高中数学 情境互动课型 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教版必修1.ppt

第三章函数的应用3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题 如约公元50 100年编成的 九章算术 就给出了求一次方程 二次方程和三次方程根的具体方法 11世纪 北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法 13世纪 南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法 今天我们来学习方程的根与函数的零点 你会求什么方程的根呢 1 理解函数零点的概念 了解函数零点与方程根的关系 难点 2 掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数 易错点 3 会求函数的零点 重点 探究 求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数的图象 观察二者有何联系 1 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 2 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 3 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 你知道方程对应的函数是怎么找的吗 方程 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函数 函数的图象 方程的实数根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 无实数根 1 0 3 0 1 0 无交点 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 函数的图象与x轴的交点 x y 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 0 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函数y ax bx c a 0 的图象 判别式 b2 4ac 0 0 0 函数的图象与x轴的交点 有两个相等的实数根x1 x2 没有实数根 x1 0 x2 0 x1 0 没有交点 两个不相等的实数根x1 x2 一般结论 一般地 方程f x 0的实数根 也就是其对应函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 即方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 函数零点的定义 零点指的是一个实数 不是一个点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 现在知道如何求没有公式的方程的根了吗 无数个 即时训练 例1函数f x x x 4 的零点为 a 0 0 2 0 b 0c 4 0 0 0 d 4 0 d 解析 由x x 4 0得x 0或x 4 注意 函数的零点是实数 而不是点 解方程是求函数零点的一种方法 变式练习 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y o 1 2 1 4 3 2 探究 对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 填 或 在区间 2 4 上有零点 f 2 f 4 0 填 或 x 1 4 5 x 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y o 2 1 4 3 2 1 思考 观察图象填空 有 有 有 在区间 a b 上 f a f b 0 填 或 在区间 a b 上 填 有 或 无 零点 在区间 b c 上 f b f c 0 填 或 在区间 b c 上 填 有 或 无 零点 在区间 c d 上f c f d 0 填 或 在区间 c d 上 填 有 或 无 零点 a b c 函数零点存在的判断 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的一个根 方程lnx 必有一个根的区间是 a 1 2 b 2 3 c 1 d 3 b 解题关键 将方程转化为函数 利用零点的存在性定理判断 即时训练 例2判断正误 若不正确 请使用函数图象举出反例 1 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内有且仅有一个零点 2 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内没有零点 3 已知函数y f x 在区间 a b 上满足f a f b 0 则f x 在区间 a b 内一定存在零点 解析 1 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内有且仅有一个零点 如图 函数y f x 在区间 a b 上有3个零点 故 在区间 a b 内有且仅有一个零点 的说法是错误的 满足条件一定有零点 但不确定有几个 可知 函数y f x 在区间 a b 上连续 f a f b 0 但f x 在区间 a b 内有零点 故论断不正确 2 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内没有零点 a b o x y 如图 虽然函数y f x 在区间 a b 上满足f a f b 0 但是图象不是连续的曲线 则f x 在区间 a b 内不一定存在零点 故论断不正确 3 已知函数y f x 在区间 a b 上满足f a f b 0 则f x 在区间 a b 内一定存在零点 如图 若函数y 5x2 7x 1在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 且函数y 5x2 7x 1在 a b 内有零点 则f a f b 的值 a 大于0b 小于0c 无法判断d 等于0 c 变式练习 f a f b 0 则函数y f x 在 a b 上一定有零点 但是函数y f x 在 a b 上有零点 f a f b 0不一定成立 由表可知f 2 0 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表和图象 例3 求函数f x lnx 2x 6的零点的个数 解 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 方法一 f x lnx 2x 6 从而f 2 f 3 0 函数f x 在区间 2 3 内有零点 10 8 6 4 2 2 4 5 1 2 3 4 6 x y o y 2x 6 y lnx 即求方程lnx 2x 6 0的根的个数 即求lnx 6 2x的根的个数 即判断函数y lnx与函数y 6 2x的交点个数 如图可知 只有一个交点 即方程只有一根 函数f x 只有一个零点 方法二 转化 求方程2 x x的根的个数 并确定根所在的区间 n n 1 n z 解析 求方程的根的个数 即求方程的根的个数 即判断函数与的图象交点个数 由图可知只有一个解 变式练习 数形结合 估算f x 在各整数处的取值的正负 令 由上表可知 方程的根所在区间为 可根据图象确定大体区间 1 在二次函数中 ac 0 则其零点的个数为 不存在 2 若不是常数函数且最小值为 则的零点个数 或 不确定 d b 已知函数是定义域为 的奇函数 且在上有一个零点 则的零点个数为 不确定 a 4 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内提示 由函数零点存在性定理可知 在区间 a b b c 内分别存在一个零点 又函数f x 是二次函数 最多有两个零点 即可判断出 a 5 若方程ax2 x 1 0在 0 1 内恰有一个零点 求实数a的取值范围 解析 1 当a 0时 f x x 1 其零点为 1 0 1 所以a 0 2 当a 0时 因为方程ax2 x 1 0在 0 1 内恰有一解 即二次函数函数f x ax2 x 1在 0 1 内恰有一个零点 所以f 0 f 1 0 即 1 a 2 0 解得a 2 故a的取值范围为 2 三个等价关系 零点 代数法 图象法 零点的求法 零点的存在性定理 二次函数的零