四边形专项训练(四)[1].doc

第四章 四边形专项训练（四）【例题精选】：例1：已知：如图7中，AB=AC，M为BC中点，GF、DE交于H，求证：四边形HGMD是菱形分析：由已知易证四边形HGMD是平行四边形，注意到是等腰三角形，M是底边中点故可以用等腰三角形的性质证明MG=MD（一组邻边相等）。证明：（垂直于同一直线的两直线平行）同理可证四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）AB=AC，M为BC中点M在的平分线上（三线合一）（角平分线上一点到角的两边的距离相等）o 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）例2：已知：如图8，o ，BC=2AB，M、N分别为AD、BC的中点，求证：分析：菱形的性质：对角线互相垂直。故只需证明以AC、MN为对角线的四边形是菱形即可。证明：连结AN、CMo ,M、N为AD、BC中点四边形ANCM是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又BC=2ABAB=BN是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）AN=BN=NCo是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（菱形的对角线互相垂直）例3：已知，如图9，矩形ABCD的四个内角的平分线组成四边形EFGH求证：四边形EFGH是正方形证明：（矩形四个角都是直角） （角平分线定义） 同理可证 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 又 又 矩形EFGH是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例4：已知：如图10，正方形ABCD，E是BC中点，F是DC上的点，且。求证：分析：因为正方形的各边都相等，四个角都是直角，可以采用计算的方法进行证明。这需要运用“勾股定理”及“勾股定理逆定理”。证明：连结AF正方形ABCD正方形各边都相等，四个角都是直角设CF=a，则BE=EC=2a，DF=3a，AB=AD=4a在中，根据勾股定理AE2=AB2+BE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理：在在根据勾股定理逆定理，是直角三角形，是直角例5：已知：如图11，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E是OB上一点，于G交OC于F求证：OE=OF证明一：正方形ABCD（正方形对角线相等且互相垂直平分）（同角的余角相等）OE=OF小结：注意到OB=OC，如果BE=CF，则有OE=OF。因此也可以证明。试与证法一比较各自涉及到了正方形的哪些性质。此外，如图12，能否通过证明，故只需证EFBC，证明如下：证明二：连结EF并延长交CD于H在由三角形的三条高线交于一点（等角对等边）例6：简答题：（1）中心对称和轴对称有何区别？（2）中心对称和中心对称图形有何区别与联系？答：（1）“对称”不同：中心对称有一个对称中心点，即中心对称关于点对称；而轴对称有一个对称轴直线，即轴对称关于直线对称。“转法”不同：中心对称是图形绕中心旋转；而轴对称是沿轴对折。都重合：中心对称旋转后，与另一图形重合；而轴对称翻折后，与另一图形也重合。（2）区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。联系：如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。【专项训练】：菱形的判定1、已知：如图13，矩形ABCD，对角线AC、BD交于O，作DEAC，CE/BD，DE、CE交于E求证：四边形OCED是菱形2、已知：如图14，边中点，CE、BE交于E。求证：四边形CDBE是菱形3、已知：如图15，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N求证：四边形BMDN是菱形 4、已知：如图16，在，BD是角平分线，于E，交BD于G，于F，连结FG求证：四边形DCGF是菱形正方形一、填空：1、对角线 的四边形是正方形；对角线 的平行四边形是正方形；对角线 的矩形是正方形；对角线 的菱形是正方形。2、如图17，在正方形ABCD的对角线BD上取BE=AB，过E作BD的垂线与CD交于点F，且，则ED= 3、如图18，正方形ABCD，以BC为边在内部作等边三角形BEC，连结AE、DE，则 4、如图19，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，AE与CD交于F，则 二、已知：如图20，于E，于F求证：四边形DECF是正方形。三、已知：如图21，四边形ACDE、BAFG是以的边AC、AB为边向外所作的正方形求证：（1）EB=FC（2）四、已知：如图22，正方形ABCD，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，延长BF交DE于G求证：中心对称和中心对称图形一、选择：1、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A等边三角形B平行四边形C矩形D菱形2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A等边三角形B等腰直角三角形C菱形D平行四边形3、下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A平行四边形B线段C角D正方形二、如图23，四边形ABCD和点P，求作四边形ABCD，使四边形