高考数学 第十六章 第三节 几个著名的不等式及利用不等式求最大（小）值课件 理 苏教版.ppt

第三节几个著名的不等式及利用不等式求最大 小 值 1 几个著名的不等式柯西不等式的代数形式 设a b c d均为实数 则 ac bd 2 当且仅当 时等号成立 柯西不等式的向量形式 设是平面上的两个向量 则 当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立 a2 b2 c2 d2 ad bc 柯西不等式的一般形式 设n为大于1的自然数 ai bi i 1 2 n 为实数 则 等号当且仅当 时成立 当ai 0时 约定bi 0 i 1 2 n 2 三角形不等式 设x1 y1 x2 y2 x3 y3为任意实数 则 3 排序不等式 设两组实数a1 a2 a3 an与b1 b2 b3 bn 且它们满足 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn 若c1 c2 c3 cn是b1 b2 b3 bn的任意一个排列 则和数a1c1 a2c2 ancn在a1 a2 a3 an与b1 b2 b3 bn同序时最大 反序时最小 即a1b1 a2b2 anbn 等号当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时成立 a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 4 n个正数的算术 几何平均不等式 若a1 a2 an为正数 则等号当且仅当a1 a2 an时成立 称为n个正数a1 a2 an的算术平均数 称为这n个正数的几何平均数 它表明 n个正数的算术平均数 它们的几何平均数 不小于 2 利用不等式求最大 小 值 1 运用柯西不等式求最大 小 值 2 运用算术 几何平均不等式求最大 小 值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在二维形式的柯西不等式的代数形式中 取等号的条件可以写成 2 在柯西不等式的向量形式中 取等号时 两个向量的夹角是0 3 排序不等式说明了同序和 乱序和 反序和 解析 1 错误 当b d 0时 柯西不等式成立 但不成立 2 错误 两个向量和的夹角是0或 3 正确 由排序不等式的概念可知是正确的 答案 1 2 3 考向1运用著名不等式证明 典例1 2012 福建高考 已知函数f x m x 2 m r 且f x 2 0的解集为 1 1 1 求m的值 2 若a b c均为正数且求证 a 2b 3c 9 思路点拨 根据条件 容易求得m的值 再观察第 2 题 符合柯西不等式的特征 从而得证 规范解答 1 由f x 2 m x 0得 x m 从而由已知条件得m 1 2 由 1 得由柯西不等式得当且仅当a 2b 3c时取等号 拓展提升 运用算术 几何平均不等式与柯西不等式的证明思路用算术 几何平均不等式与柯西不等式证明不等式时 可直接应用其结论 也可将要证的不等式拆成若干个不等式的和或积 再利用著名不等式证之 变式训练 设a b c为正实数 求证 证明 方法一 因为a b c为正实数 由平均不等式可得即所以而所以当且仅当时取等号 方法二 不妨设a b c 则 当且仅当a b c 时取等号 考向2运用著名不等式求最值 典例2 已知正数x y z满足x y z 1 1 求证 2 求4x 4y 的最小值 思路点拨 本题第 1 题等价于求的最小值 因其分母分别为y 2z z 2x x 2y 其和恰为3 x y z 故运用柯西不等式求之 第 2 题的特征是正数x y z均在指数上 根据同底数幂的乘法法则 才能转化成和的形式 故运用均值不等式求之 规范解答 1 因为x 0 y 0 z 0 所以由柯西不等式得 y 2z z 2x x 2y x y z 2 又因为x y z 1 所以当且仅当时取等号 2 由均值不等式得因为x y z 1 所以x y z2 1 z z2 故当且仅当时等号成立 所以的最小值为 拓展提升 运用著名不等式求最值的注意点1 用算术 几何平均不等式求最大 小 值 要注意 一正 二定 三相等 2 用柯西不等式求最大 小 值 一要创造使用定理的条件 二要注意等号成立的条件 用柯西不等式求最大 小 值的关键是构造其特征 变式训练 已知a b c均为正数 证明 并确定a b c为何值时 等号成立 证明 方法一 因为a b c均为正数 由均值不等式得 所以 故 又 所以原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当时 式等号成立 即当且仅当时 原式等号成立 方法二 因为a b c均为正数 由基本不等式得a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 所以a2 b2 c2 ab bc ac 同理 故 所以原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当a b c ab 2 bc 2 ac 2 3时 式等号成立 即当且仅当时 原式等号成立 1 2013 苏州模拟 已知实数x y z满足x y z 2 求2x2 3y2 z2的最小值 解析 由柯西不等式得 x y z 2 x 2 y 2 z2 又 x y z 2 当且仅当即时等号成立 2x2 3y2 z2的最小值为 2 求函数f x sin3xcosx的最大值 解析 当sinxcosx 0时 函数f x 不可能取最大值 当sinxcosx 0时 f2 x sin6xcos2x 当且仅当时取等号 所以f x 的最大值是 3 2013 连云港模拟 已知不等式 a 1 x 2y 2z 对满足x2 y2 z2 1的一切实数x y z都成立 求实数a的取值范围 解析 x 2y 2z 2 12 22 22 x2 y2 z2 9 当且仅当时等号成立 a 1 3 解得 a 4或a 2 4 2013 常州模拟 设a b c均为正数 证明 证明 方法一 2a 2b 2c 当且仅当a b c时等号成立 即得方法二 利用柯西不等式取代入即证 5 已知正数x y z满足5x 4y 3z 10 1 求证 2 求的最小值 解析 1 根据柯西不等式 得 4y 3z 3z 5x 5x 4y 5x 4y 3z 2 当且仅当即时取等号 因为5x 4y 3z 10 所以 2 根据均值不等式 得当且仅当x2 y2 z2时 等号成立 根据柯西不等式 得 x2 y2 z2 52 42 32 5x 4y 3z 2 100 即x2 y2 z2 2 当且仅当时 等号成立 综上 当且仅当x 1 时 等号成立 所以的最小值为18 6 2013 南京模拟 已知函数f x x a 2 x b 2 x c 2 a b c为实数 的最小值为m 若a b 2c 3 求m的最小值 解析 因为f x x a 2 x b 2 x c 2 3x2 2 a b c x a2 b2 c2所以时 f x 取最小值a2 b2 c2 即m a2 b2 c2 因为a b 2c 3 由柯西不等式得 12 1 2 22 a2 b2 c2 a b 2c 2 9 所以m a2 b2 c2 当且仅当即时等号成立 所以m的最小值为 7 已知x y z均为正数 且x y z 1 求证 证明 又由于即当且仅当 x 1 2 y 1 2 z 1 2 即x y z 时取等号 8 若正数a b c满足a b c 1 1 求证 2 求的最小值 解析 1 由已知易得0 a b c 1 则a a2 a 1 a 0 即a a2 同理可得b b2 c c2 则a2 b2 c2 a b c 1 由柯