系统工程第二章系统模型.doc

第二章 系统模型方法2.1 模型概述模型是对研究对象的一种描述方法。模型的类型可分为物理模型、数学模型、结构模型、仿真模型等几大类。物理模型是指通过实物建立的系统对象的实物模型或类比模型；数学模型是用数学语言描述的一类模型；结构模型是主要反映系统的结构特点和因果关系的模型（其中的一类重要模型是图模型，即用结构图表示系统的结构）；仿真模型是通过在计算机上运行的程序表达的模型。采用适当的仿真语言或程序，物理模型、数学模型和结构模型一般都能转变为仿真模型。系统工程建立的模型可统称为系统模型，通常是非物理模型。数学模型是应用最多的一种模型，可进一步分为原理性模型、系统学模型、规划模型、预测模型、管理决策模型、仿真模型、计量经济模型等类型。 原理性模型。原理性模型是指自然科学中所有的定理及公式。自然科学已建立起一套完整的原理性模型，如开普勒的行星运动三大定律、牛顿的经典力学三大定律以及近代的爱因斯坦相对论等。 系统学模型。系统学是研究系统结构与功能（演化、协同和控制）的一般规律的科学，其研究对象是各类系统，系统可分为简单系统和复杂巨系统，系统的研究方法主要有运筹学、信息论、数学以及耗散结构理论、协同学和突变论等。系统学模型通常包括：系统动力学、大系统理论、灰色系统、系统辩识、系统控制、最优控制和创造工程学等。 规划模型。数学规划是研究合理使用有限资源以取得最佳效果的数学方法，其实质是用数学模型来研究系统的优化决策问题。在规划问题中，必须满足的条件称为约束条件，要达到的目标用目标函数来表示，规划模型要解决的问题是，在约束条件的限制下，根据一定的准则从若干可行方案中选取一个最优方案。规划模型通常包括：线性规划、非线性规划、目标规划、更新理论和运输问题等。 预测模型。预测是对事物的发展规律和结果的推断。预测方法可分为定性预测和定量预测两大类。 管理决策模型。管理决策是在管理过程中做出的各种决策。管理决策模型通常包括：关键路线法、计划评审技术、风险评审技术和层次分析法等。 仿真模型。仿真是利用模型再现实际系统中发生的本质过程，并通过对系统模型的实验来研究已存在的或设计中的系统。而仿真模型就是被仿真对象的相似物或其结构形式。 计量经济模型。计量经济学是以数学和统计学方法确定经济关系中的具体数量关系的科学，又称经济计量学。计量经济学对经济关系的实际统计资料进行计量，加以验证，为经济变量之间的依存关系提供定量数据，为制定经济规划和确定经济政策提供科学依据。计量经济模型通常包括：经济计量法、投入产出法、动态投入产出法、可行性分析和价值工程等。本章将主要针对矿业系统工程，介绍一些常用的系统模型。本书的其他章节，也会介绍一些相关的系统模型。2.2 线性规划模型2.2.1 基本概念 下面以配矿问题为例，说明线性规划模型。设某选矿厂由3个矿山供应矿石，各矿山生产的矿石质量和成本如表2-1所示。选矿厂将这3种矿石混合使用，要求混合矿石的含铁量不低于48%，含磷量不高于0.25%。现在的问题是，这3种矿石应该怎样混合才能使选矿厂的原矿成本最低。表2-1 矿石质量和运输成本矿 山含铁量（%）含磷量（%）成本（元/吨）甲矿54.000.13C1乙矿49.000.22C2丙矿450.34C3设甲、乙、丙3种矿石的百分配比分别为x1、x2 、x3 , 我们的目标是使原矿成本最小，即：求 （2-1） 要满足的条件是： （2-2） 式（2-1）和方程式组（2-2）构成了一个线性规划模型。式（2-1）称作目标函数，方程式组（2-2）称作约束条件。线性规划模型中满足约束条件的解称作可行解。在可行解中，又能满足目标函数的可行解，称作最优解。建立模型的目的就是要求出最优解。线性规划的标准解法是单纯形法。下面给出线性规划模型的一般形式。 （2-3）式（2-3）称作线性规划模型的标准形式。当数学模型是其他形式时，可采用下述方法将其转化为标准形式。 若目标函数是最小化时，即有：这时令z=-z，则目标函数变成： 这样一来就将目标函数转化为标准形式。 当约束条件为“”形式的不等式时，可在“”号的左端加入非负的松弛变量，把原“”形式的不等式变为等式；若约束条件为“”形式的不等式时，可在“”号的左端减去一个非负的松弛变量，把原“”形式的不等式变为等式。 若存在无非负要求的变量，即xk变量取正值或负值都可以时，可令xk=xk-xk，其中xk0,xk0，即用xk和xk替换xk。例如，有线性规划模型： 无符号约束 令z=-z, x3=x4- x5, 将上式变成标准形式后有：2.2.2 线性规划配矿模型 例2-1某露天铁矿，由甲、乙、丙3个溜矿子系统出矿，班产量分别为2525.25吨、2300.00吨和1671.15吨，矿石品位分别为TFe=32.5%、31.5%和29.0%。选矿厂通过多年生产实践发现，当原矿TFe32%时，精矿含矾高，对冶炼不利。故确定原矿入选品位为=30%32%，且确定不同品位的原矿价格为： 当TFe = 30%32%时，P= (-30)+9 元/吨 当TFe 32%时， P=9 元/吨要求确定各溜井系统的班产量及最佳矿石品位，使矿石总售价最高。 设甲、乙、丙溜矿系统的班产量分别为x1，x2，x3，混合后的矿石品位为。根据题意建立优化模型如下： （2-4） 模型（2-4）的解法是先求出期望品位为不同常数值时的矿石产量解x*()及目标函数数值z*()，然后作出z*()曲线。观察z*()曲线，找出使z*()值最大的，此即为最佳品位，与之相对应的解x1，x2，x3即为各溜矿子系统的班产量最佳解。例2-2某矿山为一大型铁矿，有一个露天采区（一采区）和两个地下采区（二、三采区），同时还收购民采矿石(视作四采区产出的矿石)。矿山作为商品矿石出售的品种有粉矿、精粉和内销原矿。三个采区生产的矿石和民采矿石的产量和质量都不相同，用户对商品矿石的品种和质量有要求，且矿石质量影响矿石售价。要求合理分配使用矿石量，使企业的综合利润指标最高。 设Yij为由第j采区（j=1，2，3，4）原矿石中生产的i（i=1，2，3）种商品矿石量，Xj为j采区原矿石生产量，Cij为第j采区原矿石生产第i种成品矿石的获利指标（元/吨）。根据题意，建立以企业的综合利润指标为最高的目标函数： （2-5）目标函数中的经济效益指标Cij应按下式确定： 式中 K i 第i种成品矿石售价，元bj 第j采区生产的原矿石成本，元/吨 式中 bij 第j采区原矿石成本各单项成本，元/吨 k 单项成本编号。单项成本是指采区车间成本、矿区运输费、矿管理费、磨矿成本和选矿加工成本（共n项） kij 粉矿比或选矿比。 下面给出所考虑的约束条件。 采区计划产量必须满足采区原矿石生产任务和生产能力约束： （2-6）式中 Aj 第j采区生产能力，万吨； Qj 第j采区生产任务，万吨； A 全矿年生产能力，万吨； Q 全矿年生产任务，万吨； j 采区编号，j=1，2，3，4 原矿石按商品矿石类型分配条件约束： （2-7）式中Xij 第j采区生产的原矿石分配制作第i种商品矿石的数量，万吨； AI 生产第i种商品矿石的车间生产能力，万吨； QI 生产第i种商品矿石必须的原矿石量，万吨。 商品矿石产量和质量指标约束： （2-8） 2-9） （2-10）式中 j 第j采区生产的原矿石品位，%；i 第i种商品矿石平均品位，%；Kij 粉矿比或选矿比，由下式确定i 尾矿品位或甩废矿石品位，%；Bi 第i种商品矿石生产能力，万吨；Wi 第i种商品矿石生产任务，万吨。2.2.3 地下矿采掘计划线性规划模型线性规划是优化采掘进度计划广泛使用的方法。由于具体矿山的技术条件和生产要求各不相同，因此也就会有各种不同的目标函数和约束条件，下面给出一个模型实例。 以矿山存在年限内的总盈利最大为目标，建立目标函数： （2-11）式中 n 矿山存在年限或计划编制期限； i, j, k 矿块的几何位置； Xtijk 矿块（i,j,k）于第t年采出的矿石量； Cijk 矿块（i,j,k）单位矿石的赢利； Ft 第t年的贴现率。上述目标函数式中，第一个“”是对时间进行累计，包括计划编制期限内的所有盈利；第二个“”是对空间进行累计，包括矿体内所有矿块；随后的3项乘积表示矿块（i,j,k）于第t年可获得的赢利现值。根据具体情况，目标函数也可以是成本最低或产量最大等。 矿石产量约束： （2-12）式中Atl 、Atu分别是矿石年产量在年要求的下限和上限，常受到选矿厂或冶炼厂生产能力的限制； 矿石质量约束： （2-13）式中Mtl 、Mtu 分别是金属年产量在年要求的下限和上限，受选矿厂和冶炼厂要求的限制。 ijk 矿块（i,j,k）所含矿石的品位。 矿石资源约束： （2-14）式中Qijk表示矿块（i,j,k）拥有的矿石量。上式说明从（i,j,k）矿块中历年累计出的矿石量要小于或等于该矿块拥有的矿量。 采掘工艺能力约束： （2-15） 式中upijk 矿块（i,j,k）单位矿石量对p种工作（采准、切割、凿岩、放矿等）要求的工作量；Btp 第t年p种工作所能提供的工作量。 非负约束： （2-16）2.2.4 混合整数规划混合整数规划，是指目标函数和约束条件中既含有实型变量，又含有整型变量的数学规划。0-1变量是特殊的整型变量，是只能取值0或1的变量。在模型中引入0-1变量，往往可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。下面在2.2.3中介绍的采掘计划优化模型中引入0-1变量，从而在模型中加进开采顺序约束条件。 仍以矿山存在年限内的总盈利最大为目标，建立目标函数： （2-17） 式中Itijk0-1整型变量，表示矿块（i，j，k）在第t年有无开采可能，若能开采则取1，否则取0。其余符号的意义同前（以下情况与此相同）。 上式与式（2-11）的差别在于增加了整型变量Itijk，用于控制矿块（i，j，k）在t年内能否开采。 开采顺序约束 （2-18） （2-19）式中，（i，j，k-1）表示位于矿块（i，j，k）上面的另一个矿块。第一个不等式（2-18）用于控制下面矿块的开采时间，只有当上面的矿块采完后它才可能开采。假若（i，j，k-1）块没有采完，则有： （2-20）此时不等式（2-18）右端的分子小于分母，于是Itijk只能取0，（i，j，k）块不能开采。反之，当（i，j，k-1）块采完，则有： （2-21）于是不等式（2-18）的右端可为1，Itijk可按需要取0或1值。不等式（2-19）用于使整型变量转换成1。一旦（i，j，k）开采，则不等式的右端变成大于0的数值，于是Itijk就要转变成1。假若将（i，j，k-1）块改作（i-1，j，k）或（i，j-1，k），则后者为（i，j，k）块前面的另一矿块，上述超前关系变成同一阶段前后的超前关系。 矿石产量约束： （2-22） 矿石质量约束： （2-23） 矿石资源约束： （2-24） 采掘工艺能力约束： （2-25） 非负约束： （2-26） 整数约束： Itijk=0或1。 （2-27）2.2.5 露天矿采剥计划优化模型下面介绍美国T.B.Jonson教授提出的露天矿采剥计划线性规划优化模型。 以矿山存在年限内总的赢利值最大为目标，建立目标函数： （2-28）式中：T矿山存在年限或计划编制年限（年）； X(t) 在第t年采出的矿岩量，它是各模块在第t年采出量的总和； C(t) 在第t年所采出矿岩量的赢利系数。式（2-28）是一个原则性的通式。具体计算时，应按所有模块逐一表达。 采矿设备约束： （2-29）式中： 从模块n中于第t年采出的物料总量，其中物料类型是，选矿处理方法为p； 模块n中单位数量所要求设备d的小时数； 在Qg区段中d类设备可利用的小时数。 排土厂能力约束： （2-30）式中之r仅指废石而言，B为废石场排土能力。 选矿厂能力约束 (2-31)式中：E、Er、Ep 分别为选矿厂处理原矿的总能力、处理物料的能力和用p方法的处理能力。 冶炼能力约束 （2-32）式中：rn 模块n单位数量冶炼后的金属量； Ef 冶炼厂金属处理能力。 维修工能力约束 (2-33)式中： 模块中要求设备类型为d、维修功能为w的小时数。 Ee维修工作能力。 劳动力约束 (2-34)式中：Pn模块n单位数量所需的劳动力数； A可提供的人力数。 矿石品位约束 （2-35） 式中： 模块n中元素s的品位； 对元素要求的品位下限； 对元素要求的品位上限。 几何约束 X131 X132 X133 X122 X142图2-1 矿块几何约束几何约束表示的是上台阶推进与下台阶开采之间的超前关系。例如，在图2-1中，若开采模块X232，则需事先开采上一台阶的5个模块X232、X232、X232、X232、X232。下标中第一个数码表示层号，后两个数码表示平面位置。假若矿山有两种矿石类型（r=2）与两种选矿方法（p=2），为了使上一台阶的推进速度大于或等于下一台阶的推进速度，对于第一周期（t=1），则有下列约束方程组： （2-36） 通过这些方程组，使上一台阶5个模块各自的开采数量都大于下部模块（232）的开采数量，从而保证上台阶开采超前于下台阶开采。T.B.Jonson提出的这个线性规划模型，被视为露天矿采剥计划优化的经典方法。但该模型中的变量太多，方程式也比较复杂，实际应用时有困难。此外，它的几何约束也不够严格，并不能完全保证上下台阶之间的超前关系。此后一些研究者还提出了许多其他形式的数学模型。例如，F.L.Wilke提出了一个短期计划编制模型。该模型的目标是贯彻和实现已经优化好的长期计划。这时，每个模块都赋予一个权系数，称为优先性系数。凡是必须开采的模块，其权系数最高。对于那些有助于长期计划实施的模块（如开段沟等），其权系数也高。下面介绍该模型。 目标函数 （2-37）式中：Xi 模块i中的开采量，待定变量； Pi 模块i的权系数； 1j矿石模块； j+1k岩石模块。这样构造目标函数，能优先开采那些有利于长期计划实施的模块。 品位约束 （2-38）式中：fi 模块i的品位； Fu 所要求品位的上限； Fl 所要求品位的下限。 配矿场容积约束 (2-39) 式中，CB是配矿厂容积。 资源约束 （2-40）式中，mi是模块i的原有数量。 岩石数量约束 （2-41） 式中，W是规定的岩石开采总量。 剥采比约束 （2-42）式中，R是所要求的剥采比。 装载能力约束 （2-43） 式中，li 模块i的装载系数； Ci 总的装载能力。 运输能力约束 （2-44） 式中，ti 模块i的运输系数； Cr 总的运输能力。 非负约束 i=1, 2，k (2-45) 应用上述模型的困难是如何合理地确定优先系数P。2.3 动态规划法2.3.1 数学模型动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。动态规划适于优化如下类型的系统： 系统可分为若干个阶段，而在每个阶段系统又有若干个状态，第k阶段的状态集合可表示为Xk = xk1，xk2，xkm ，k = 0，1，2，n。 当系统处于阶段的状态时，可采取多项决策dkij ( j =1，2，l)，使系统向下一阶段发展。用Dki = dki1，dki2，dkil表示于状态xki可采取的决策集合。 在k阶段的xki状态采取决策dkip后，系统向第k+1阶段发展而达到状态xk+1,q，这种发展变化可以用状态转移方程加以描述。 在状态xki采取决策dkip而使系统发展到k+1阶段的状态xk+1,q时，产生一个状态指标uki(xki, dkip)。 从原始阶段0按顺序经历各阶段而达到最后阶段n，系统可以采取许多决策序列，p0n = d0，d1，dn-1，这种决策序列称为策略。动态规划就是要求出目标最优的策略。求解过程往往采用逆序方法，其递推方程如下： （2-46）其中fk(xki)表示初始状态为xki的后部子过程所有子策略中的最优子策略。 下面举例进一步说明动态规划的基本原理。某矿山拟铺设一条从A点到N点的管道，两者之间可能有的连接路线及距离如图2-2所示。问如何选择管道路线才能使A到N的总长度最小。 从图2-2中可以看出，从A到N的路线很多。今把A到N分为4个阶段，如图2-2所示。从A点到B点为第一阶段，这时有2个选择：一是走到B1，一是走到B2。若选择B2，则B2就是第一阶段决策的结果，又是下一个阶段的始点。在第二阶段，从B2出发，可以选择C1、C2或C3点。若选择C2点，则C2就是第二阶段决策的结果，又是下一个阶段的始点。如此递推下去，各个阶段的决策不同，铺管的路线就不同。很明显，当某段的始点给定时，它直接影响着后面各阶段的路线，而后面各阶段路线的具体发展却不受这点以前各路线14265B13275AB2C1C2C 3D1D2N5455912图2-2 管道线路的影响。问题是在各阶段中都要选取一个恰当的决策，使得由这些决策所决定的一条路线，其总长度最短。下面用逆序解法求解。 倒数第一阶段。这时状态间的联络线是固定的，即：从D1到N：f1（D1）= d（D1，N）= 5， x1（D1）= N从D2到N：f1（D2）= d（D2，N）= 2， x2（D2）= N式中fi（j）表示倒数第i个阶段j状态的最优指标函数（最短路线）； d（j，N）表示从j状态到最后一个阶段N状态的路程； xi（j）表示倒数第i个阶段j状态的决策。 倒数第二个阶段，这时状态间的联络路线需要经过比较才能确定。以C1状态为例，它可以通向D1，也可以通向D2，只有综合考虑C1D1N和C1D2N两条路线之后才能决定。 这说明假如选中C1，则它一定要通向D2，而C1至N的总长度是9。同理，对于C2、C3有 倒数第三个阶段。 倒数第四个阶段。 反向追踪最优路线。从倒数第4个阶段开始，由x4（A）=B1，可知A要通向B1。从倒数第3个阶段的x3（B1）=C2，可知B1要通向C2。从倒数第二阶段的x2（C2）=D2，可知C2通向D2。从倒数第一阶段的x1（D2）=N，可知D2通向N。这样，最优路线是AB1C2N，其总长度是f4（A）=13。2.3.2 露天矿剥采关系动态优化模型ViA151014Pii图 2-3 露天矿的剥采关系采矿和剥离是露天矿的主要生产活动。露天矿设计矿石年产量一般为定值，至少在一定年限内相对稳定，而年剥离量却随采场及矿体几何形态而异。图2-3表示了一倾斜矿体露天矿的剥采关系。设在第i开采阶段，其工作帮坡角为i，而剥离量为Vi，采矿量为Pi，则在此阶段的生产剥采比为ni=Vi/Pi。 剥采比的均衡，涉及到矿山存在年限内历FCKAGBEJHDt0V图 2-4 剥离量分析年采剥工作的安排。图2-4的BAC曲线表示露天矿按最大工作帮坡角发展时剥岩量的变化情况，图中横坐标表示时间（年），纵坐标表示每年剥岩量。每年的剥岩量可称为临界剥岩量，是为了保证当年矿石开采所必须剥离的最小岩石量，否则矿石开采工作面不能暴露出来。很明显，假若矿山生产完全按此曲线发展，在剥离峰值期就要追加大量的采剥设备。另一方面，假若片面追求均衡剥离，将本来在后期才需要剥离的岩石人为地提前进行，势必增加早期投资及生产费用，这显然也是不合理的。因此，在这两者之间，存在一个最优决策，现用DEF曲线表示。为了寻求露天矿最优的采剥数量关系，现以第t年的剥离状态进行深入分析。设HK是第t年最佳的剥离量，它由两部分组成：一是临界剥岩量GK，用于揭露采矿工作面，保证当年的矿石生产；另一部分是提前剥离量GH，它是为了减轻后期剥岩峰值的压力提前剥离的。将t年以前各年提前剥离的岩石量累加起来，就是t年累计的提前剥离量，称作存贮量（图中HGJ区域）。临界剥岩量GK，可按矿山工程发展的格式，由累计的矿石-岩石数量关系曲线V=f（P）插值求出。至于存贮量，可按下述动态规划模型计算。图 2-5表示这一数学模型的概念。假设第1年（阶段1）有个m剥岩存贮量（状态）11，12，1m,每个状态与原点0的关系如图所示，相应地可计算出每一状态下所需的剥离量x101，x102，x10m及费用f101，f102，0 1 2 tnn-1j21mm-1121I图 2-5 存贮模型f10m。在第2年（阶段2），设有n个状态12，1n,以下各年情况以此类推。现以第2年第j个状态为例，它可以来自第一年m个状态中的任一个1i（i=1，2，m），相应地计算其剥离量xij及费用f1ij。比较由0点经各点到m的费用，选取费用最低者为到j点的最优路径（假设是ij，即j点必须从i点而来）。采用同样的方法,可以确定到达第3年各状态的最优途径。将这一过程逐阶段地重复下去，最终可以得出通往最后一年各状态的最优途径。然后根据最后一年费用最低的状态，反向追踪出各年最优的路径，从而得出每年最优的剥离量。上述方法，正是前进式动态规划法，其递推方程为 （2-47） 式中C(t)min（j）从起点0到第t阶段的j状态的最小费用； C（i，j）从（t-1）阶段的i状态到t阶段的j状态的费用，包括剥离费和设备费；贴现率，使t-1阶段的费用和t阶段的费用可以累加；。C(t-1)min（i）从起点0到t-1阶段的i状态的最小费用。此递推公式的边界条件是第1年的路径是唯一的，即式中C1min（i）从起点0到阶段1的i状态的最小费用 C（0，i）从起点0到第一阶段的i状态的费用。该递推公式的约束条件是前一年的累计剥岩量要满足次年要求式中xtijt年从年初的i状态到年末的j状态的剥离量； t-1it-1年年末i状态的存贮量； dtt年要求的最小剥岩量； tjt年年末j状态的存贮量。 利用上述动态规划模型，可以求出每年最优的剥离量xt，将xt除以相应的矿石年产量，便是该年最优的生产剥采比。2.4 多目标规划模型2.4.1 基本概念 在普通的线性规划中，目标函数是单一的。然而在实际问题的决策中往往要考虑多个目标。例如，为了选择合理的采矿方法，既要考虑该方法的生产效率，同时要其生产安全性和资源回收情况等等。在进行单目标决策时，只要比较两个方案的目标函数就能决定谁优谁劣。在多目标情况下，就不能作这样的简单比较来决定优劣。目标规划是处理多目标决策的一种有效方法。 目标规划的基本思想是利用分层排序的办法把各类目标的重要性加以区分，将其分为P1，P2，Pn等几个等级。处于同一等级的目标，也可能不只一个，每个目标的重要程度可以加上不同的权重因子来区别。通过引入正负偏差变量把多个目标转化为统一的目标形式。 偏差变量是用来反映实际值与期望目标值的差距，超出的称作正偏差变量用d+表示，未达到目标期望值的差距叫负偏差变量，用d表示。在一个实际问题中对某一个目标d+和d两者必有一个为零，故恒有d+d=0。 大体说来，建立目标规划模型分两步进行。第一步写出目标表达式，既建立基础模型；第二步由基础模型转化为目标规划模型。步骤如下： 写出目标表达式，建立基础模型； 对每一个目标表达式（包括约束条件）都加上正、负偏差变量，作为目标规划模型的约束条件； 将每一个目标按其重要程度划分优先级，给出相应的权系数； 根据各目标表达式的类型，构造目标函数。 目标函数由各个目标的实际值与期望值之间的最小差距来构成。这些差距已经通过偏差变量来表示，因此，目标函数表示为偏差变量及与每个目标表达式有关的优先等级的函数。 构成目标函数时，约束与偏差变量之间的关系为： 要满足fi（x）bi，必须使 取极小； 要满足fi（x）bi，必须使 取极小； 要满足fi（x）= bi，必须使（ + ）取极小。2.4.2 模型举例 下面通过具体例子来说明目标规划模型的构模步骤。某年某地区有煤炭调运任务列于表2-2。表中3个矿井能够提供的煤炭总量为250万t，而5个用户的总需求量为320万t，因而这是一个供需不平衡的运输问题。用户表2-2 煤炭运输方案B3B4B5供应量B2B1生产矿A1f11f12F13f14f1590A2f21f22F23f24f2560A3f31f32F33f34f35100需求量70408030100250/320该地区有关部门提出以下几个目标。 第一优先目标：保证重点用户B3的全部需求量； 第二优先目标：保证B1用户对A3矿井煤种的需求量20万t； 第三优先级目标：在至少保证B2、B5用户全部需求量的85%的前提下保证用户B1、B4全部需求量的70%以上； 第四级优先目标：总运费应低于105万元 第五级优先目标：A1矿井生产的煤种不适合B5用户的需要，应尽量减少A1矿井对B5用户的调运量。 现在构造这一问题的目标规划模型。设xij为Ai矿向Bj用户调运的煤量，则基础模型（目标表达式）为：除了上述目标表达式外，还有各矿井最大供应能力约束和各用户最大需求量约束，这些约束可不加正、负偏差变量，作为目标规划模型的约束条件，称为硬约束条件。将目标表达式加进正、负偏差变量后有：最后根据目标表达式与偏差变量之间的关系构造目标函数。更进一步，给各级目标加上权系数后相加在一起：这样就变成了线性规划模型。通过不断调整权数，可得出多种决策方案。2.5 状态空间模型2.5.1 基本概念在研究复杂动态系统（如人口系统、生态系统、社会经济系统等）的行为为特征及其时空演化规律时，经常需要建立动态数学模型。状态空间模型就是一种描述系统动态行为特征的数学模型。首先介绍系统状态和状态变量的概念。表征系统运动特征的属性称为系统状态，系统的状态是随时间而变化的。状态变量是指状态中的每个变量，即能够完整地确定系统状态所必须的一组最少的变量。当描述系统行为的状态变量有n个时，一般记为。例如，对于飞行中的导弹，可用导弹的飞行高度、速度和方向这几个属性来表示导弹飞行状态。相应地，可用（矢量）这几个状态变量来表示飞行高度、速度和方向。把描述系统状态的n个状态变量看作向量的分量，则称为n维状态向量。记为。由n个状态变量作为坐标轴组成的n维空间称为状态空间。 在状态空间中，以系统的状态向量或状态变量来描述系统、揭示系统状态之间的联系，并进行分析设计的方法称为状态空间分析法。根据系统状态变量之间存在的关系建立的系统模型称为状态空间模型。状态空间模型通常用来表达系统输入输出关系，系统输出和系统状态之间的关系，以及系统状态与输入之间的关系。状态空间模型可应用于线性的或非线性系统，还可应用于时变或非时变的、多输入多输出系统，通常作为系统仿真的基础模型。下面以图为例说明模型建立方法。图2-6所示为振动系统，设物体M的位移为，速度为，则有 (2-50)系统的加速度为。根据振动理论，有x1(t)F(t)MKB图2-6 振动系统 (2-51)即 （2-52）这是系统的状态方程。经过测量，得到振动位移量测值，设与的关系为 （2-53）式中为比例因子，则系统的输出方程为 （2-54）用状态变量建立系统的数学模型时，一般包括两类方程，分别称作状态方程和观测方程，通常写作 （2-55）其中，为状态向量，为输入向量，为输出向量，、为函数关系。对于线性系统，、为、的线性函数，状态空间模型具有如下形式 （2-56）其中，。称为状态转移矩阵，称为输入矩阵如A、B、C、D均为常数矩阵，则上述状态空间模型描述的线性系统为定常线性系统；否则，为时变线性系统。对于离散系统，由于输入、输出向量以及系统状态只在规定的取样时刻取值，相应的状态空间模型如下 （2-57）式中，表示时刻的系统状态，而分别为时刻的系统输入、输出向量，A、B、C、D的意义同前。下面首先考虑一维变量系统。若已知初始状态及输入系列，就可求出状态序列。由状态方程有 （2-58）故第时刻的状态为 （2-59）而状态与之间关系为 （2-60）对于用微分方程（或差分方程）描述的系统，也可以转换成上述状态空间模型。以线性定常系统为例，设n阶线性定常连续系统的微分方程为式中，是的简写。由初始条件和时输入序列，可以完全确定系统的将来行为，只需取为状态变量。令 则有 由于 故 如取即有状态方程和输出方程 （2-70）下面给出一个离散系统空间状态模型的例子。某大学现有教师300人，其职称分布见表2-3。根据近年数据统计，每年大约有10%20%的人员调离或退休。表2-3中也给出了根据上级及学校制定的政策各类职称每年晋升的比例。同时每年能招聘与补充60人，其中见习教员占40%，助教30%，讲师和副教授10%。现在建立空间状态模型，并预测今后4年内该校教师人数及其职称分布状况。表2-3 教师人数及其职称分布见习教师助教讲师副教授教授x1x2x3x4x5现有人数20801404020职称晋升比例0.300.400.200.20调离退休比例0.200.200.200.100.20留任原职称比例0.500.400.600.700.80以学校各类职称教师人数作为状态变量，设为预测期内第t年第i类职称的人数。预测前一年（t=0）的初始状态为为预测期内第t年学校的教师总人数。由于晋升比例的状态转移矩阵A（其中元素代表留任原职称的比例，为从类晋升为上一级类的比例）和输入状态向量B在预测期内不改变，故问题的模型如下式中 矩阵A中，没有标出的元素为零值元素。例如第一年的情况为同样，可以递推计算以后几年的教师人数及其职称分布情况，结果见表2-4。表2-4 教师人数及其职称分布预测 类别见习教师助教讲师副教授教授合并年份x1x2x3x4x5k = 020801404020300k = 134561286224304k = 241511117532310k = 34451998141316k = 44652928249321k = 547538882553252.5.2 人口空间状态模型人口系统是一个复杂的社会动态系统。为了分析生育率、死亡率及迁移等因素对人口系统的影响，我国一些学者应用空间状态分析法建立了描述人口动态结构的状态空间模型。设时刻人口系统内年满岁但不足岁的人数为,则用这组变量就能描述给定的人口系统。人口系统变化过程可用图2-7表示。引起人口系统状态变化的主要因素包括：低一年龄的人口成长、系统的外迁人口、本年龄的人口年龄增加进入下一年龄人口、迁出人口和死亡人口。时刻年满岁不足岁的人口，经过1年时间，减去其间死亡的，再加上其间随机净增长，就是时刻年满岁而不足岁的人口数。迁出i+1岁t-1tt+1 年i-1i成长迁入死亡成长图2-7 人口结构状态设为时刻岁的人口数，建立如下人口状态模型式中，为年度（即时刻至时刻）岁人口的按龄死亡率，表示年龄组人口中在第年度内死亡人口所占的比例；为年度岁人口的随机增长率（即在时刻至时刻内迁入或迁出的年龄为的人口数，其中迁入为正，迁出为负）；是时刻存留的不满周岁的婴儿总数，是时刻以前1年内出生的婴儿总数，是婴儿的后向死亡率；是性比例函数；是妇女生育模式，满足格式化条件，其中表示妇女的育龄区间；是妇女平均生育率，即平均每个妇女一生所生孩子数。由上述给出的递推模型可以看出，只要给定的人口状态，以及按龄死亡率、女性人口比、按年龄的妇女平均生育婴儿个数等，就可以递推得到未来各年份的人口状态向量的预测值。并且，通过确定不同的总和生育率即一对夫妇终生生育的婴儿数，还可以分析不同的人口控制方案的预测结果。此外，在预测的基础上，还可以定义不同的人口系统的特征指标来分析人口系统的结构、性质及变化趋势，如总人口、总人口平均年龄、人口平均寿命、老龄化指数、劳动力总数、劳动力指数、社会抚养指数等。2.6 系统动力学模型2.6.1 基本概念系统动力学（System Dynamics，简称SD）是美国麻省理工学院J.W.Forrester教授提出的一种研究复杂系统的方法。该方法实际上是一种仿真方法，通过对系统结构因果关系的分析，设计出反映系统行为的反馈回路，建立相应的方程式，最终建立系统动态模型，以此为基础对系统进行仿真实验。系统动力学适用于城市系统、社会经济系统、企业管理系统、公共事业系统、生态系统以及其他复杂的社会系统的分析、预测和决策，具有以下特点：系统动力学问题是动态的问题，这些问题通常是用随时间连续变化的量来表示的，如人口变化、资源变化等。应用系统动力学研究复杂系统，能够容纳大量变量，一般可达数千个以上。系统动力学模型，既有描述系统各要素之间因果关系的结构模型，以此来认识和把握系统结构，又有专门形式表现的数学模型，据此进行仿真实验和计算，以掌握系统的未来动态行为。因此，系统动力学是一种定性分析和定量分析相结合的仿真技术。在系统动力学模型中，能够设定各种控制因素，当改变输入的控制因素（例如不同的组织状态、经济参数或不同的政策因素）时，可观察系统的行为和变化的趋势，对系统进行动态模拟。系统动力学通过模型进行仿真计算的结果，都用预测未来一定时期内各种变量随时间而变化的曲线来表示，也就是说，系统动力学能处理高阶次、非线性、多重反馈的复杂时变的复杂系统的有关问题。2.6.2 系统的因果反馈回路复杂系统总是由许多因果反馈回路偶合而成的。系统动力学就是使用反馈来揭示原因和寻找解决问题的办法，因果关系是构成系统动力学模型的基础。所谓反馈回路是指由两个或两个以上具有因果关系的变量，以因果关系彼此连接而成的闭合结构。如图所示，因果关系可以用连接因果要素的带有箭头的有向边来描述。因果关系按其影响作用的性质可分为正因果关系和负因果关系，可分别用符号+和表示正和负的因果关系。正因果关系表明当原因引起结果时，原因和结果的变化方向是一致的，负因果关系则与之相反。例如在图2-8中，生产增加和收入增加就是一种正因果关系，而商品减少和生产增加则是一种负因果关系。生产增加商品减少收入增加+-订货速度库存差额库存量-+-a-正反馈回路b-负反馈回路图 2-8 正、负反馈回路与此相类似，因果关系构成反馈回路后，按照整个反馈回路的效果，反馈回路也可分为正反馈回路和负反馈回路，如图2-6a和图2-6b所示。在正反馈回路中，任何变量的变动能造成该变量自我增强变动的效果。例如在图中，由于国民收入增加使购买力增强，致使商品数量减少，从而促使生产量增加，反过来，生产量增加又会使国民收入增加。在负的反馈回路中，任何变量的变动，具有能造成该变量产生抑制变动的效果，即具有自我调整的特性。例如在图中，如果商店的库存量增加，就会使得库存差额（即期望库存量与实际库存量之差）减少，从而商店向生产工厂的订货速度也放慢，反过+-+人口密度平均寿命死亡率人口生育率出生率+-+-图 2-9 复杂因果关系回路来，订货速度放慢就会造成库存量减少，从而起到自我调节和平衡的作用。复杂的社会系统通常都是由一些相互关联的反馈回路组成的，图2-9就是一个复杂的因果关系回路，它表示从生态学看人口增长的因果关系，由一个正反馈回路和三个负反馈回路构成。由于正、负回路影响的相互作用，常常可以使一个系统经过起伏振荡而逐步趋于稳定。信息水平(系统的表现水平)水平(系统状态)决策源汇图 2-10 决策反馈回路基本结构2.6.3 系统结构和动态行为因果反馈回路表达了系统发生变化的原因，但这种定性描述还不能确定使回路中的变量发生变化的机制。为了建立系统动力学方程，可进一步用反馈决策回路表示系统各元素间的关系，其基本结构可用图2-10表示。在这里源（或汇）可认为是回路的环境，决策是回路的控制行为。系统状态表示系统的真实情况，而系统的表现水平则是系统状态的情报信息，在时间上通常有所滞延。4012312