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2005年第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组）一、 填空（20分）1.，且，则.解 由，得，利用方程，得，得.2，为无穷间断点，为可去间断点，则.解 3. 则.解 .4. 则.解 5. 则.解 其中,得,得得.6.解 .7. 则解 8. 则解 9.,周长为,则解 10.设或则级数的和为_.解 =.二、存在，且求.解 问题：可能是设连续，积分才有意义。三、，作图形并指出去单调区间，最值，极值，拐点.解 单调增加。，极小值=单调减少。没有拐点.为极大值，并且为最大值。四、，求.解 ,得.=.注意:上面表示必须.所以题设有一点问题.五、求常数的值，使函数在点处在轴正向的方向导数有最大值64.解 即在，有.得.六、是原点到上点处的切平面的距离，计算.七、在上连续且单调增加，证明不等式.证 方法1 自变量变换（利用定积分定义或在上作变量变换.）方法2 函数变换.方法3 与等价,不仿设,得.方法4 设,.当,可以用逼近或用定积分定义证明. 方法5 八、证明方程有且仅有三个实根.证 记.,所以存在至少三个零点，不可能有三个以上零点。九、（1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数(2). 举例说明存在收敛的正项级数,但.解 （1）(2) 1: =,得2:丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有一、78七、设生产某产品必须投入三种要素，分别是三种要素的投入量，为产量，为正数，三种要素的价格分别是，当产量一定时，三种要素的适当投入可使总费用最小。证明最小投入总费用与产量比为常数，并且求此常数.解 利用Lagrange方法，求在条件下的最小值。得.八、当有，证明当时
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