一个重要公式在电磁学中的应用1.docx

一个重要公式在电磁学中的应用孟雨（河南郑州大学 物理工程学院 450001）摘要：本文综合文献、，总结出一个在求解磁感应强度中非常简便和常用的式子： 021（1-k2sin2(x)）32*dx=11-k2*02(1-k2sin2(x)12*dx （1）其中 0k1.通过此式子并结合椭圆积分求解了载流圆线圈在平面中磁感应强度分布。关键词：载流圆线圈、椭圆积分一、 公式（1）的证明021（1-k2sin2(x)）32*dx=01dt(1-t2)12*(1-k2t2)32 （2） 11-k2*02(1-k2sin2(x)12*dx=11-k2*01(1-k2t21-k2)12*dt （3）上式中作变量替换 t=sinx ,得（2）-（3）=01k2(k2t4-2t2+1)(1-t2)12(1-k2t2)12*dt容易证明:ddtk2t1-t21-k2t212=k2*1-t21-k2t2 -k2t2*1-k2(1-t2)12(1-k2t2)32=k2(k2t4-2t2+1)(1-t2)12(1-k2t2)12 （4）对（4）两边同时对t从0到1积分，注意到左边定积分为零，得021（1-k2sin2(t)）32*dx=11-k2*02(1-k2sin2(t)12*dx（1） 式得证。二、 椭圆积分在计算载流圆线圈磁感应强度前引入椭圆积分：第一类椭圆积分K=021-k2sin2t-12dt=2*1+(12)2k2+(1*32*4)2k4+(1*3*52*4*6)2k6+ （5）第二类椭圆积分E=02(1-k2sin2(t)12dt=2*1+(12)2k21+(1*32*4)2k43+(1*3*52*4*6)2k65+ （6）其中 0k1三、 载流圆线圈磁感应强度右图为空间中一闭合圆线圈，半径为R。不妨假设载流线圈中的电流I沿顺时针方向，易知曲线方程：x2+y2=R2y=0现计算该载流回路在空间任一点P(x0,y0,z0)处产生的磁感应强度。在载流回路上任一微元，其与x轴正方向夹角为，如上图所示。易知其位置坐标为（Rcos,0,Rsin）。则P点到该微元的距离 r=Rcos-x2+y2+Rsin-z2. 源点到场点的单位方向矢量 er=1r*(x-Rcos,0,z-Rsin)由 B=o4*IdeLerr2 得 B=Io4*delerr2*dL其中 eler=1r*ijk-sin0cosx-Rcosyz-Rsin=1r*(-y* Rcos,x*cos+z*sin-R,-y* sin)由 R=L得：dL=Rd 故BX=0402IR-ycosr3*dBY=0402IRR-xcos-zsinr3BZ=0402IR-ysinr3*d*d现计算在xoy平面内磁感应强度分布：令 z=0 ,则BX=-l0Ry2*0cos(2R2-Rxcos)32*d=l0y2x*02R2-Rxcos-2R2(2R2-Rxcos)32d=l0y2x*0d(2R2-Rxcos)12-2R2*0cos(2R2-Rxcos)32*d做变量替换 =-2t ,得BX=l0y2x*022dx(2R2+Rx-Rxcos)12-4R202dx(2R2+Rx-Rxcos)32=l0y2x*2(2R2+Rx)12*02dx(1-k2sin2(t)12-4R2(2R2+Rx)32*02dx(1-k2sin2(t)32 其中 k2=2Rx2R2+Rx1由（1）、（5），（6）得BX=l0y2x*2(2R2+Rx)12K-4R2(2R2+Rx)32*11-k2*E (7)同理可得BY=l02(2R2+Rx)12*3R21-R2*2R2+Rx*E-2K (8)BZ=-l0Ry4*02sind(2R2-Rxcos)32=l0y4x*02d(2R2-Rxcos)(2R2-Rxcos)32=0 (9)式（7）、（8）、（9）就是载流圆线圈在平面xoy内产生的磁感应强度分布。参考文献：【1】 张之翔 电磁学中几个简单问题里的椭圆积分 期刊论文-大学物理2002.21