08-09学年高等代数II试B答案[1].doc

北 京 交 通 大 学2008-2009学年第二学期高等代数I I期末考试试卷(B)答案与评分标准一、填空题(每小题3分,共30分) 1.全体n阶实反对称矩阵, 关于矩阵的加法与数乘作成实数域上的线性空间,它的维数等于 .2.已知 e1 = 1, e2 = x, e3 = x2, e4 = x3 和 h1 = 1, h2 = 1+x, h3 = (1+x)2,h4 = (1+x)3 是线性空间的两组基, 则由基h1, h2, h3, h4到基e1, e2, e3, e4的过渡矩阵是 .3. 中的向量在基下的坐标是, 则在基下的坐标是 .4. 设矩阵有3个线性无关的特征向量，则= 0 .5. 设欧氏空间V的两组基e1, e2, , en与 h1, h2, , hn的度量矩阵分别是A与B,从基e1, e2, , en到 h1, h2, , hn的过渡矩阵是C, 则A与B之间的关系是 .6.上线性变换A（其定义为A）的值域的一组基是 (1,2) 核的维数为 1 7. 以下断言正确的有 ( A,B )(A) 设是n维线性空间的子空间。若，则和是直和；(B) 若阶方阵有个不同的特征值，则可以对角化；(C) 阶方阵的最小多项式的次数必小于； (D) 有限维欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换。8. 以下集合对于所指的线性运算构成实数域上线性空间的有 ( B ) (A) 次数等于3的实系数一元多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；(B) 全体阶实对称矩阵, 关于矩阵的加法和数量乘法；(C) 平面上不平行于 轴的向量全体，关于向量的加法与数量乘法； (D) 平面上的全体向量，关于向量的加法和以下定义的数量乘法： （零向量）。9. 下列变换A中，是线性变换的有 ( A,B ) (A) 在中，A； (B) 在中，A（；(C) 在中，A，其中是n 阶单位矩阵； (D) 把复数域看作复数域上线性空间，定义A 其中是复数的共轭 。10. 对线性空间R2中以下函数f，不是线性函数的有 ( B，C，D ) (A) f(x1, x2) = 4x1 + x2log38 ； (B) f(x1, x2) = x1 + 4x2 + 4；(C) f(x1, x2) = x12 + x1x2 + x22 ； (D) f(x1, x2) = sinx1 + cosx2 。二、（12分）记为实数域上3阶方阵全体，则关于矩阵的加法与数乘构成实数域上线性空间。设，令。（1）证明是的一个子空间；（2）求的维数和一组基。解 (1) W不空 1分W关于加法、数乘封闭 4分(2) 9分的维数是5，是一组基。 12分三、 （12分） 在线性空间中定义线性变换为 ，（1） 求在基下的矩阵；（2） 求的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，并写出该对角阵。解 (1)求在基下的矩阵为 3分（2）A 的特征根为1，1，2，2。 .6分对应特征值1，解齐次线性方程组得基础解系 .8分对应特征值2，解齐次线性方程组 得基础解系 .10分令则P可逆。于是是基， .11分且A在该基下矩阵为对角阵 .12分四、（12分）求矩阵的不变因子、最小多项式和Jordan标准形。解 6分不变因子， 7分最小多项式 8分初等因子 10分 Jordan 标准形是 12分五、（12分）设e1, e2, e3 是欧氏空间V的一组基, 这组基的度量矩阵是又设 a1 = e1 + e2 ，(1) 证明 a1 是一个单位向量；(2) 求x使 a1 与 b2 = e1 + e2 + xe3 正交；(3) 把所求出的 b2 单位化, 并记作 a2 ；(4) 给出正交补空间的一组基。解 (1) (a1 , a1)=1 2分(2) (b2, a1)=x+1=0, x= -1. 所以 b2 = e1 + e2 -e3 6分(3) （b2 ，b2 ）=5, 所以 8分(4) 是V的一组基，令则是正交补空间的一组基。 12分六、（7分）设是线性空间的一组基，是它的对偶基。记证明也是的一组基，并用表示的对偶基。证 （1）因为 2分且矩阵可逆，所以是的一组基 3分记表示的对偶基，则 6分 即。 7分七、证明题 (每小题5分，共15分）1.设分别是数域上齐次线性方程组与的解空间。证明可表为与的直和。2设是阶非零方阵，且存在正整数使。证明不能相似于对角阵。3.设是n维欧氏空间一个标准正交向量组。证明关于中任意向量，都有下面的不等式成立： 。证明 (1)