高考数学 3.7 正弦定理和余弦定理课件.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 正弦定理 2r r是 abc外接圆的半径 2 余弦定理 在 abc中 有a2 b2 c2 在 abc中 有 cosa cosb cosc b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 3 在 abc中 已知a b和a时 三角形解的情况 一解 两解 一解 一解 无解 2 必备结论教材提炼记一记 1 三角形的内角和定理 在 abc中 a b c 其变式有 a b 等 2 三角形中的三角函数关系 sin a b cos a b sin cos c sinc cosc 3 正弦定理的公式变形 a b c sina sinb sinc sina sinb sinc 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 代入法 边角转化法 2 数学思想 数形结合 分类讨论 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立 2 三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等 3 已知两边及其夹角求第三边 用余弦定理 4 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 5 在 abc中 若sina sinb 则a b 解析 1 正确 由正弦定理和余弦定理的证明过程可知 它们对任意三角形都成立 2 错误 由正弦定理可知该结论错误 3 正确 由余弦定理可知该结论正确 4 错误 当已知三个角时不能求三边 5 正确 由正弦定理知sina sinb 由sina sinb得a b 即a b 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5p8t2 1 改编 在 abc中 已知a 5 b 7 c 8 则a c a 90 b 120 c 135 d 150 解析 选b 先求b cosb 因为0 b 180 所以b 60 故a c 120 2 必修5p4t1 2 改编 在 abc中 已知a 60 b 75 c 20 则a 解析 c 180 a b 180 60 75 45 由正弦定理 得答案 10 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 湖北高考 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 已知a a 1 b 则b 解析 依题意 由正弦定理知得出sinb 由于0 b 所以b 答案 2 2014 福建高考 在 abc中 a 60 ac 2 bc 则ab等于 解析 由余弦定理bc2 ab2 ac2 2ab ac cosa 得3 ab2 4 2 2ab cos60 即ab2 2ab 1 0 解得ab 1 答案 1 考点1正弦定理的应用 典例1 1 在 abc中 已知a 2 b a 45 则满足条件的三角形有 a 一个b 两个c 0个d 无法确定 2 2014 广东高考 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知bcosc ccosb 2b 则 3 2015 吉林模拟 如图 在 abc中 ab ac 2 bc 2 点d在bc边上 adc 75 则ad的长为 解题提示 1 利用正弦定理计算 2 利用正弦定理化边为角 利用三角恒等变换进行化简 3 根据等腰三角形三线合一的性质求出角b 再利用正弦定理求解 规范解答 1 选b 由正弦定理 得sinb 因为b a 所以b 60 或120 故满足条件的三角形有两个 2 由正弦定理得 sinbcosc sinccosb 2sinb 所以sin b c 2sinb sin a 2sinb 即sina 2sinb 再由正弦定理得a 2b 所以 2 答案 2 3 过点a作ae bc 垂足为e 则在rt abe中 在 abd中 adb 180 adc 180 75 105 由正弦定理得ad 答案 一题多解 解答本例 1 2 你还有其他方法吗 1 选b 数形结合法 如图 cd sin45 又a 2 b 所以cd a b 故满足条件的三角形有两个 2 如图 作ad bc于点d 则a bc bd dc ccosb bcosc 2b 即 2 答案 2 规律方法 1 正弦定理的应用技巧 1 求边 利用公式或其他相应变形公式求解 2 求角 先求出正弦值 再求角 即利用公式sina 或其他相应变形公式求解 3 相同的元素归到等号的一边 即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题 2 判断三角形解的个数的两种方法 1 代数法 根据大边对大角的性质 三角形内角和公式 正弦函数的值域等判断 2 几何图形法 根据条件画出图形 通过图形直观判断解的个数 变式训练 2015 三门峡模拟 已知在 abc中 a x b 2 b 45 若三角形有两解 则x的取值范围是 a x 2b x2且xsin45 2 所以2 x 2 加固训练 1 在 abc中 a 10 b 60 c 45 则c等于 a 10 b 10 1 c 1d 10 解析 选b a 180 b c 180 60 45 75 由正弦定理 得 2 2015 绵阳模拟 在锐角 abc中 角a b所对的边分别为a b 若2asinb b 则角a 解析 由正弦定理得2sina sinb sinb 又sinb 0 故sina 又0 a 90 所以a 60 答案 60 3 2015 黄山模拟 若 abc的三内角a b c满足a c 2b 且最大边为最小边的2倍 则三角形三内角之比为 解析 因为a c 2b 不妨设a b c b 因为a b c 所以b b b 所以b 再设最小边为a 则最大边为2a 由正弦定理得即sincos cossin 2 sincos cossin 所以tan 所以三内角分别为它们的比为1 2 3 答案 1 2 3 考点2余弦定理的应用 典例2 1 2015 青岛模拟 已知锐角三角形的边长分别为1 3 x 则x的取值范围是 a 8 x 10b 2 x c 2 x 10d x 8 2 2015 咸阳模拟 在 abc中 三个内角a b c所对的边分别为a b c 若 a b c a b c bc 0 则a 3 2014 辽宁高考 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且a c 已知 2 cosb b 3 求 a和c的值 cos b c 的值 解题提示 1 使大边的对角是锐角 其余弦值大于0 列不等式组求解 2 已知三边的关系求角用余弦定理 3 利用向量运算及余弦定理找等量关系求解 利用已知条件求sinb cosc sinc 代入公式求值 规范解答 1 选b 因为3 1 所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可 故又因为x 0 所以 2 因为 a b c a b c bc a2 b c 2 bc a2 b2 c2 bc 0 所以a2 b2 c2 bc cosa 又a 0 所以a 答案 3 由 cacosb 2 所以ac 6 又由b 3及余弦定理得b2 a2 c2 2accosb 所以a2 c2 13 因为a c 解得a 3 c 2 由a 3 b 3 c 2得cosc sinc 由cosb 得sinb 所以cos b c cosbcosc sinbsinc 互动探究 对于本例 2 若 abc的三边a b c满足a2 b2 c2 则a 解析 由余弦定理 得cosa 因为a 0 所以a 答案 规律方法 1 利用余弦定理解三角形的步骤 2 利用余弦定理判断三角形的形状在 abc中 c是最大的边 若c2a2 b2 则 abc是钝角三角形 提醒 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 可用正弦定理 也可用余弦定理 用正弦定理时 需判断其解的个数 用余弦定理时 可根据一元二次方程根的情况判断解的个数 变式训练 2015 合肥模拟 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则角c 解析 选b 因为3sina 5sinb 所以由正弦定理可得3a 5b 所以a 因为b c 2a 所以c 所以cosc 因为c 0 所以c 加固训练 1 在 abc中 若a b c 3 5 7 则这个三角形中最大内角为 a 60 b 90 c 120 d 150 解析 选c 令a 3x b 5x c 7x x 0 则c为最大边 角c为三角形中最大内角 由余弦定理 得cosc 所以c 120 2 在 abc中 c 60 a b c分别为角a b c的对边 则 解析 因为c 60 所以a2 b2 c2 ab 所以a2 b2 ab c2 等式两边都加上ac bc 整理得 a2 ac b2 bc b c a c 所以答案 1 考点3正 余弦定理的综合应用知 考情利用正 余弦定理求三角形中的边和角 判断三角形的形状是高考的重要考向 常与三角恒等变换相结合 以选择题 填空题 解答题的形式出现 以后两种题型为主 明 角度命题角度1 综合利用正 余弦定理求角 或其正 余弦值 典例3 2014 天津高考 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知b c a 2sinb 3sinc 则cosa的值为 解题提示 利用正弦定理化角为边 解方程组得边的关系 然后利用余弦定理求cosa的值 规范解答 因为2sinb 3sinc 所以2b 3c 又b c a 解得b a 2c 所以cosa 答案 命题角度2 判断三角形的形状 典例4 2013 陕西高考改编 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 且sin2b sin2c 则 abc的形状为 a 等腰三角形b 锐角三角形c 直角三角形d 等腰直角三角形 解题提示 由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断 规范解答 选d 因为bcosc ccosb asina 所以由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a 所以sin b c sin2a sina sin2a sina 1 即a 又因为sin2b sin2c 所以由正弦定理得b2 c2 即b c 故 abc为等腰直角三角形 命题角度3 综合利用正 余弦定理求边长 典例5 2014 湖南高考 如图 在平面四边形abcd中 ad 1 cd 2 ac 1 求cos cad的值 2 若cos bad sin cba 求bc的长 解题提示 利用余弦定理和正弦定理求解 规范解答 1 在 adc中 由余弦定理 得cos cad 2 设 bac 则 bad cad 因为cos cad cos bad 所以sin cad 悟 技法1 综合利用正 余弦定理求边和角的步骤 1 根据已知的边和角画出相应的图形 并在图中标出 2 结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解 提醒 在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用 2 判断三角形形状的方法若已知条件中有边又有角 则 1 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 化角 通过三角恒等变形 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 通 一类1 2013 山东高考 abc的内角a b c的对边分别是a b c 若b 2a a 1 b 则c a 2b 2c d 1 解析 选b 由b 2a 则sinb sin2a 由正弦定理知即所以cosa 所以a b 2a 所以c b a 所以c2 a2 b2 1 3 4 故c 2 2 2015 锦州模拟 在 abc中 cos2 a b c分别为角a b c的对边 则 abc的形状为 a 等边三角形b 直角三角形c 等腰三角形或直角三角形d 等腰直角三角形 解析 选b 因为cos2 所以2cos2所以cosb 所以所以c2 a2 b2 所以 abc为直角三角形 3 2015 开封模拟 如图 abc中 已知点d在bc边上 满足 0 sin bac ab 3 bd 1 求ad的长 2 求cosc 解析 1 因为所以ad ac 所以sin bac sin bad cos bad 因为sin bac 所以cos bad 在 abd中 由余弦定理可知bd2 ab2 ad2 2ab adcos bad 即ad2 8ad 15 0 解之得ad 5或ad 3 由于ab ad 所以ad 3 2 在 abd中 由正弦定理可知又由cos bad 可知sin bad 所以sin adb 因为 adb dac c dac 所以cosc 规范解答4正 余弦定理在三角形计算中的应用 典例 12分 2014 天津高考 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知a c b sinb sinc 1 求cosa的值 2 求cos 2a 的值 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 在 abc中 由及sinb sinc 可得b c 2分又由a c b 有a 2c 4分所以cosa 7分 2 在 abc中 由cosa 可得sina 8分于是 cos2a 2cos2a 1 9分sin2a 2sina cosa 10分所以 高考状元满分心得把握