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第4课时空间向量与空间距离 a l a 复习回顾 a b b1 a1 1 会求直线的方向向量 平面的法向量 2 会利用向量求点到点 点到线 点到面的距离 重点 3 会利用向量求线到线 线到面 面到面的距离 重点 探究点1空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算 利用公式或 其中 可将两点距离问题转化为求向量模长问题 探究点2点到直线的距离 点p与直线l的距离为d 则 设e为平面 外一点 f为 内任意一点 为平面 的法向量 则点e到平面的距离为 探究点3点到平面的距离 a b是异面直线 e f分别是直线a b上的点 是a b公垂线的方向向量 则a b间距离为 探究点4异面直线间的距离 探究点5平面与平面的距离问题 a p分别是平面a与b上任意一点 平面a与b的距离为d 则 m d c p a 例1 如图1 一个结晶体的形状为四棱柱 其中 以顶点a为端点的三条棱长都相等 且它们彼此的夹角都是60 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系 解 如图1 设 化为向量问题 依据向量的加法法则 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线ac1的长是棱长的倍 例2如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 1 求证 pa 平面edb 2 求证 pb 平面efd a b c d p e f 3 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f 解 如图所示建立空间直角坐标系 点d为坐标原点 设dc 1 1 证明 连接ac ac交bd于点g 连接eg 3 例3如图 一块均匀的正三角形面的钢板所受重力为500n 在它的顶点处分别受力 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60o 且 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动 这三个力最小为多大时 才能提起这块钢板 分析 钢板所受重力的大小为500n 垂直向下作用在三角形的中心o 如果能将各顶点处所受的力用向量形式表示 求出其合力 就能判断钢板的运动状态 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为1 e为d1c1的中点 求b1到面a1be的距离 a b c c1 e a1 b1 a b c c1 取x 1 则y 1 z 1 所以 e a1 b1 利用向量求距离 1 点到平面的距离 连接该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影 如果不知道判断方向 可取其射影的绝对值 2 点到直线的距离 求出垂线段的向量的模 3 直线到平面的距离 可以转化为点到平面的距离 4 平行与平面间的距离 转化为直线到平面的距离 点到平面的距离 5 异面直线间的距离 转化为直线到平面的距离 点到平面的距离 也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线
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