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6平面向量数量积的坐标表示 如果没有运算 向量只是一个 路标 因为有了运算 向量的力量无限 下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧 1 掌握 平面向量的数量积的坐标表示 这个重要的知识点 重点 2 会用 平面向量的数量积的坐标表示 的有关知识解决实际问题 如判断垂直 求模 夹角等 难点 思考1 向量的加法 减法 数乘都可以用 坐标语言 表示 向量的数量积能否由 坐标语言 来表示 若两个向量 请计算下列式子 设x轴上单位向量为 y轴上单位向量为 1 1 0 0 探索练习 这就是说 两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和 即 所以 练一练 求值 区分好横纵坐标 准确代入数值 精心计算 思考2 如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质 坐标表示为 1 垂直的充要条件 2 求模公式 坐标表示为 特别地 坐标表示为 3 夹角公式 例1已知 求向量与的夹角的余弦值 技巧方法 1 细心代入 精确计算 2 分步计算 化整为零 例2求以点c b 为圆心 r为半径的圆的方程 特别地 如果圆心在坐标原点上 这时a 0 b 0 那么圆的标准方程为x2 y2 r2 x o y c m 提升总结 设圆上任意一点m x y 构造向量 利用向量的模为定值 列出相等关系 化简即得所求曲线的方程 y x o 例3已知圆c x 2 y b 2 r2 求与圆c相切于点po xo yo 的切线方程 如图 c p0 p 若 0 b 0 圆的标准方程为x2 y2 r2 与它相切于p0 x0 y0 的切线方程为x0 x x0 y0 y y0 0 由于x02 y02 r2 故此方程可化为x0 x y0y r2 特别地 提升总结 将相关向量用坐标表示 根据互相垂直的向量的数量积等于零 写出表达式 直线的方向向量 由解析几何知 给定斜率为k的直线l 则向量 1 k 与直线l共线 我们把与直线l共线的非零向量称为直线l的方向向量 例4已知直线l1 3x 4y 12 0和l2 7x y 28 0 求直线l1和l2的夹角 解 任取直线l1和l2的方向向量 提升总结 利用斜率为k的直线l的方向向量为 1 k 写出直线l1和l2的方向向量 然后运用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值 从而求出夹角 注意 直线的夹角取值范围 0 当求出的向量的夹角为钝角时 应取其补角 1 已知a 1 2 b 4 0 c 8 6 d 5 8 则四边形abcd的形状是 3 给定两个向量 若 若 矩形 2 2013 湖北高考 已知点a 1 1 b 1 2 c 2 1 d 3 4 则向量在方向上的投影为 a b c d a 4 2014 江西高考 已知单位向量 3 5 已知向量 则 的最大值为 6 已知向量 求与的夹角 的余弦值 若向量与垂直 求 的值 理解和应用向量坐标表示的公式解决问题 1 数量积的坐标表示 2 向量坐标表示的求模公式 3
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