2019_2020学年高中数学第2章二次函数与一元二次方程、不等式教学案新人教A版.docx

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a，b，c均为常数，a0)的不等式都是一元二次不等式知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的实数x叫做二次函数yax2bxc的零点知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案【新知拓展】1解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：()化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)；()求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc的图象简图；()由图象得出不等式的解集代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解当m0，则可得xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得mx0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.2利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点()(2)(xa)(xa1)0是一元二次不等式()(3)设二次方程ax2bxc0的两解为x1，x2(x10的解集不可能为x|x1x0的解集为_(2)不等式x23x40的解集为_(3)当a0时，若ax2bxc0的解集为R，则应满足的条件为_(4)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则ab_.(5)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是_答案(1)R(2)x|4x1(3)0；(2)x28x30；(3)x24x50；(4)4x218x0；(5)x23x50；(6)2x23x20，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2，又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)因为824(1)(3)520，所以方程x28x30有两个不等实根x14，x24，又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4x4(3)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(4)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为x26x100，因为624040，因为942270；(3)9x26x10；(5)2x2x10，所以方程x23x10有两个不等实数根x1，x2，所以原不等式的解集为x.(2)原不等式可化为(3x1)(x2)0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(3x1)20，所以原不等式的解集为.(4)因为(4)24540，所以原不等式的解集为R.(5)因为124270；(2)ax2(a1)x10.解(1)a216，下面分情况讨论：当0，即4a4或a4时，原不等式的解集为x(a)；当a4时，原不等式的解集为x|xR，且x1(2)若a0，原不等式为x11；若a0，解得x1；若a0，原不等式可化为(x1)1时，由(*)式可得x1；当0a1时，由(*)式可得1x.综上所述，当a1；当0a1时，解集为.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程根的个数：讨论判别式与0的关系(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式解关于x的不等式x2(aa2)xa30.解原不等式可化为(xa)(xa2)0.方程x2(aa2)xa30的两根为x1a，x2a2.由a2aa(a1)可知：当a1时，a2a.解原不等式得xa2或xa.当0a1时，a2a或x0，x0.当a1时，原不等式为(x1)20，x1.综上可知：当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa；当a0时，原不等式的解集为x|x0；当a1时，原不等式的解集为x|x1.题型三 “三个二次”之间的转化关系例3若不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，求不等式bx22axc3b0的解集为x|3x4，所以a0且3和4是方程ax2bxc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得即所以不等式bx22axc3b0，即为ax22ax15a0，即x22x150，故所求的不等式的解集为x|3x5条件探究本例中把x|3x4改为x|x4，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解因为ax2bxc0的解集为x|x4，所以a0且3和4是方程ax2bxc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得即所以不等式bx22axc3b0，即为ax22ax15a0，解得x5，故所求不等式的解集为x|x5金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：(1)已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为_；(2)已知方程ax2bx20的两根为和2，则不等式ax2bx10的解集为_答案(1)(2)解析(1)由题意2，是方程ax2bxc0的两根，且a0即为2x25x20，解得x0可变为2x23x10，即2x23x10，解得x12，即x210x12000，解得x30或x10，即x210x20000，解得x40或x50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，所以乙应负主要责任.题型五 利用一元二次不等式解决利润问题例5某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)依题意，得y1.2(10.75x)(1x)1000(10.6x)1000(0.06x20.02x0.2)所求关系式为y1000(0.06x20.02x0.2)(0x1)(2)依题意，得1000(0.06x20.02x0.2)(1.21)1000.化简，得3x2x0.解得0x.投入成本增加的比例x的范围是0x0 Bx24x40C44xx20答案D解析A的解集为R；B的解集是x|x2；C的解集为x|x22或x22，用排除法应选D.2在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()A0x2 B2x1Cx1 D1x2答案B解析x(x2)x(x2)2xx20，x2x20即(x1)(x2)0，解得2x2，则关于x的不等式(xt)2，t，(xt)0，解得xt.4在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的不等式是()A(602x)(402x)2816B(60x)(40x)2816C(602x)(40x)2816D(60x)(402x)2816答案A解析“不大于”就是“”，所以根据题意可列出不等式为(602x)(402x)2816.5某小型服装厂生