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文档简介

1 第五章非线性数规划NonlinearProgramming 1问题的提出 eg 1 某单位拟建一排厂房 厂房建筑平面如图所示 由于资金及材料的限制 围墙及隔墙的总长度不能超过80米 为使建筑面积最大 应如何选择长宽尺寸 分析 设长为米 宽为米 则有 f x 为非线性函数 2 例2设某物理过程具有如下规律用试验法 现要确定参数使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平方和为最小 且满足 3 非线性规划 目标函数或 和 约束条件为非线性函数的规划 分析 f x 为非线性函数 求最小 4 2基本概念 2 1非线性规划的数学模型数学模型的一般描述 5 或 6 2 2非线性规划的图示 例1求解如下非线性规划问题 7 分析 非线性规划的最优解可能在可行域的任一点达到 8 2 3极值问题 极值存在的条件 9 10 11 12 13 14 2 4凸函数与凸规划 1 凸函数与凹函数 15 函数f x 图示 16 2 凸性的判别 17 例3 18 3 凸函数的极值 对于定义在凸集上的凸函数 其极小点就是最小点 极小值就是最小值 4 凸规划下述问题为凸规划 19 凸规划的局部最优解为全局最优解 当凸规划的目标函数为严格凸函数时 若存在最优解 则最优解必定唯一 凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划 20 例如下非线性规划是否为凸规划 21 的海赛矩阵 所以 该问题为凸规划 22 如图所示 该问题最优解 最小点 在C点取得 23 5 下降迭代算法 下降迭代算法 24 几种终止迭代的准则 25 3无约束非线性规划的解法 无约束非线性规划的数学描述解法分类 解析法 用函数的解析性 一阶 二阶导数 梯度法 共扼梯度法 变尺度法等 直接法 用问题的函数值 步长加速法 26 梯度法 1 基本原理 27 对于充分小的 28 2 求解步骤 1 29 其中 重复迭代 直至满足精度为止 30 例 31 找下一点 32 于是 33 几何分析 对于等值线为圆的无约束极小化问题 不管初始点选在哪里 只要一次迭代即可求得最优解 34 4有约束的非线性规划 有约束非线性规划数学描述 35 4 1库恩 塔克 Kuha Tucker 条件 1 几何说明 36 对于 37 2 库恩 塔克 Kuha Tucker 条件 设 38 式中 39 例用K T条件求解如下非线性规划 40 引入乘子 41 讨论 练习P1917 77 17 b 42 4 2二次规划 二次规划的数学描述 43 1 二次规划的K T条件 求相应问题梯度 44 引拉格朗日乘子 45 2 线性规划描述 引入松弛变量及人工变量 46 取 47 于是得到相应的线性规划问题 48 以 49 例题 50 解 51 52 53 54 55 56 小结一 数学描述 数学模型的一般描述 57 二 极值问题 58 三 凸函数与凸规划 59 2 凸规划 下述问题为凸规划 60 四 无约束非线性规划 1 61 其中 62 五 有约束
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