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9.7第一型曲面积分的计算一、第一型曲面积分的概念与性质 定义 设是光滑的，在。任意分成（也同时代表第曲面的面积），任取，作和式，设，如果当时，这和式的极限总存在，则称此极限为在曲面的第一型曲面积分或对面积的曲线积分，记作，即 ，其中称为被积函数，积分曲面。 注：（1）当在光滑曲面连续时，存在。 （2）面密度为连续函数的光滑曲面质量为。 （3）第一型曲面积分具有与第一型曲线积分相类似的性质。一、第一型曲面积分的计算法 设光滑曲面方程为， 面上的投影区域为，函数在上有一阶连续偏导数，如果在上连续，则有 。 注：（1）在计算第一型曲面积分时，只要将被积函数中的，曲面的面积元素，换成其投影区域即可。（2）若曲面方程为，则 ，（3）若曲面方程为，则 。（4）时，。化为二重积分后与重积分应用中求曲 面面积公式一致。例1 计算曲面积分，其中是球面被平面截 出的顶部。解：方程为， 面上的投影区域为 ：， 又， 。例2计算，其中由平面，及所围成的四 面体的整个边界曲面。解：整个边界曲面在平面，及上的部分依次记为， ，于是 在，上， 。 ， ， 。例3计算，其中是由锥面被柱面所 截得的有限部分。解：关于而对称，而，被积函数中都是奇函数， ，。 ， ， 。例4计算，其中：，。解：曲面关于平面和平面对称
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