高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.1 任意角的三角函数及三角恒等变换教学课件.ppt

专题三三角函数及解三角形第一讲任意角的三角函数及三角恒等变换 主干知识 1 必记公式 1 同角三角函数之间的关系 平方关系 商数关系 2 诱导公式 公式 s 2k s s 巧记口诀 奇变偶不变 符号看象限 当锐角看 sin2 cos2 1 3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 sin cos tan 辅助角公式 asin bcos cos sin cos cos sin cos cos sin sin 4 二倍角的正弦 余弦 正切公式 sin2 cos2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 5 降幂公式 sin2 cos2 2sin cos cos2 sin2 2 易错提醒 1 同角关系应用错误 利用同角三角函数的平方关系开方时 忽略判断角所在的象限或判断出错 导致三角函数符号错误 2 诱导公式的应用错误 利用诱导公式时 三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错 3 忽视角的范围 给值求角或给值求值时 忽视角的范围 考题回顾 1 2014 绍兴模拟 cos38 sin98 cos52 sin188 的值为 解析 选c cos38 sin98 cos52 sin188 sin98 cos38 cos98 sin38 sin 98 38 2 2014 温州模拟 已知 为锐角 cos tan 则tan 的值为 解析 选b 因为 为锐角 cos 所以tan tan tan 3 2013 新课标全国卷 已知sin2 则cos2 解题提示 利用 降幂公式 将cos2 化简 建立与sin2 的关系 可得结果 解析 选a 因为 4 2013 浙江高考 已知 r sin 2cos 则tan2 解析 选c 5 2014 嘉兴模拟 若的值为 解析 选b 因为cos cos sin 所以cos 热点考向一三角函数的定义 考情快报 典题1 1 2014 杭州模拟 已知角 的终边上一点的坐标为则角 的最小正值为 2 2014 南昌模拟 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 信息联想 1 看到终边 上一点的坐标想到 2 看到终边在直线y 2x上 想到 看到cos2 想到 三角函数的定义 三角函数的定义 二倍角公式 规范解答 1 选c 由三角函数的定义知 所以 是第四象限角 因此 的最小正值为 2 选b 方法一 在角 的终边上任取一点p a 2a a 0 则r2 op 2 a2 2a 2 5a2 所以cos2 cos2 2cos2 1 1 方法二 由方法一知tan 2 cos2 cos2 sin2 互动探究 若将本例 1 中点的坐标变为则结果如何 解析 选d 由三角函数定义知 所以 是第四象限角 的最小正值为 规律方法 运用定义可求解的两类问题1 求三角函数值 或角 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时 一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值 再求其他 但当角经过的点不固定时 需要进行分类讨论 2 建模由于三角函数的定义与单位圆 弧长公式等存在一定的联系 因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系 变式训练 1 2014 广州模拟 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 角 的终边与单位圆交于点a 点a的纵坐标为 则cos 解析 易知a点的横坐标为 所以cos 答案 2 角速度为的质点p 从点 1 0 出发 逆时针沿单位圆x2 y2 1运动 经过17个时间单位后 点p的坐标是 解析 经过17个单位时间 质点运动的弧度是 此时质点p在角 的终边上 即在的终边上 根据三角函数的定义 此时该点的坐标是答案 加固训练 1 2014 绍兴模拟 已知角的终边上有一点p 1 a 则a的值是 解析 选d 由三角函数的定义可知 2 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标为 解析 设a 2 0 b 2 1 由题意知劣弧长为2 abp 2 设p x y 则x 2 1 cos 2 2 sin2 y 1 1 sin 2 1 cos2 所以的坐标为 2 sin2 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 热点考向二同角三角函数间的基本关系及诱导关系 考情快报 典题2 1 2014 湖州模拟 若sin 且 则sin 2 2014 安庆模拟 已知 1 求下列各式的值 cos2 sin cos 2 信息联想 1 看到sin sin 想到 2 看到 想到 看到 想到 诱导公式及二倍角公式 商数关系 诱导公式 规范解答 1 选b sin sin 又 规律方法 1 利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法 1 切弦互换法 利用tan 进行转化 2 和积转化法 利用 sin cos 2 1 2sin cos 进行变形 转化 3 常值代换法 其中之一就是把1代换为sin2 cos2 同角三角函数关系sin2 cos2 1和tan 联合使用 可以根据角 的一个三角函数值求出另外两个三角函数值 根据tan 可以把含有sin cos 的齐次式化为tan 的关系式 2 利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点 1 函数名称和符号 利用诱导公式化简求值时 先利用公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数 其步骤是 去负 脱周 化锐 求值 特别注意解题过程中函数名称和符号的确定 2 开方 在利用同角三角函数的平方关系时 若开方特别注意根据条件进行讨论取舍 3 结果整式化 解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能整式化 变式训练 1 2014 北京模拟 若sin 3 0 则tan 解析 由sin 3 0 得sin cos 故tan 答案 2 直线2x y 1 0的倾斜角为 则的值为 解析 由题意可知 tan 2 则答案 加固训练 1 已知2sin sin 0 则sin2 sin cos 2cos2 解析 选d 因为2sin sin 0 所以tan 2 sin2 sin cos 2cos2 2 计算 tan300 解析 tan300 tan 360 60 tan60 答案 3 已知 为第二象限角 sin cos 则cos2 解析 因为sin cos 所以两边平方得1 2sin cos 所以2sin cos 0 因为已知 为第二象限角 所以sin 0 cos 0 sin cos 所以cos2 cos2 sin2 cos sin cos sin 答案 热点考向三三角恒等变换 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一利用三角恒等变换求值 求角 典题3 1 2014 天津模拟 已知则cos sin 等于 2 已知锐角 满足sin cos 则 信息联想 1 看到想到 2 看到求 想到 利用诱导 公式 差角公式 倍角公式化简 先求出 的某一三角函数值 规范解答 1 选d 命题角度二利用三角恒等变换化简 典题4 1 2014 金华模拟 已知函数f x 2sinx cosx sinx 1 若f x 为偶函数 则 可以为 2 2014 西安模拟 已知函数f x 2cos2x 1 sin2x cos4x 求f x 的最小正周期及最大值 若 且f 求 的值 信息联想 1 看到f x 的表达式 想到 2 看到f x 2cos2x 1 sin2x cos4x 求最小正周期及最大值 想到 利用三角恒等 变换将f x 化为y asin x 的形式 将f x 化为f x asin x 的形式 规范解答 1 选b f x 2sinxcosx 2sin2x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 因为f x 为偶函数 所以 2 k k z 当k 1时 2 因为f x 2cos2x 1 sin2x cos4x cos2xsin2x cos4x sin4x cos4x sin 4x 即f x sin 4x 所以f x 的最小正周期为 最大值为 因为f 所以sin 4 1 因为 所以4 所以4 规律方法 三角恒等变换的思路与方法1 思路 1 和式 降次 消项 逆用公式 2 三角分式 分子与分母约分或逆用公式 3 二次根式 切化弦 变量代换 角度归一 2 方法 1 弦切互化 一般是切化弦 2 常值代换 特别是 1 的代换 如1 sin2 cos2 tan45 等 3 降次与升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式 降幂公式 降次 4 公式的变形应用 如sin cos tan sin2 tan tan tan 1 tan tan 1 sin sin cos 2等 5 角的合成及三角函数名的统一 asin bcos sin tan 6 角的拆分与角的配凑 如 可视为 2 的半角等 变式训练 1 若则 解析 因为则所以答案 2 已知函数f x sin2x cos2x x r 1 求f x 的最大值和最小正周期 2 若 是第二象限的角 求sin2 解析 1 因为f x 2 sin2x cos2x 2 cossin2x sincos2x 2sin 2x 所以f x 的最大值为2 最小正周期为t 2 由 1 知 f x 2sin 2x 所以f 2sin 即sin 又 是第二象限的角 所以cos 所以sin2 2sin cos 加固训练 1 求值 解析 由题意得 答案 2 已知的值为 解析 由答案 3 已知函数f x 2sinxcosx cos2x x r 1 当x取什么值时 函数f x 取得最大值 并求其最大值 2 若 为锐角 且f 求tan 的值 解析 1 f x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x所以当2x 2k k z 即x k k z 时 函数f x 取得最大值 其最大值为 2 因为所以cos2 因为 为锐角 即0 所以0 2 所以sin2 所以tan2 所以所以 tan 1 tan 0 所以tan 或tan 不合题意 舍去 所以tan 备选考向 三角恒等变换与平面向量 解三角形的交汇问题 典题 已知锐角三角形abc中 向量m 2 2sinb cosb sinb n 1 sinb cosb sinb 且m n 1 求角b的大小 2 当函数y 2sin2a cos取最大值时 判断三角形abc的形状 解析 1 因为m n 所以m n 0 即 2 2sinb 1 sinb cosb sinb cosb sinb 0 即3 4sin2b 0 sinb 又因为 abc为锐角三角形 所以b 2 由 1 知b 所以y 2sin2a cos 2sin2a cos sin2a cos2a 1 sin 2a 1 当2a 时 即a 时y有最大值 此时a b c 所以三角形abc是正三角形 规律方法 与三角恒等变换交汇问题的解题思路 1 与平面向量交汇 利用平面向量坐标表示 数量积 向量的模 向量的夹角等进行运算 将平面向量问题转化为三角恒等变换问题 2 与三角形交汇 利用三角形内角和为180度 确定角的范围 有时结合正余弦定理解答 加固训练 已知a 1 cosx b sinx x 0 1 若a b 求的值 2 若a b 求sinx cosx的值 解析 1 因为a b 所以sinx cosx 所以tanx 所以 2 因为a b 所以 sinxcosx 0 所以sinxcosx 所以 sinx cosx 2 1 2sinxcosx 又因为x 0 且sinxcosx 0 所以x 所以sinx cosx 0 所以sinx cosx 转化与化归思想 解决三角恒等变换问题 思想诠释 三角恒等变换中应用转化与化归思想的常见类型1 求值 求角 三角中的给值求值或给值求角问题 常需根据三角函数式中角或名或结构的差异 进行弦切间名称的转化 和差角 倍角 半角与单角的转化 三角函数分式与整式 降次与升幂的结构的转化等 2 研究三角函数的图象与性质 常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y asin x b 或y acos x b y atan x b 的形式 进而利用函数y sinx 或y cosx y tanx 的图象与性质解决问题 典例分析 典题 2014 西安模拟 已知角 的顶点在原点 始边与x轴的正半轴重合 终边经过点p 3 1 求sin2 tan 的值 2 若函数f x cos x cos sin x sin 求函数y 在区间 0 上的取值范围 思想联想 1 知道 终边经过点p 可得 的三角函数值 联想到转化与化归思想 将待求式用 的三角函数表示 代入求值 2 题目涉及求y的