2015年全国大学生数学建模竞赛A题.docx

太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角，太阳方位角，赤纬角，时角，直杆高度和影子端点位置（x0，yo），从而建立数学模型。影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。根据太阳方位角，赤纬角，时角，可以求出太阳高度角。再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度。我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。关键字：太阳影子轨迹 Matlab 曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。针对问题一，地球的运动可以看成是在进行年复一年相同的转动，此问题中给出了确切的时间，假设在一天当中，地球不进行公转。即太阳与地球的相对位置是确定，太阳直射点的纬度是已知条件。同时题给出了确切的地点在天安门广场即已知经纬度，而且已知直杆的高度，在北京时间9:00-15:00之间求解太阳影子长度的变化。针对问题二，只给出了测量的日期和随时间变化，要求解出，测量地点的经纬度，确定观测点。针对上诉问题建立模型，在确定的日期，假设地球在一天内不存在公转，则在确定的日期内太阳直射点的纬度是已知的。其他的角度就需要运用对数据的分析来求解。针对问题三，要求格局直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。并根据附件2和附件3中的影子顶点坐标数据求出可能的观测地点和日期。针对问题四，给出了一根直杆在太阳的影子变化的视频，并且已知杆的高度为2米，视频中给出了拍摄的日期要求建立数学模型，通过对视频的分析和处理求解出可能的拍摄地点。之后还问到，如果拍摄日期未知求解拍摄地点和日期。（三）模型的假设，符号说明1）模型的假设1.在一天当中，地球只存在自转，不会围绕太阳进行公转，即赤纬角角度保持不变。2.直杆在测量过程中一直保持直立在坚硬的地面上。3.测量过程中天气一直晴朗，不存在其他光的介入，从而导致影子的变化。4.不考虑太阳光线在通过大气层的过程中的反射和折射。5.太阳和地球的距离足够远，故假设照射到地球的太阳光为平行光2）符号说明所在地的地理纬度所在地的地理经度直杆地球位置点直杆的高度时角（地球自转随时间变化的角度）赤纬角（垂直照射光线和赤道投影线的夹角）太阳高度角（太阳光入射方向和地平面间的夹角）太阳方位角（太阳光在地面投影与当地经线夹角）太阳位置点（地心与日心连线和地球球面的交点）地球自转的角速度t 太阳某位置的方位时间n 24h制的时间数T 北京时间N 日期序数（四）模型的建立在问题一的条件下进行建模一根直立的杆，其影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化。不妨假设太阳的位置在确定的某一天某一时刻位置如图一所示，杆高为H，太阳的光线通过杆的顶点P，在地面上形成的影子点P，影子的长度即为OP，记为L，可以假设太阳的光线与地面的夹角PP，O=则夹角应满足：LH=cot地球的自转和围绕太阳公转引起地球上物体受到光照的方向不同，从而引起影子的变化，在24h当中地球自转一周360，平均每小时旋转15（其自转的角速度=15/h）造成太阳的位置也随时间不断变化，所以杆的顶点P在地面上的影子P在一天中会形成一条轨迹线。太阳的位置点L在天体中相对地球的位置点O上某一点的相对位置，由该点的地理纬度、季节（月、日）和时间3个因素决定。图2 各角度参数关系图问题一中给出了确切的地点坐标纬度为，经度为，由此可知在此经度上的时间（即地方是）应满足下列表达式：-120n-T=正午的时候，太阳直射地面，此时太阳在此位置的方位时间为t：t=n-12假设在确定的某一天中，地球只存在自转，不存在公转，那自转所转过的时角表达式为：=t地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，称为赤纬角，又称太阳赤纬赤纬角是由于地球绕太阳运行造成的现象，它随时间而变，因为地轴方向不变，所以赤纬角随地球在运行轨道上的不同点具有不同的数值。这个角度大部分是空间角度，为异面直线的夹角。其计算公式为=23.45sin(2(284+N)365)(度)（其中N代表日期序号。）某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角，即太阳光入射方向和地平面间的夹角，也就是所说的太阳高度角h满足下列表达式：sinh=sinsin+coscoscos1太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。sinA=cossincosh由此，就可以建立由太阳位置和直杆的高度与影子端点P位置坐标的数学模型。在问题二的条件下进行建模问题二中给出了确定的日期、北京时间和直杆端点影子的具体坐标，给出了确切的日期可以知道日期序数N，通过公式=23.45sin2284+N365(度)可以解得此时的赤纬角的值，通过对于直杆影子端点坐标的数据拟合，对于纵坐标在一天当中应该是先减小再增大，而题目中给出的是增大的一部分。对于横坐标来说，是一个一直在增大的值，因为太阳在一天当中东升西落，从而导致在正午的时候，影子只在Y轴有分量，横坐标为0.同时正午的时候，太阳的影子是最短的。我们拟合的曲线在北京时间14：07的时候出现转折，由此可以推算测量地点与东经120相差2小时7分钟。由表达式：-120n-T=由此可以解得测量地点的经度为88.1682.利用经度和给出的数据，在某一确定的时间，即可求出T，利用公式：=tt=n-12可以解得时角。已知直杆的端点坐标（x0，yo）满足下列关系式，从而可以知道此时太阳的方位角A， y0=tanAx0可解得太阳的方位角A。因为太阳的方位角A，赤纬角，太阳高度角h以及时角满足下列等式sinA=cossincosh从上式中可以解得太阳高度角h,同时，太阳的高度角h，赤纬角，时角满足下列关系式：sinh=sinsin+coscoscos从而解得。在问题三的条件下进行建模问题三中给出了在北京时间确定的直杆影子端点的坐标变化，与问题二的模型建立一致。通过对于直杆影子端点坐标的数据拟合，对于纵坐标在一天当中应该是先减小再增大，而题目中给出的是增大的一部分。对于横坐标来说，是一个一直在增大的值，因为太阳在一天当中东升西落，从而导致在正午的时候，影子只在Y轴有分量，横坐标为0.同时正午的时候，太阳的影子是最短的。由表达式：-120n-T=由此可以解得测量地点的经度。利用经度和给出的数据，在某一确定的时间，即可求出T，利用公式：=tt=n-12可以解得时角。已知直杆的端点坐标（x0，yo）满足下列关系式，从而可以知道此时太阳的方位角A， y0=tanAx0可解得太阳的方位角A。假设直杆的高度为H，故可以根据公式：Hcoth=x02+y02求解出太阳高度角h。因为太阳的方位角A，赤纬角，太阳高度角h以及时角满足下列等式sinA=cossincosh通过上式求解出赤纬角的值。通过公式=23.45sin2284+N365(度)可以解得此时的时间序数N，即可解得日期。从上式中可以解得赤纬角，同时，太阳高度角h,太阳的高度角h，时角满足下列关系式：sinh=sinsin+coscoscos从而解得。在问题四的条件下进行建模需要获取同一场景中含有至少两个影子轨迹的自然图像序列或视频帧，每一幅图像运用技术找到阴影区域的二进制掩膜，并且得到主轴，进而可以计算出影子点，计算灭点，用随机采样一致性算法提出掉灭点异常点后还原出地平线，计算仿射纠正和投影纠正矩阵，还原出影子点经过度量纠正的世界坐标，拟合出影子轨迹的曲线，找到转折点求出经度，在利用前几问的模型求出纬度。（五）模型的求解问题一的求解假设影子的端点P点（x0，y0），所以影子端点到原点O的距离L可用下列式子来表达，与上述表达式联立，则：L=OP=x0-02+y0-02LH=cot此时的为太阳高度角hHcoth=x02+y02求解上述方程可解得：x0=Hcoth1+tanA2同时太阳的方位角方程满足：y0=tanAx0将上述方程综合可以得到P点的坐标：x0=Hcot(sin-1(sinsin+coscoscos(15(n-12)1+tansin-1cossin15n-12cossin-1sinsin+coscoscos15n-122y0=tanAx0将数值代入利用Matlab软件即可画出图像，其中H=3m，T的变化范围在9:00-15:00，北纬（）39度54分26秒,东经（）116度23分29秒，日期为2015年10月22日，即N=295。下图为直杆影子端点在地面上形成的轨迹。下图为3米高直杆的影子长度随时间的变化曲线。问题二的求解问题二中给出了确切的时间为2015年4月18日，即可求出时间序数N=108，也就是可以求出赤纬角的读数=23.45sin(2(284+N)365)(度)通过给出的直杆端点影子坐标（x0，y0）可以知道tanA=y0x0,将-120n-T=tt=n-12联立可以解得 =-120+T-12 (为88.1682)将太阳方位角A，赤纬角以及时角带入sinA=cossincosh可以解得太阳高度角h：h=cos-1cossinsinA对于纬度的计算可根据sinh=sinsin+coscoscos可令sinh=c，sin=a，coscos=b,故上述表达式可改为c=asin+bcos上述表达式可写成：c=a2+b2aa2+b2sin+ba2+b2cos故，可以求得纬度=sin-1ca2+b2-sin-1ba2+b2 纬度为北纬29.7135由世界地图可知，大概在西藏境内。问题三的求解通过给出的直杆端点影子坐标（x0，y0）可以知道tanA=y0x0,将-120n-T=tt=n-12联立可以解得 =-120+T-12 假设直杆的高度为H，故可以根据公式：Hcoth=x02+y02求解出：h=cot-1x2+y2H 因为太阳的方位角A，赤纬角，太阳高度角h以及时角满足下列等式sinA=cossincosh通过上式求解出赤纬角的值。通过公式=23.45sin2284+N365(度)可以解得此时的时间序数N，即可解得日期。N=对于纬度的计算可根据sinh=sinsin+coscoscos可令sinh=c，sin=a，coscos=b,故上述表达式可改为c=asin+bcos上述表达式可写成：c=a2+b2aa2+b2sin+ba2+b2cos故，可以求得纬度=sin-1ca2+b2-sin-1ba2+b2 问题四的求解通过观看第四问的视频，我们可以直观得到下面的结论，以下结论只用于检验：（1）时间的变长，影子的长度是变短的，说明了北京时间的九点多还没到当地的中午12点。（2）由于视频是早上九点左右拍的，这个时候太阳在直杆的东边，所以我们可以得到大概的方向，左边为东边，右边是西边，上面是南边，下面是北边。（3）我们发现，影子在视频中越来越短，而且出现了直杆的影子比直杆短的情况，说明了，当地中午12点的时候影子也会比直杆短，太阳高度角大于45度。由于7月13号太阳直射点在北纬17度左右，度肯定在南北纬45度以内。(1)由于一般的楼房都是正南正北的，所以我们可以认为视频中直杆所在的水泥缝为Y轴，与水泥道垂直为X轴，大概方向如下。而且随着时间的变化，角度变化不大，都是一个比较小的角度。模型求解已知日期为2015年3月17日，即可求出时间序数，也就可以知道赤纬角。通过模型处理，要获取同一场景中含有至少两个影子（直杆和后面箱子）轨迹的自然图像序列或视频帧，对每一帧图像检测影子轨迹，并且对于影子轨迹里不同的两个点所确定的直线与对应时刻另外一个影子轨迹中的两个点所确定的直线的交点即是一个灭点，计算灭点；由各个灭点拟合出地平线。在图像中沿着有垂直关系的物体画出两条直线，计算出这两条直线分别与地平线的交点坐标，这两个坐标就是两个相互垂直的灭点Vx，Vy坐标。根据公式=v0vx3vy2+u0vx1vy3+v0vx2vy3+u0vx3vy1-vx1vy1-vx2vy2vx3vy3-u02-v02 计算焦距，式中，u0 ，v0 为相机主点即图像中心点的坐标根据公式 =10-u001-v0-u0-v0u02+v02+2计算；在地平线上找到另一对满足 vxTvy=0 限制的点vp，vvertical：按照下列方法实现从图像到经过度量纠正的世界坐标的变换：任意取两个点M，N，直线vxM，vyM，vpN，vverticalN的斜率分别记做：k1，k2 ，k3，k4。以 r1=k1-k22sin1 为半径，以 C1,C1=k1+k22,k1-k22cot1 为圆心得到一个圆 -c12+-c12=r12，其中1为直线vxM，vyM的夹角；以 r2=k3-k42sin2 为半径，以 C2,C2=k3+k42,k3-k42cot2 为圆心得到另一个圆 -c22+-c22=r22 其中2 为直线vpN，vverticalN 的夹角；计算上述两个圆的交点，。计算H=AP ，其中P=1 0 00 1 0l1 l2 l3 （l1， l2， l3是地平线L的三个分量），A=1 - 00 1 00 0 1。4根据公式X=Hx还原出经过度量纠正的世界坐标，其中X是经过度量纠正的世界坐标中的点，x是图像坐标中的点；拟合影子的轨迹，之后的求解方案与问题而类似。（六）模型检验或误差分析1）对于问题一所设定的模型精确度很高,因为我们在模型中所运动到的数据都是已知量，但模型的建立均符合客观的规律，从问题一种求解出来的影子的实际变化图像，以及影子长度随时间的变化图像来看，是满足生活实际，满足客观规律的。2）问题二，问题三，问题四