与x轴恰有三个不同交点 则k的取值范围是 a 2 1 b 0 1 c 2 0 d 2 1 热点二函数的零点与参数的范围 思维启迪先确定函数f x 的解析式 再利用数形结合思想求k的范围 解析解不等式 x2 1 4 x 1 得 x 2或x 3 函数y f x k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y f x 的图象和直线y k恰有三个不同交点 如图 所以 1 k 2 故 2 k 1 答案d 变式训练2 定义在r上的函数f x ax3 bx2 cx a 0 的单调增区间为 1 1 若方程3a f x 2 2bf x c 0恰有6个不同的实根 则实数a的取值范围是 解析 函数f x ax3 bx2 cx a 0 的单调增区间为 1 1 1和1是f x 0的根 f x 3ax2 2bx c f x ax3 3ax 3a f x 2 2bf x c 0 3a f x 2 3a 0 f2 x 1 f x 1 例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后 发现一天中环境综合放射性污染指数f x 与时刻x 时 的关系为f x a 2a x 0 24 其中a是与气象有关的参数 且a 0 若用每天f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数 并记作m a 热点三函数的实际应用问题 1 令t x 0 24 求t的取值范围 思维启迪分x 0和x 0两种情况 当x 0时变形使用基本不等式求解 解当x 0时 t 0 当0 x 24时 x 2 当x 1时取等号 即t的取值范围是 0 2 省政府规定 每天的综合放射性污染指数不得超过2 试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标 思维启迪利用换元法把函数f x 转化成g t t a 2a 再把函数g t 写成分段函数后求m a g t 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 当且仅当0 a 时 m a 2 变式训练3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元 每生产1千件需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且r x 1 写出年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 解当0 x 10时 w xr x 10 2 7x 8 1x 10 当x 10时 w xr x 10 2 7x 98 2 7x 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 解 当0 x 10时 由w 8 1 0 得x 9 且当x 0 9 时 w 0 当x 9 10 时 w 0 当x 9时 w取得最大值 且wmax 8 1 9 93 10 38 6 当x 10时 综合 知 当x 9时 w取最大值38 6万元 故当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 本讲规律总结 1 函数与方程 1 函数f x 有零点 方程f x 0有根 函数f x 的图象与x轴有交点 2 函数f x 的零点存在性定理如果函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 并且有f a f b 0 那么 函数f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使f c 0 如果函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 并且函数f x 在区间 a b 上是一个单调函数 那么当f a f b 0 那么 函数f x 在区间 a b 内不一定没有零点 2 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能 因此 必须全面掌握有关的函数知识 并且严谨审题 弄清题目的已知条件 尤其要挖掘题目中的隐含条件 要认真分析 处理好各种关系 把握问题的主线 运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 2 真题感悟 解析作出函数f x 的图象如图所示 其中a 1 1 b 0 2 1 2 真题感悟 因为直线y mx m m x 1 恒过定点c 1 0 故当直线y m x 1 在ac位置时 m 可知当直线y m x 1 在x轴和ac之间运动时两图象有两个不同的交点 直线y m x 1 可与ac重合但不能与x轴重合 此时0 m g x 有两个不同的零点 1 2 真题感悟 由 2m 3 2 4m m 2 0 解得m 当直线y m x 1 过点b时 m 2 1 2 真题感悟 可知当y m x 1 在切线和bc之间运动时两图象有两个不同的交点 直线y m x 1 可与bc重合但不能与切线重合 答案a 真题感悟 2 1 2 2014 北京 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 可食用率 在特定条件下 可食用率p与加工时间t 单位 分钟 满足函数关系p at2 bt c a b c是常数 如图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 a 3 50分钟b 3 75分钟c 4 00分钟d 4 25分钟 真题感悟 2 1 解析根据图表 把 t p 的三组数据 3 0 7 4 0 8 5 0 5 分别代入函数关系式 真题感悟 2 1 即最佳加工时间为3 75分钟 答案b 押题精练 1 2 3 解析当f x 0时 x 1或x 1 故f f x 1 0时 f x 1 1或1 当f x 1 1 即f x 2时 解得x 3或x 押题精练 1 2 3 当f x 1 1 即f x 0时 解得x 1或x 1 故函数y f f x 1 有四个不同的零点 答案4 押题精练 1 2 3 2 函数f x xex a有两个零点 则实数a的取值范围是 解析令f x x 1 ex 0 得x 1 则当x 1 时 f x 0 f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 押题精练 1 2 3 要使f x 有两个零点 则极小值f 1 0 即 e 1 a 又x 时 f x 0 则a 0 a 0 答案 0 押题精练 1 2 3 3