（试题 试卷 真题）反证法专题

解题方法及提分突破训练：反证法专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。 一 真题链接1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.2.平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形3. 平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 二 名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如：已知：是整数，2能整除。试证：2能整除 探究：问题实际上是在讨论是奇数，还是偶数。已知中：说明是偶数，则，此时 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。 若结论有问题，则“2不能整除”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。 总结：在上题由“2不能整除”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。 三 典型例题反证法的证题步骤： 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。 否定假设，肯定结论。例1.求证：是无理数 证明：假设不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设且互素，则。所以，。-故是偶数，也必然为偶数。不妨设，代入式，则有，即 ，所以，也为偶数。和都是偶数，它们有公约数2，这与互素相矛盾。这样，不是有理数，而是无理数。PMQcab例2.在同一平面内，两条直线都和直线垂直。求证：与平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线与相交”。不妨设直线的交点为,与的交点分别为,如图所示，则.这样，的内角和 这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾。说明假设不成立。所以，直线与不相交，即与平行。例3已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN（ADBC）。求证：ADBC 证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。 在ABD中BMMA，BPPDMPAD，同理可证PNBC从而MPPN（ADBC）这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD，MNBC，得ADBC与假设ADBC矛盾，于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN由、得（ADBC）MN，这与已知条件MN（ADBC）相矛盾，故假设ADBC不成立，所以ADBC。解析：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。要证明不等式AB，先假设AB，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。 四 巩固强化 1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式abcd，中至少有一个不正确。2. 已知求证：。3. 若，求证：。4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。5. 若，求证：，不能同时大于1。6求证：三角形中至少有一个角不大于60。7求证：一直线的垂线与斜线必相交。8在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。9.求证：直线与圆最多只有两个交点。10.求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知：ABC中，ABAC，求证：B、C必为锐角。 五 参考答案真题链接答案：1.证明：假设弦AB、CD被P平分，连结 AD、BD、BC、AC, 因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形所以因为 ABCD为圆内接四边形所以因此所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分。2.证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个点为A、B、C、D。考虑点D在 ABC之内或之外两种情况。(1) 如果点D在ABC之内，根据假设，都为锐角三角形所以这与一个周角为360矛盾。 3.(1)如果点D在 之外，根据假设，都是锐角三角形，即这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。巩固强化答案1.证明：假设不等式、都成立，因为a，b，c，d都是正数，所以由不等式、得，。由不等式得，因为，所以综合不等式，得，即由不等式，得，即，显然矛盾。不等式、中至少有一个不正确。2.证明：由知0，假设，则又因为，所以，即从而，与已知矛盾。假设不成立，从而同理，可证。3.证明：假设，则，即。因为所以故又，即，即，不成立。4.证明：假设同时大于，即，。故假设不成立，即。则由，可得同理，三个同向不等式两边分别相加，得，所以假设不成立。原结论成立。5.证明：由题意知假设有那么同理，得矛盾，假设不成立。故，不能同时大于1。6证明：假设ABC中的A、B、C都大于60 则ABC360180 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。 故三角形中至少有一个角不大于60。7证明：假设m和n不相交则 mn ml nl 这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。 故m和n必相交。8证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。 AEBD，即ACBC 这与AC、BC相交于C点矛盾， 故假设AD、BE被交点H平分不能成立。 所以AD与BE不能被点H互相平分。9证明：假设一直线l与O有三个不同的交点A、B、C， M、N分别是弦AB、BC的中点。 OAOBOC 在等腰OAB和OBC中 OMAB，ONBC 从而过O点有两条直线都垂直于