全效学习（浙江专版）中考数学总复习 第32课时 相似形课件.ppt

第十单元相似形 第32课时相似形 1 如图32 1 已知直线a b c 直线m n与a b c分别交于点a c e b d f ac 4 ce 6 bd 3 则bf a 7b 7 5c 8d 8 5 小题热身 图32 1 b 2 2014 南京 若 abc a b c 相似比为1 2 则 abc与 a b c 的面积的比为 a 1 2b 2 1c 1 4d 4 1 c 3 如图32 2 边长为4的等边 abc中 de为中位线 则四边形bced的面积为 图32 2 b 4 如图32 3 梯形abcd中ad bc 对角线ac bd相交于点o 若ao co 2 3 ad 4 则bc等于 a 12b 8c 7d 6 d 图32 3 一 必知6知识点1 相似图形相似图形 形状相同的图形称为相似图形 相似多边形 对应角 对应边 的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做 相似三角形 对应角 对应边 的三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比叫 通常用字母k表示 全等三角形是相似比为 的特殊的相似三角形 考点管理 相等 成比例 相似比 1 相等 成比例 相似比 黄金分割 如果点p把线段ab分成两条线段ap和pb 使ap pb 且 那么称线段ab被点p黄金分割 点p叫做线段ab的黄金分割点 所分成的较长一条线段ap与整条线段ab的比叫做黄金比 黄金比为 一条线段的黄金分割点有 个 2 3 由平行线截得的比例线段定理 两条直线被一组平行线 不少于3条 所截 所得的对应线段 4 相似三角形的性质性质 1 相似三角形的对应角 对应边 2 相似三角形周长之比等于 3 相似三角形的面积之比等于相似比的 4 相似三角形的对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比都等于 成比例 相等 相似比 平方 成比例 相似比 5 相似三角形的判定方法预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1 两个角 的两个三角形相似 判定定理2 两边对应成比例 且 的两个三角形相似 判定定理3 三边对应 的两个三角形相似 对应相等 夹角相等 成比例 智慧锦囊 重要结论 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似 如图32 4 rt abc中 cd是斜边上的高 则 abc cbd acd 图32 4 6 相似多边形的性质性质 1 相似多边形的周长之比等于 2 相似三角形的面积之比等于相似比的 相似比 平方 二 必会2方法1 相似三角形的基本图形 1 平行线型 如图32 5 若cd ab 则有 ocd oab 图32 5 2 斜线型 如图32 6 若 1 a 则有 ocd oab 特别是右图中 当 ocd oab 有oc2 oa od 图32 6 3 旋转型 如图32 7 若 1 2 且od oa oc ob 或 1 2 d a 则有 ocd oba 图32 7 2 分类讨论思想近几年中考常出现有关相似形的多解问题 这类题特征是不给出几何图形 要求分类讨论 不要漏解 三 必明3易错点1 求两条线段的比时 对这两条线段要用同一长度单位 2 证明两个三角形相似时 要注意将对应顶点写在对应位置上 3 相似多边形的面积比等于相似比的平方 要注意与周长比的区别 类型之一平行线分线段成比例定理 图32 8 2015 成都 如图32 9 在 abc中 de bc ad 6 bd 3 ae 4 则ec的长为 a 1b 2c 3d 4 b 图32 9 类型之二相似三角形的判定 2015 咸宁 如图32 10 在 abc中 ab ac a 36 bd为角平分线 de ab 垂足为e 1 写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形 2 选择 1 中一对加以证明 解析 1 利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质作答 2 利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法 图32 10 解 1 ade bde abc bdc 2 证明 ab ac a 36 abc c 72 bd为角平分线 图32 11 2 acd cbd a bcd 在 acd中 adc 90 a acd 90 bcd acd 90 即 acb 90 2 2015 滨湖区二模 如图32 12 在平行四边形abcd中 ae bc于e af cd于f bd分别与ae af相交于g h 1 在图中找出与 abe相似的三角形 并说明理由 2 若ag ah 求证 四边形abcd是菱形 图32 12 解 1 abe adf 理由如下 ae bc于e af cd于f aeb afd 90 四边形abcd是平行四边形 abe adf abe adf 2 证明 ag ah agh ahg agb ahd abe adf bag dah bag dah ab ad 四边形abcd是平行四边形 ab ad 平行四边形abcd是菱形 点悟 判定两个三角形相似的常规思路 先找两对对应角相等 若只能找到一对对应角相等 则判断相等的角的两夹边是否对应成比例 若找不到角相等 就判断三边是否对应成比例 另外还可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的 传递性 类型之三相似三角形的性质 2015 铜仁 如图32 13 在平行四边形abcd中 点e在边dc上 de ce 3 1 连结ae交bd于点f 则 def的面积与 baf的面积之比为 a 3 4b 9 16c 9 1d 3 1 解析 四边形abcd为平行四边形 dc ab dfe bfa 图32 13 b de ec 3 1 de dc 3 4 de ab 3 4 s dfe s bfa 9 16 1 2015重庆 已知 abc def 若 abc与 def的相似比为2 3 则 abc与 def对应边上的中线的比为 解析 相似三角形对应中线的比等于相似比 2 2015 自贡 一副三角板叠放位置如图32 14 则 aob与 cod的面积之比为 图32 14 2 3 1 3 解析 首先设bc x 根据题意可得 abc dcb 90 ab bc d 30 即可求得cd与ab的长 又可得 aob cod 又由相似三角形的面积比等于相似比的平方 即可求得 aob与 cod的面积之比 解析 首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 证得 ade acb 再由相似三角形面积的比等于相似比的平方求解 图32 15 ade acb s ade s acb ae ab 2 1 4 s ade s四边形bced 1 3 故选c 点悟 相似三角形面积的比等于相似比的平方 类型之四相似三角形与圆 2015 黄冈 已知 如图31 16 在 abc中 ab ac 以ac为直径的 o交ab于点m 交bc于点n 连结an 过点c的切线交ab的延长线于点p 图31 16 解析 1 由ac为 o直径 得到 nac acn 90 由ab ac 得到 ban can 根据pc是 o的切线 得到 acn bcp 90 2 由等腰三角形的性质得到 abc acb 根据圆内接四边形的性质得到 pbc amn 证出 bpc mna 证明 1 ac为 o直径 anc 90 can acn 90 ab ac ban can pc是 o的切线 acp 90 acn bcp 90 bcp can bcp ban 1 2015 威海 如图32 17 在 abc中 ab ac 以ac为直径的 o交ab于点d 交bc于点e 1 求证 be ce 2 若bd 2 be 3 求ac的长 解析 1 连结ae 根据圆周角定理 由ac为 o的直径得到 aec 90 然后利用等腰三角形的性质即可得到be ce 2 连结de 证明 bed bac 然后利用相似比可计算出ab的长 从而得到ac的长 图32 17 解 1 证明 连结ae 如答图 ac为 o的直径 aec 90 ae bc 又 ab ac be ce 2 连结de 如答图 be ce 3 bc 6 bed dec bac dec 180 bed bac 又 dbe cba bed bac 变式跟进1答图 2 2015 东营 如图32 18 已知在 abc中 abc 90 以ab上的一点o为圆心 以oa为半径的圆交ac于点d 交ab于点e 1 求证 ac ad ab ae 2 如果bd是 o的切线 d是切点 e是ob的中点 当bc 2时 求ac的长 解析 1 连结de 根据圆周角定理求得 ade 90 得出 ade abc 进而证得 ade abc 2 连结od 根据切线的性质求得od bd 在rt obd中 根据已知求得 obd 30 进而求得 bac 30 根据30 的直角三角形的性质求得ac的长 图32 18 解 1 证明 连结de 如答图 ae是直径 ade 90 ade abc dae bac ade abc ac ad ab ae 变式跟进2答图 2 连结od 如答图 bd是 o的切线 od bd 在rt obd中 oe be od ob 2od obd 30 bac 30 在rt abc中 ac 2bc 2 2 4 3 2015 柳江县二模 如图32 19 ab是 o的直径 点c是 o上一点 ad与过点c的切线垂直 垂足为点d 直线dc与ab的延长线相交于点p 弦ce平分 acb 交ab于点f 连结be 1 求证 ac平分 dab 2 求证 pc pf 图32 19 解 1 证明 pd切 o于点c oc pd 又 ad pd oc ad aco dac oc oa aco cao dac cao 即ac平分 dab 2 证明 ad pd dac acd 90 又 ab为 o的直径 acb 90 pcb acd 90 dac pcb 又 dac cao cao pcb ce平分 acb acf bcf cao acf pcb bcf pfc pcf pc pf 3 pac pcb p p pac pcb 设pc 4k pb 3k 则在rt poc中 po 3k 7 oc 7 pc2 oc2 op2 4k 2 72 3k 7 2 k 6 k 0 不合题意 舍去 pc 4k 4 6 24 类型之五相似三角形对应高的比的应用 2015 武汉 已知锐角 abc中 边bc长为12 高ad长为8 1 如图32 20 矩形efgh的边gh在bc边上 其余两个顶点e f分别在ab ac边上 ef交ad于点k 设eh x 矩形efgh的面积为s 求s与x的函数关系式 并求s的最大值 2 若ab ac 正方形pqmn的两个顶点在 abc一边上 另两个顶点分别在 abc的另两边上 直接写出正方形pqmn的边长 图32 20 1 一张等腰三角形纸片 底边长15cm 底边上的高为22 5cm 现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条 如图32 21所示 已知剪得的纸条中有一张是正方形 则这张正方形纸条是 a 第4张b 第5张c 第6张d 第7张 c 图32 21 2 2014 绍兴 如图32 22 课本中有一道作业题 有一块三角形余料abc 它的边bc 120mm 高ad 80mm 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在bc上 其余两个顶点分别在ab ac上 问加工成的正方形零件的边长为多少毫米 小颖解得此题的答案为48mm 小颖善于反思 她又提出了如下的问题 1 如果原题中所要加工的零件是一个矩形 且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 如图 此时 这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米 请你计算 2 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形