高中数学 3.1.2 导数的概念课件 新人教A版选修11.ppt

第三章导数及其应用 3 1 2导数的概念 自由落体运动中 物体在不同时刻的速度是不一样的 平均速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 解 设在 3 3 1 内的平均速度为v1 则 t1 3 1 3 0 1 s s1 s 3 1 s 3 0 5g 3 12 0 5g 32 0 305g m 所以 同理 例1是计算了 3 3 t 当t 0 1 t 0 01 t 0 001时的平均速度 上面是计算了 t 0时的情况 下面再来计算 t 0时的情况 解 设在 2 9 3 内的平均速度为v4 则 t1 3 2 9 0 1 s s1 s 3 s 2 9 0 5g 32 0 5g 2 92 0 295g m 所以 设在 2 99 3 内的平均速度为v5 则 设在 2 999 3 内的平均速度为v6 则 当 t 0时 物体的速度趋近于一个确定的值3g 在t 3s这一时刻的瞬时速度等于在3s到 3 t s这段时间内的平均速度当 t 0的极限 设物体的运动方程是s s t 物体在时刻t的瞬时速度为v 一般结论 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时平均速度的极限 即 让我们再来看一个例子 p 相切 相交 再来一次 例 p 再来一次 设曲线c是函数y f x 的图象 在曲线c上取一点p及p点邻近的任一点q x0 x y0 y 过p q两点作割线 则直线pq的斜率为 上面我们研究了切线的斜率问题 可以将以上的过程概括如下 当直线pq转动时 q逐渐向p靠近 也即 x变小 当 x 0时 pq无限靠近pt 因此 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 上式称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 注意 1 函数应在点的附近有定义 否则导数不存在 2 在定义导数的极限式中 x趋近于0可正 可负 但不为0 而 y可能为0 3 导数是一个局部概念 它只与函数在x0及其附近的函数值有关 与 x无关 4 若极限不存在 则称函数在点x0处不可导 物体的运动方程s s t 在t0处的导数即在t0处的瞬时速度vt0 函数y f x 在x0处的导数即曲线在x0处的切线斜率 导数可以描述任何事物的瞬时变化率 瞬时变化率除了瞬时速度 切线的斜率 还有 点密度 国内生产总值 gdp 的增长率 经济学上讲的一切边际量等 例1 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h时 原油温度的瞬进变化率 并说明它们的意义 解 第2h和第6h时 原油温度的瞬进变化率就是f 2 和f 6 根据导数定义 所以 同理可得f 6 5 f x x2 7x 15 f 6 5说明在第6h附近 原油温度大约以5 h的速度上升 说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速度下降 所以物体在时刻t0处的瞬时速度为v0 gt0 由导数的定义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的方法是 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 1 求函数的增量 练习2 质点按规律s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点在t 2时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 a 2 由导数的定义可知 求函数y